对一道高考题的追源与思考

赵彦青

(河北省张家口市尚义县第一中学 076750)

一、再现考题

2019年全国高考数学理科二卷第21题如下：

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形.

二、考题在考卷，根源在课本

2019年全国高考数学理科二卷第21题第1问与课本例题基本相同，仅仅是数据不同.

例如：普通高中课程标准实验教科书人教版数学选修2-1(第二章圆锥曲线与方程第2.2节椭圆)第41页的例3如下：

同上教材第80页复习参考题A组第10题如下：

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，试探求顶点C的轨迹.

三、来源于探究，但又高于教材

从课本例3我们可得到一个一般性逆向的问题.

AB是椭圆的长轴也叫椭圆的直径(类比圆的弦和直径，我们把椭圆上任意两点间的线段叫做弦，经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径)

进一步探究对于椭圆的任意一条直径都有这样的性质，结论如下：

这里用到我们常用的点差法，老师们还可以选用其它方法证明.

四、运用性质简化2019高考题

下面我们用这一性质来简解第2问的第(ⅰ)小问.

故PG⊥PQ.所以△PQG是直角三角形.

五、高考再现

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.

解(1)与(2)略

延伸1进一步探究

直径是经过椭圆中心的特殊的弦，上述斜率积为定值的性质是否是非直径莫属呢？也就是说，经过其它定点的非直径的弦是否也有此性质呢？下面我们来探讨这个问题，为此先来研究特殊点(椭圆与x轴的交点)A与过定点P的非直径的弦MN的两端点所成两条直线的斜率积是否为定值.

探究因为点M,N是过点P(n,0)的直线，故设其方程为x=my+n(可以避免讨论斜率的存在问题)，将其代入椭圆方程整理得(m2b2+a2)y2+2mnb2y+b2(n2-a2)=0.

因为点M,N在直线x=my+n上，所以x1=my1+n，x2=my2+n.

于是(x1+a)(x2+a)=(my1+n+a)(my2+n+a)

=m2y1y2+m(n+a)(y1+y2)+(n+a)2,

结论椭圆直径的性质是其它非直径的弦所不具有的，是椭圆的本质属性.类比思想对于双曲线，也有类似的性质(证明时只需要将b2换成-b2即可)

延伸2再次深入探究

反思探究延伸2的逆是否成立呢？

解析A,B两点关于原点对称⟺过点A,B的直线方程为y=kx+m,m=0.

设直线AB的方程为y=kx+m,

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0),

显然当点P不在直线AB上时，m=0.

所以直线AB的方程为：y=kx，从而A、B两点关于原点对称.

我们继续研究发现:

证明设直线AB的方程为x=my+n.

所以(n-my0-x0)a2(y-y0)2+2(a2y0-mb2x0)(x-x0)(y-y0)+(n+my0+x0)b2(x-x0)2=0.

将上式两边同时除以(x-x0)2得

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，显然它们满足上述方程，由已知条件及根与系数关系得

所以直线AB方程为

通过对此例的教学研究，激发了学生探究数学的兴趣和热情.一道课本例题的探究竟引出了这么多的变式和通过变式的再反思，又得到多个结论，让我们感觉课本的例题值得挖掘，而且大有挖掘的素材.数学家希尔伯特曾说过“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题的一旦解决，无数新的问题就会代之而起”.平时教学中教师应以数学知识为载体，以数学方法为核心，以提高学生能力和素质为目的.让学生在不断发现问题，提出问题，解决问题过程中，潜移默化地学会数学的方法，提高数学素养，学会数学的思考.