何必舍近求远——用一元二次方程的求根公式比用韦达定理证明更简捷

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

在解决与弦长(设直线l与二次曲线Γ交于两点A,B，线段AB就是曲线Γ的弦，|AB|就是弦长)有关的平面解析几何问题时，往往需要求出|x1-x2|，其解法往往是这样的：

先把直线l与曲线Γ的方程联立，消去y(也可消去x)，得到一个一元二次方程

ax2+bx+c=0 ①.

因为直线l与二次曲线Γ交于两点A,B，所以a≠0，且其判别式Δ=b2-4ac>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，可得x1,x2是方程①的两个根，由韦达定理可得

所以

评注在韦达定理的两个等式(见②)中没有关于x1-x2的等式，但以上解法通过转化求出了

有些巧妙！

还有其他方法能解决这个问题吗？实际上，由一元二次方程的求根公式，可得一元二次方程①的两个根是

由此可立得③式成立！

何必舍近求远：用一元二次方程的求根公式比用韦达定理证明③式更简洁！

(1)求椭圆C的方程及点P的坐标；

当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程是y=k(x-1)(k≠0).

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0 ④.

这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.

设两点A,B的横坐标分别是x1,x2，可得一元二次方程④的两个根分别是x1,x2.由结论③，可得

再由弦长公式，可得

105k4+73k2-36=0 ⑤,

(3k2-1)(35k2+36)=0,

注：也可这样解方程⑤.

由一元二次方程的求根公式，可得

(2)的另解可设直线AB的方程是x=my+1.

(3m2+4)y2+6my-9=0 ⑥.

这个关于x的一元二次方程的判别式判别式Δ=(6m)2-4(3m2+4)·(-9)=144(m2+1)>0.

设两点A,B的纵坐标分别是y1,y2(y1y2<0)，可得一元二次方程⑥的两个根分别是y1,y2.由结论③，可得

所以

36m4-73m2-105=0 ⑧.

(m2-3)(36m2+35)=0,

注：也可这样解方程⑧——

由一元二次方程的求根公式，可得

还可这样解方程⑦

6t2-13t+2=0,

(t-2)(6t-1)=0(t≥1),

t=2.

换元法解题，有时能起到“四两拨千斤”的作用.

题2(2013年清华大学夏令营数学试题第16题)设直线l:y=k(x+1)与椭圆Γ:x2+3y2=a2(a>0)交于A,B两点，与x轴交于点C，记坐标原点为O.

解(1)联立直线l与椭圆Γ的方程后，可得

(3k2+1)x2+6k2x+(3k2-a2)=0.

(m2+3)y2-2my+1-a2=0 ⑨.

可求得关于y的一元二次方程①的判别式

Δ=(-2m)2-4(m2+3)(1-a2)

=4[(m2+3)a2-3] ⑩.

再由y1,y2是关于y的一元二次方程⑨的两个根及韦达定理，可得

消去y1,y2后，可得

再由⑩，可得关于y的一元二次方程①的判别式

Δ=36m2>0

可得