一道数学创新压轴题的思路探析

2020-03-14北京龚浩生特级教师

高中数理化 2020年21期

◇ 北京龚浩生(特级教师)

北京高考压轴大题一直以创新的问题情境设计、没有常规解题套路、需要灵活的研究探索能力、需要较强的阅读理解和符号语言表达要求等为鲜明特色,能起到考查学生创新思维能力、区分拔尖学生的作用.2020年朝阳区二模数学试题第21题就是这样一种题型,很多学生对第(3)问无从下手,不知怎样思考.下面我们对该题的解题思路进行探析,期望对同学们有些启发.

题目设集合A＝{a1,a2,a3,a4},其中a1,a2,a3,a4是正整数,记SA＝a1＋a2＋a3＋a4.对于ai,aj∈A(1≤i＜j≤4),若存在整数k,满足k(ai＋aj)＝SA,则称ai＋aj整除SA,设nA是满足ai＋aj整除SA的数对(i,j)(i＜j)的个数.

(1)若A＝{1,2,4,8},B＝{1,5,7,11},写出nA,nB的值;

(2)求nA的最大值;

(3)设A中最小的元素为a,求使得nA取到最大值时的所有集合A.

【思路探析】首先理解问题:一个集合A中含有四个正整数,要研究其中的两个数之和整除四个数之和SA的个数nA.(1)易得nA＝2,nB＝4.

对于(2),要求nA的最大值,即确定所有ai＋aj的值最多有几个能整除SA,也可以求所有ai＋aj的值最少有几个不能整除SA.根据整除的概念,若存在整数k,满足k(ai＋aj)＝SA,则ai＋aj整除SA,那么,若不存在整数k,使k(ai＋aj)＝SA,则ai＋aj不整除SA.这就应该研究所有ai＋aj的大小,不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4.则a1＋a2＜a3＋a4,a1＋a3＜a2＋a4,从而a4＜a3＋a4＜SA,所以a2＋a4,a3＋a4不能整除SA.可见不能整除的最少有两个,从而nA≤4,再联系第(1)问说明能取到4,所以nA的最大值为4.

对于(3),给出了集合A的一个最小元素为a,要在nA取到最大值时,求出所有集合A.这要以(2)的结论为基础,同样设定0＜a＝a1＜a2＜a3＜a4,则在nA＝4时,有a1＋a2,a1＋a3,a1＋a4,a2＋a3均能整除SA.这时,应注意到a1＋a4＋a2＋a3＝SA,故(a1＋a4)|SA,则(a1＋a4)|(a2＋a3),同样(a2＋a3)|(a1＋a4),所以a1＋a4＝a2＋a3.

另外,再由a1＋a2,a1＋a3整除SA,得(a1＋a2)|(a3＋a4),(a1＋a3)|(a2＋a4),故存在整数k1,k2,使得a3＋a4＝k1(a1＋a2),a2＋a4＝k2(a1＋a3),由a1＋a2＜a1＋a3＜a2＋a4＜a3＋a4,知k1＞k2≥2.至此,要求得a2,a3,a4,就还要进一步确定k1,k2的值,于是再分别考虑k1,k2的上界.

结合a1＋a4＝a2＋a3,可得k2(a1＋a3)＝a2＋a4＝2a2＋a3－a1＜3a3－a1＜3(a3＋a1),故k2＜3,从而得k2＝2,即a2＋a4＝2(a1＋a3).

由a1＋a4＝a2＋a3与a2＋a4＝2(a1＋a3),可得a3＝2a2－3a1,a4＝3a2－4a1,于是,k1(a1＋a2)＝a4＋a3＝5a2－7a1＜5(a1＋a2),所以3≤k1＜5,即k1＝3或4.当k1＝3时,由解得集合A为{a,5a,7a,11a}.当k1＝4时,由集合A为{a,11a,19a,29a}.

综上,使得nA取到最大值时的所有集合A为{a,5a,7a,11a}和{a,11a,19a,29a}.

【反思领悟】解决这个问题,首先是要对“整除”的定义理解到位;其次要设定四个数的大小,从而便于对四个数中每两个数构成的和的大小进行分析,从而判断整除性.第(3)问要求出集合A,就是要求得其中的三个数用一个已知的最小数表达,所以就要充分利用整除关系导出四个数之间的关系式,其中对后两个关系式中k1,k2的确定是本题最大的难点,这就要有范围估算的意识,要能灵活运用大小关系放缩,体现出较强的分析思维能力.

【解法再探】(3)给出了集合中的一个最小元素,可以想到另外三个元素应该用最小元素来表达,以最小元素为参照.设a2＝a＋x,a3＝a＋y,a4＝a＋z,且x,y,z∈N∗,x＜y＜z,则SA＝4a＋x＋y＋z.

由(2)可知,当nA取到最大值4时,a1＋a2＝2a＋x,a1＋a3＝2a＋y,a1＋a4＝2a＋z,a2＋a3＝2a＋x＋y均能整除SA.

由(a1＋a4)|SA,可得(a1＋a4)|(a2＋a3),同理(a2＋a3)|(a1＋a4),故a1＋a4＝a2＋a3,即z＝x＋y,所以SA＝4a＋2x＋2y,

又由a1＋a2＝2a＋x整除SA＝4a＋2x＋2y,得(2a＋x)|2y,同理(2a＋y)|2x,故2a＋y≤2x＜2y＜2(2a＋y),从而2a＋y＝2x,y必为偶数,令y＝2t,t∈N∗,则x＝a＋t,2a＋x＝3a＋t整除2y＝4t,令4t＝k(3a＋t),易知1＜k＜4,所以k＝2或3,所以t＝3a,或t＝9a.当t＝3a时,x＝4a,y＝6a,A＝{a,5a,7a,11a};当t＝9a时,x＝10a,y＝18a,A＝{a,11a,19a,29a}.

综上,当nA取到最大值4时,A＝{a,5a,7a,11a}或{a,11a,19a,29a}.

【领悟】把握整除的概念,抓住四个整除关系,用好符号语言表达,充分运用整除的基本性质灵活化解整除关系,这是突破本题难点、解决问题的关键.

【自主训练】以下再给出几道考题给同学们自主思考练习.

练习1已知数列{an}满足:a1∈N∗,a1≤36,且.记集合M＝{an|n∈N∗}.

(1)若a1＝6,写出集合M的所有元素;

(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;

(3)求集合M的元素个数的最大值.

练习2已知a1,a2,…,an,…是由正整数组成的无穷数列,对任意n∈N∗,an满足如下两个条件:①an是n的倍数;②|an－an＋1|≤5.

(1)若a1＝30,a2＝32,写出满足条件的所有a3的值;

(2)求证:当n≥11时,an≤5n;

(3)求a1所有可能取值中的最大值.

练习3设正整数数列A:a1,a2,…,aN(N＞3)满足ai＜aj,其中1≤i＜j≤N.如果存在k∈{2,3,…,N},使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数,则称A为“k阶平衡数列”.