浅谈反比例函数在高中数学中的应用

王兴涛

【摘要】高中数学具有很强的抽象性和复杂性，学生不容易学懂，教师应该结合数学知识的本质，在数学教学中引导学生进行数学思想的灵活运用，通过数学思想来进行数学问题的分析和解决，往往可以起到事半功倍的效果.笔者将利用反比例函数的一些性质，与高中数学教学内容有机地结合，将复杂的、未知的数学问题转化为学生已知的数学问题，从而帮助学生解决问题，提高学生学习效率.

【关键词】反比例函数;高中数学;教学应用

新课改的背景下，高中教师在数学教学的过程中，要结合学生已知的知识，引导学生进行知识和经验的迁移，在学生原有的知识基础上进行新知识的引入，增加教学的趣味性、互动性，以便达到抛砖引玉、层层深入的教学效果.下面将以反比例函数在高中数学教学中的应用为例进行探讨，以帮助学生更好地理解数学思想，增强学生的问题分析和解决能力，促进学生的数学核心素养的提升.

一、反比例函数对称性在高中数学教学中的应用

反比例函数是中学数学中常见的函数，其表达式为y=kx（k为常数，k≠0），通过反比例函数的图像性质可知，反比例函数关于坐标原点中心对称.因此，在一些数学问题的分析和解决中，应用反比例函数的对称性，既可以简化解题步骤，也能够有效地提高解题效率.

例1 已知函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）交于两点P，Q，并且ak>0，已知其中一点P的坐标为（5，-1），那么点Q的坐标是多少？

通常的思路是将点P的坐标代入到函数的解析中，构建方程组，通过解方程的方法对点Q的坐标进行求解.这种方法比较常规，由于涉及反比例函数，运算会比较复杂，学生不容易求出正确的结果，费时费力.这时，通过反比例函数图像的对称性进行分析问题，就能很容易得出点Q的坐标.

由于题目中的函数都关于原点对称，因此，二者的交点也关于原点对称，那么很容易就得到点Q的坐标（-5，1）.

例2 如图所示，半径为2的圆O1与圆O2相切于坐标原点，反比例函数y=kx（k>0）与O1和O2分别交于A，B，C，D四点，现在从圆O1和圆O2内任意取一个点，求这个点取自阴影部分内的概率？

本题是一个几何概型问题，图中的阴影面积并不能够直接求出，这就需要运用到反比例函数关于原点对称的性质，由于圆O1与圆O2也关于原点对称，因此，可以将阴影部分面积进行对称，得到一个半圆，这样问题就迎刃而解了.即所求的概率为12÷2=14.

反比例函数的对称性对解决高中数学问题往往具有重要的作用，是数学思想的具体应用，可以有效地提高学生的问题分析能力，促进学生思维能力和数学抽象能力的发展.

二、反比例函数单调性在高中数学教学中的应用

单调性是函数的一个重要性质，在解决问题时巧妙应用反比例函数的单调性，往往可以化繁为简、化难为易，让学生轻松发现数学问题的本质，有效地解决问题，提高学生的自主学习效率，培养学生的数学思想方法.

例3 已知x>0，y>0，满足条件x+y=k（k为常数，k>0），那么x2x+1+y2y+1的取值范围是多少？

本题的常规解法是将含有两个未知数的式子x2x+1+y2y+1通过已知条件转化为含有一个未知数的式子，从而运用有关函数或不等式的性質进行分析和判断，进行解决.然而，由于在上式中应用消元法会破坏式子原有的结构，引入k，将问题复杂化.因此，可以先将式子进行化简，然后通过换元法构造反比例函数，运用反比例函数的单调性解决问题.

x2x+1+y2y+1=x2+y2+xy（x+y）x+y+xy+1=（x+y）2-2xy+xy（x+y）x+y+xy+1，将已知条件代入得（k-2）xy+k2k+xy+1，令t=k+xy+1，则xy=t-（k+1），可得k+1

则（k-2）xy+k2k+xy+1=（k-2）[t-（k+1）]+k2t=k+2t+k-2，

此时可以构造反比例函数f（t）=k+2t，则根据反比例函数的性质，可以得到f（t）在k+1，（k+2）24上递减，因此，得到f（k+2）24≤f（t）

总而言之，在高中数学教学中应用反比例函数，可以增强学生的解题效率，提高学生的思维能力，培养学生的数学思想.高中数学教师要善于从试题中发现资源，引导学生进行分析，让学生能够在学习中感受到数学思想，体会反比例函数性质的应用，从而促进学生自主学习效率的提升，提高教学质量.

【参考文献】

[1]刘长友.巧用反比例函数系数k的几何意义[J].初中生世界，2016（8）：33-34.

[2]王合清.浅谈双曲线的渐近线妙用[J].中学生数理化，2018（2）：31.

[3]张春芳.提高初中生数学运算能力的策略——以“反比例函数”为例[J].中学数学教学参考，2015（36）：20-21.