随机系统概述

倪沈侠 阎少宏 吴宇航

【摘要】本文关注的是It型随机系统（确定性系统添加随机干扰）的稳定性问题.简单介绍了随机系统的类型，起源和发展，以及在分析其稳定性过程中用到的一些方法.

【关键词】It积分;布朗运动;随机微分方程

【基金项目】中国自然科学基金（No.11601151）.

一、随机系统研究背景

著名的股票价格Black Scholes模型可以用一个标量线性随机微分方程（SDE）dy（t）=αy（t）dt+σy（t）dB（t）来描述，其中α是增长率，σ是波动率.此时，平均股价x（t）=Ey（t）满足微分方程dx（t）=αx（t）dt，因此，当α>0时平均股价将呈指数增长.但有趣的是，若σ足够大，单个价格y（t）将以概率为1倾向于零.也就是说尽管股票价格整体增长，但个人仍有可能在大幅度波动下失去财富.这个实例表明随机波动率可以影响系统原有的稳定程度.

现实生活中存在许多随机现象，例如，天气、物价、生产制造系统等都具有不确定性，都存在或多或少的干扰因素.这些干扰可能会影响原本事物的功能或发展，用传统的方法几乎无法解决.随着随机现象广泛存在，越来越多的学者开始用随机的观点来分析和解决问题.

二、随机系统基础

1969年，Kozin把随机系统分为随机参数为高斯白噪声型与随机参数为非高斯白噪声型两大类.目前关注最多的是前者，其数学模型是It型SDEdx（t）=f（t，x（t））dt+g（t，x（t））dB（t），其中f是漂移项，g是扩散项也是布朗运动引导的随机扰动项.我们研究SDE的稳定性也就是研究SDE解的稳定性.对SDE的解，它的存在唯一定理只需满足一致Lipschitz条件和线性增长条件.关于SDE的基础知识可在毛教授的著作中获得[1].

我们强调的随机系统大致可以分为两类.一类是确定性系统加上随机噪音，可通过调整随机噪音的强度来使整个受控系统变得稳定.还有一类是系统自身带有随机性或不确定性，从控制的角度说，较高效的方法是设计一个控制器来镇定它.这样分类也存在缺陷，因为实际中到处存在随机事物，这是一个持续发展的动态问题，并没有十分清晰的界限.本文提到的随机系统默认为确定性系统添加随机噪音类型的随机系统.

三、随机系统发展历程

（一）随机干扰

随机干扰早已摆脱了人们对它的负面看法.许多学者引入随机干扰来影响系统的性能.随机干扰能够压制或促进系统解的指数增长，缓解系统指数增长过程中的爆炸可能性，还可以镇定系统，使系统变得稳定等.稳定性，镇定和稳定化这些词语之间有什么区别呢？稳定性是系统的某个性质或判断系统状态的一个指标;镇定是使系统达到稳定状态的一种手段或方法;而稳定化描述的是调整系统状态的过程，它的最终目标是使系统变得稳定.

（二）随机系统

在讨论随机系统前有必要指出随机系统和随机神经系统之间的关系.随机神经系统可以看作是随机系统的特殊形式，比一般的随机系统结构复杂些.众所周知，随机干扰不但能夠使不稳定的系统变得稳定，也能使稳定系统变得更稳定.近些年来，越来越多的学者开始关注随机系统的稳定问题.这个问题的起始工作是由Hasminskii完成的.后来，Arnold等人表明，当且仅当a的迹小于零时，零均值平稳参数噪声可以镇定多维线性系统.对非线性系统，若它满足局部Lipschitz条件，则可以通过随机干扰使其稳定.

由于测量漂移或参数不确定性等原因，系统的时间延迟是不可避免的，时滞是系统不稳定的来源之一.时滞随机系统可以用随机泛函微分方程（SFDE）或随机延迟微分方程来描述.由于时间延迟给系统带来的复杂性，在讨论稳定性的过程中会出现很多阻碍，因此，我们需要寻求新的方法.例如，像带有时变时滞的非线性随机系统的前馈控制问题[2]等都是众多学者的研究成果.

还有一种系统在运行过程中受瞬间干扰时系统状态发生突然变化，进而系统运行变得更为复杂，就是切换随机系统.其中有些跳跃系统，像poisson跳变系统，Markovian跳变系统[3]等都有文献来介绍.

我们还应该注意到，无论是非线性随机系统、时滞随机系统和跳跃系统等或者是带有它们其中两个或两个以上因素的随机系统，都有较多的文献来说明随机系统稳定性的发展成果.这些成果推动了工业、科学等领域的发展，并产生了深远影响.

（三）随机神经网络系统

1982年，Hopfield神经网络被引入.作为神经网络的特殊形式，它可以用一个常微分方程来描述.上世纪90年代，毛教授等学者率先研究了随机神经网络的稳定性，标志着随机神经网络稳定性发展的开端.之后，同一般随机系统一样，在时滞随机神经系统、切换随机神经系统等领域都有不少成果.

到目前为止，随机神经网络的发展主要经历了模型改进、研究系统性能、创新证明方法等过程.此外，许多学者对随机神经系统其他形式的稳定性进行了研究，如几乎必然指数稳定、渐进稳定和矩指数稳定等，并且得到了大量的研究成果.随着国内外学者深入研究，相信将会有更多更好的成果出现.

四、结束语

本文主要介绍了It型随机系统的多种形式，以及分析随机系统稳定性的一些方法.若本文有描述不恰当的地方请读者批评指正，不胜感激.今后，笔者将继续对It型随机系统的稳定性问题展开深入研究.

【参考文献】

[1]Mao X.Stochastic differential equation and applications[M].Elsevier，2007.

[2]L.Liu，X.J.Xie.State feedback stabilization for stochastic feedforward nonlinear systems with time-varying delay[J].Abstract and Applied Analysis，2014（4）：936-942.

[3]Feng L，Li S，Liu Z，et al.Robust stability of a class of stochastic functional differential equations with Markovian switching[J].Advances in Difference Equations，2016（1）：205.