浅析第三代微积分

夏云青 夏云龙

【摘要】本文首先回顾了微积分的发展史，重点介绍第三代微积分的内容及应用价值，最后提出希望广大数学教育工作者热心研究数学教育，随着新思想和新方法的普及，能将微积分变成多数学生都容易理解的一门数学课程.

【关键词】极限;不等式;微分中值定理;乙函数;差商有界;强导数;广义差商有界;赫德尔导数;连续;数学教育

【基金项目】2017年郑州工程技术学院校级教学改革项目（ZGJG2017023B）.

微积分是理工、经管类本科学生的一门必修的重要基础理论课.通过本课程的学习，要使学生获得微积分的一些基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础.同时，逐步培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.但是对一部分学生来说，学起微积分来可真是力不从心，下了九牛二虎之力，但结果总令人不满意.多年来国内外从事数学教育的工作者也是使尽一切解数，大多是从教学方法、解题技巧上做一些创新改革使学生容易理解记忆传统微积分的一些概念结论，而第三代微积分则是以全新的方式处理微积分，改革微积分本身，目的是使学生先明白微积分的原理，然后在此基础上更深入地学习微积分，这样就不会“知其然而不知其所以然”了.那么什么是第三代微积分呢？

一、微积分的诞生

17世纪，伴随着工业革命和科学技术的发展，给数学界提出了许多十分棘手但又需迫切解决的问题，对于这些问题的研究，促使微积分作为一门学科而诞生.归纳总结主要是四类问题：第一类，求曲线上任意点处的切线;第二类，求运动物体的瞬时速度;第三类，求函数的最值;第四类，求曲线长度、曲线所围平面图形的面积、曲面所围立体图形的体积、物体重心等.

二、微积分发展回顾

第一代微积分是由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日—1716年11月14日，德国哲学家、数学家）和牛顿（Isaac Newton，1643—1727，英国伟大的物理学家、数学家）各自创建的微积分.这时的微积分谁也说不清楚，出现00的问题，我们知道分母不能为0.创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不明白，导致了第二次数学危机.微积分的原理虽然说不清楚，但是微积分的应用却很广泛.所以微积分在说不清楚的情形下发展了130多年.

第二代微积分是在19世纪末期产生的，当时柯西（Cauchy，1789—1857，法国伟大的数学家、物理学家、天文学家）和魏尔斯特拉斯（Weierstass，Karl Theodor Wilhelm，1815—1897，德国伟大的数学家）等建立了严谨的极限理论，用极限给出了无穷小的概念，夯实了微积分的基础，形成了第二代微积分.这次数学家把微积分说清楚了，第二次数学危机解除了.但是由于概念烦琐，逻辑推理很多，对绝大多数学习高等数学的人来说，仍然是听不明白的、搞不清楚的.微积分在多数学习者弄不清楚的情形下，又向前发展了170多年.

第三代微积分是正在创建和发展的新一代的微积分.人们希望微积分不但严谨，而且直观明了.让学习者用较少的时间和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然，不但数学家能说清楚，而且非数学专业的学生也能听得明白.

近几十年来，国内外都有人从事第三代微积分的研究和教学实践.我国的林群院士在此方向上做了近10年的研究工作，代表作有《微积分快餐》，还有张景中院士的《直来直去的微积分》，他们以全新的方式处理微积分，被称为第三代微积分.

三、第三代微积分

四、第三代微积分的价值

第三代微积分的出现和发展，对数学教育的影响是不言而喻的，微积分入门难的问题有望解决;绝大多数学习微积分的学生知其然而不知其所以然的情形有望改观;对数学系的学生来说，了解微积分的新概念和新方法也可以使自己的学习内容更加丰富多彩，亲身经历学科大发展大变化，对启发创新思维也是大有裨益的.因此，建议所有学习微积分的学生、所有讲授微积分的教师，都能够在百忙之中抽空翻阅一下第三代微积分的内容，多角度地思考微积分，相信一定能从第三代微积分的思想和方法中获益.

目前，第三代微积分的内容还没有作为教材在各高等院校推广使用.但是有专家建议：第三代微积分可以限制在初等数学范围内讲授，因为它没有极限的内容，便于高中学生掌握和理解.而以极限为基础的微积分是人类智慧的最高成果，在大学讲授，这样可以避免中学微积分和大学微积分之间的重复.笔者很赞成这个建议.

另外，第三代微积分也有其学术价值.现代物理认为，当测量的尺度小到一定程度时，时间和空间的性质成为量子了，这样就不能像牛頓所想象的让时间间隔趋于0来取极限，也就是说基于实数理论和极限概念的数学模型仅仅是现实物理世界的近似描述.如果采用第三代微积分的理论，用估值不等式作为数学模型，就克服了这个缺点，使数学理论更适应于现实物理世界.

我们大家知道，计算机只能计算有理数.但在传统微积分中，计算所用的理论和公式却是借助实数理论推导出来的.能不能不依赖于实数理论为计算机所用的计算方法提供理论依据呢？第三代微积分提供的数学模型，恰好可以为计算机所用的微积分提供理论基础.

第三代微积分基本理论的建立不依赖实数理论和极限，但并不排斥实数理论和极限.极限思想是数学的精华之一，极限的理论和计算在微积分中有重要的地位.实数理论对存在性的论证是不可或缺的.

五、提出希望

当代著名的数学家阿蒂亚在1976年任伦敦数学会主席时的演说中，有这样几句话：“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一.”“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解.”作为人类精神的最高的成果，微积分曾使成年人中的数学家都感到困惑.我们希望并且相信，在不远的将来，随着新思想和新方法的普及和应用，微积分将会变成多数孩子都容易理解的一门数学课程.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014：127.

[2]林群.新版微积分[R].北京：科学技术出版社，2006.

[3-13]张景中.直来直去的微积分[M].北京：科学技术出版社，2016.