估算认识的两个误区

夏冰

【摘要】部分小学教师对估算的认识还存在两个误区：一是认为估算只有好与坏之别，没有对与错之分;二是认为估算是粗略的计算，估算结果只能是粗略值而不能是精确值.这两种认识都是错误的，这主要是由于小学教师对估算概念的认识不够清晰而造成的.本文将结合实例来加以说明.

【关键词】小学;教师;估算;认识;误区

一、估算存在的两个误区

《小学数学课程标准（2011版）》加强了估算在小学的教学[1]，将“数量的估计”作为重要的教学内容，并在不同学段提出不同的要求.在小学校举行的教学比赛或观摩讨论课，也多选择估算这一内容来进行.随着教师对估算教学的不断重视，对估算教学的研究不断深入，大部分教师对估算教学误区进行了研究，特别是对估算认识中出现的问题进行了探讨和纠正.如司继伟纠正了“估计值不是要得到的最终答案”“估算没有标准答案”等错误认识[2].在对小学数学教学进行调研时，笔者了解到部分小学教师对估算还存在两个的误区：一是认为估算只有好与坏之别，没有对与错之分;二是认为估算是粗略的计算，只能估算出近似值而不能是精确值.这也反应部分小学教师对估算的概念还不够清晰，对估算的评价标准还不够明确.以下笔者结合实例来澄清这两个问题.

二、估算不仅有好坏之分，还有对错之别

例1 估算8×12.

教师与学生共同讨论，其估算方法大致分为以下三种：

法一：把8取整，估算结果为120.此估算方法称为增大取整.

法二：把12取整，估算结果为80.此估算方法称为减小取整.

教师指出，后一种估算比前一种估算好，这两种方法都叫做取整方法，是小学估算的主要方法.

法三：若把8和12都取整，其结果为100，此估算方法最好，称为调整（调小增大）.

以上三种方法都是正确的估算，但方法有好坏.

什么叫估算方法的好坏呢？我们用估算的值与精确值之差的绝对值和精确值的比的大小来衡量，一般来讲，比值越小，估算方法就越好;比值越大，估算方法就越坏.这样来看，“法一”的比值为0.25;“法二”的比值为0.17;“法三”的比值為0.04.所以“法三”最好，“法一”最坏.这是当前多数教师对估算的认识.

现在我们来考虑以下两个问题：

问题1：甲估算8×12的值是小于150;

问题2：乙估算8×12的值大约是150.

甲和乙都是把8取10，把12取15，这样估算的结果都是150，那么这种方法在这两种情境中得到的估算结果是否有好坏之分，对与错之别呢？这就需要弄清估算的概念，才能回答这个问题.

那么什么是估算的概念呢？沈威、曹广福在研究了司继伟等人对估算认识的成果后进一步指出：“估算是主体结合数学情境运用已有数学计算经验产生一个相对快速且满足一定条件的、与计算有关的、判断的心理加工过程[3].这是估算概念的最新定义.该定义对小学教师和学生而言，还不够通俗易懂.因此我们可以这样给出估算的概念：在一定范围内对数值的大小给出的一个粗略估计叫做估算.这里的“一定范围”分两种情况：一为指定范围，二为常识范围.一般来讲，估算有一个明确的指定范围，如“比什么数大（小）”.如果没有明确的指定范围，则有常识范围，如“大约是多少”.也就是说估算总是在“一定范围”内进行的，这种范围要么是指定的，要么是常识的，但都有范围，这一点要明确.如果估算的值在“一定范围”内，则估算有好坏之分，如果估算的值超过了这个范围，则该估算是错误估算，这就有对错之别.

例1中的“一定范围”是“常识范围”，即是80到120的开区间.所以他们有好坏之分.问题1的“一定范围”是小于150，是“指定范围”.在该范围内也有好坏之分.而问题2的“一定范围”则是“常识范围”，是80到120的开区间.150超过了这个范围，所以它是错误估算，这就没有好坏之分，只有对错之别了.因此判断估算的对与错、好与坏，主要看估值是否在“一定范围”内，若估算之值在其内，即是正确估算，则估算有好坏之分，如果估算之值不在其内，则是错误估算.因此估算不仅有好坏之分，也有对错之别.

三、估算也可以估算出精确值

对于第二个误区“估算结果只能粗略值而不能是精确值”，我们来讨论下列问题：

例2 估算35×45.

这里要用到一个估算结论：两数之积，以平均数自乘为最大.两乘数离平均数越远，其积越小.如8×12的积，以平均数10自乘（10×10）为最大.8×12就比9×11小.

“常识范围”是辩证的.35×45的常识范围可以是大于1 200小于2 000，也可以是大于1 400小于1 750.依据当事人的估算认知水平而定.我们使用调整的方法：将35调小为30，将45调大为50，因此得到35×45>30×50=1500，由于5×5=25，因此估算35×45大约是1 525.

也可以这样估算：将35调大为40，将45调小为40，所以35×45<40×40=1 600，由于5×5=25，因此估算35×45大约是1 600-25=1 725.

首先明确“一定范围”是“常识范围”，即大于1 500小于2 000，或大于1 400小于1 750.1 525在这个范围内，1 725也在这个范围内，所以这两种估算都是正确的.而后一种方法却估计出了精确值.以此方法，我们也可估算出35×35为1 225，也是正确估算.至此我们认为，估算也可以估算出精确值.

根据估算方法好坏的概念，能估算出精确值的估算就是最好的估算.所以，估算的结果可能是一个粗略值，也可能是精确值.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]司继伟.小学估算教学的常见误区及对策[J].学科教育，2002（5）：27-30.

[3]沈威，曹广福.数学估计及中国数学课程标准对其的培养要求[J].数学教育学报，2015（4）：37-43.

[4]邓丹丹.走出“估算教学”的误区[J].数学教学通讯，2016（7）：36，46.