基于度量本质的教材解读与教学探究

黄慧章　郑大明

[摘 要]度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。通过文献阅读、教材解读、主题研讨、课堂实证等研究活动，初步厘清了度量的含义、要素、本质及价值，梳理出小学阶段关于“度量”的课程目标与内容，总结出小学阶段培养学生度量意识的基本策略。

[关键词]度量本质;教材解读;教学探究

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）05-0005-06

一、研究动因

（一）度量在数学中有着重要的地位

昂利·彭加勒在《科学与方法》一书中说道：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”

史宁中教授指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。”可见，度量在数学中有着重要的地位。

（二）教师对度量的认知不深刻

在以往的教学中，教师并没有过多地关注“度量”。毕竟“度量”没有写进课程标准，自然没有引起教师的重视。在2019年新世纪小学数学研究与应用基地开展“度量”主题的序列活动后，大家才把目光聚焦到“度量”上来，但是对它的认识仍不全面，多数教师认为度量就是测量，对其内涵、本质及价值的认知不深刻，更谈不上从度量的角度去解读教材、设计教学、开展教学。

（三）学生的度量意识有待提升

由于教师对度量的认识不深刻，也不重视度量，使得学生的度量意识不强，也就是自觉地感受和使用计量标准的意识不强。例如，在“角的度量（一）”学习中，不会主动用小角去测量大角;在“分数的再认识（二）”学习中，当用一张纸条不能正好量完时，不会主动地创造更小的单位去测量;等等。

教师如何基于度量的本质去解读教材？在备课和教学时如何把握度量的本质？如何设计教学活动，让学生经历单位的产生与形成过程、单位的累加与划分过程，从而形成标准单位的观念，并以此作为估计和测量的工具，培养学生的符号意识和数感，帮助学生积累度量活动的经验？

基于以上问题，我们开展了“基于度量本质的教材解读与教学探究”的研究。

二、研究成果

（一）认识性成果

1.对“度量”的基本认识

（1）“度量衡”的背景知识

①度量衡的产生

度量，即计量长短、容积、轻重的统称。

度量衡的产生，是和人类交换行为的发展分不开的，并且随着生产力的进步，度量衡也在不断变化。《礼记》和《周礼》中都有记载：早在周朝时期就开始推行严格的度量衡管理制度，并设置了主管的官职。公元前221年，秦始皇统一中国，颁布了统一度量衡的诏令，由官府监制成套计量标准器，发到全国各地。秦朝统一的度量衡制度为两千多年封建社会所沿用，形成我国计量科学独特的体系。

②古代度量衡命名

“度量衡”名称源自《书·舜典》“同律度量衡”，《汉书·律历志》阐明其意，随后历代都沿用这个名称。如果把度量衡这个名词分开，就有度、量、衡三个量。这种分开来的各个单一量的名称，是由汉代刘歆的条奏所言“审度”“嘉量”“衡权”而确定。其中“嘉量”又出自《周礼·考工记·桌氏》的“嘉量既成，以观四国”。

“审”的意思就是“定”，所谓审度是指用“度”来确定物体的长短。

“嘉”的本义是“善”，所谓嘉量是指以量器来量物体的多少时，必须像水平那样作为标准。

“权”的意思是“重”，“衡”的作用是用“权”来平衡物体的轻重，衡权也就是指权和物形成平衡。

度——计量长短的器具，也是长度单位的通称，现在还表示测量长度的过程。

量——测定计算容积的器皿，又是体积和容积单位的统称，现在还表示测量和测量结果。

衡——测量物体轻重的工具，又是轻重单位的统称，现在“权衡”和“衡量”还表示称重过程。

（2）现代汉语中的度量衡

①关于“度”的解释有13种，与数学相关的主要有：

计算长短的器具或单位：尺～;刻～;～量衡。

分角的单位，一圆周角分为360°：角～。

依照计算的一定标准划分的单位：温～;湿～;经～;纬～;浓～。

②关于“量”的解释有6种，与数学相关的主要有：

量（liáng）：用器物计算东西的多少或长短：用尺～布;用斗～米;车载斗～;～体温。

量（liàng）：旧指测量东西多少的器物，如斗、升等。数的多少：数～;质～;降雨～;限～供应。

③关于“衡”的解释有6种，与数学相关的主要有：

秤杆，泛指秤：～器;～镜（借指辨别是非善恶的标准）;～鉴（衡镜）。

称量：～钧（借指执掌国政之权）。

（3）我们对度量的基本认识

①度量的含义

度量就是对事物长短、容积、轻重的计量过程。

②度量的要素

度量包括度量对象、度量单位、度量方法和度量值。

③度量的本质

度量的本质就是度量单位的累加与划分，即度量对象包含有多少个度量单位。例如，长度的度量就是指度量对象包含有多少个标准的长度单位;分数的度量，就是指将较大单位细分为较小单位后，这个分数包含有多少个这样的分数单位。

④度量的類型

度量分为抽象度量和具象度量。抽象度量是用计数单位（通过抽象得到的度量单位）去计数（数数），其着力于数感的培养。关于整数、小数、分数、比等的度量则属于抽象度量。具象度量是用计量单位（工具）测量，其着力于量感的培养。例如长度、面积、体积、重量等的度量。

⑤度量的价值

度量触及数学的本质，是贯通数量关系和空间形式的桥梁。它是人类认识、理解和表达现实世界的又一重要工具。

2.对“度量意识”的认识

度量意识就是一种自觉地感受和拥有使用计量标准的意识。它包括以下几个层面：

（1）自觉感受和使用《中华人民共和国计量法》规定的计量单位。

（2）自觉感受和使用抽象的度量单位和具象的度量单位，并能运用度量单位间的联系解决问题。

抽象度量：使用计数单位，即数数的标准。（数感）

具象度量：使用计量单位，即用工具测量的标准。（量感）

（3）自觉感受测量活动中度量和度量单位的本质意义，会选择运用相应的度量工具。

计数和计数单位：累计与等分（比如十进制： 104，103，102，101，100，10-1，10-2，10-3，10-4…）。

计量和计量单位：长度，标准距离的倍数;质量，标准物体密度的倍数;容积，标准（固）液体容量的倍数。

（4）自觉感受度量离散量与连续量的测量方法，并形成运用能力。

离散量：能直接数出个数的量（如牛、羊的头数）。

连续量：不能直接数出个数的量（如牛、羊的重量）。

（5）自觉感受和使用度量动态事物和不合标准事物的估计及估算方法。

动态事物度量：概数。如二十来人。

不合标准事物度量：约数。如约3平方米，约3天。

（6）自觉感悟度量单位所蕴含的数学思想，形成数学抽象和直观想象能力。

（二）操作性成果

1.梳理了培养度量意识的课程目标

“度量”集中体现在“数的认识”和“图形的测量”两大领域，于是我们认真研读课程标准，对和度量相关的课程目标进行了梳理。

（1）《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有关“数的认识”的具体目标有16个？

这些目标大致可以分为四个方面：一是建立数数的统一计数单位;二是掌握数数（计数）的方法;三是感受数的实际意义并会估计;四是会用数表示生活中的量。在四个目标中，最关键的是建立统一的计数标准，它是实现后面三个目标的基础。

（2）《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有关“图形的测量”的具体目标有14个：

这些目标大致可以分为三个方面：一是建立测量的统一度量单位;二是掌握有关图形的计算方法;三是运用测量知识解决实际问题。在这三方面目标中，最关键的是建立统一的度量标准，它是实现后面两个目标的基础。

2.培养度量意识的课程内容

3.基于度量本质的教材解读

课堂教学成功与否，首先取决于教师对教材理解的深度。按照布鲁纳的看法，任何学科教学都必须将学科中那些最广泛、最强有力的适应性观念教给学生。这些观念“可以把现行的极其丰富的学科内容精简为一组简单的命题，成为更经济、更富有活力的东西”，帮助学生通过对学科深层结构的理解来提升他们“分析信息，提出新命题，驾驭知识体系”的能力。更明确地说，教材中最有价值的内容就是体现学科本质的内容和居于内核地位的知识。

因此，要培养学生的度量意识，教师必须从度量的角度解读教材，理解教材，把握度量的本质和数学知识的内核。

例如，一年级上册“古人计数”和二年级上册的“教室有多长”。

4.培养度量意识的教学策略

（1）使学生体会建立统一度量单位的重要性;使学生理解和把握度量单位的实际意义，会在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量。

案例1：北师大版教材二年级上册第六单元“课桌有多长”

①动手测量，引发思考——体会建立统一度量单位的重要性

【活动一】

量一量：自选工具测量课桌的长度。

说一说：课桌有 6 拃长;课桌有 4 支铅笔长;课桌有 2 本数学书长……

想一想：同样的课桌，为什么测量结果不一样？（因为测量的工具不同）

教师借用上一节课“教室有多长”的活动经验，再次让学生经历用不同方式测量同一物体长度的过程。通过叩问本质，引发学生的认知冲突——虽然测量的是同一物体的长度，但量出的结果却不同，唤醒学生利用原有生活经验（从混乱到统一）解决新问题，顺势引导学生体会建立统一度量单位的重要性。

②借助直尺，多层体验——建立1厘米长度的正确表象

【活动二】

看一看：直尺上有什么？1厘米有多长？

找一找：在你的尺子上，从几到几是 1 厘米？

说一说：同桌之间相互说一说1厘米在哪里。

理一理：请用一句话来概括 1 厘米。

变一变：找到5，从5到几是1厘米？

比一比：你能用手比画出 1 厘米的长度吗？

想一想：闭上眼睛想象 1 厘米有多长，再次用手比画，并对照尺子进行检查。

找一找：生活中什么物体的长度大约是1 厘米？

借助尺子，帮助学生建立1厘米的正确表象：像0到1这样一段的长度就是1厘米。通过不断地在尺子上看、找（顺着找和逆着找），在头脑中建立1厘米的长度观念。接着教师引导学生通过动脑想、动口辩、动手比、动眼找等在多层次的实践中反复体会“1厘米”的计量單位，获得对“1厘米”这个长度单位独特、丰富、准确的感受，从而建构清晰、牢固、鲜活的1厘米的长度表象。

③聚焦本质，再次操作——理解几厘米是多个1厘米的累加

【活动三】

找一找：尝试在尺子上找到 2 厘米。

说一说：说说你是怎么找的。

拓一拓：尝试找到3厘米、4厘米。

想一想：这2厘米、3厘米、4厘米和我们刚才研究的1厘米之间有什么关系？

引导学生借助尺子来找几厘米，根据学生的回答，利用课件直观演示“将1厘米、1厘米……首尾拼接起来，得到更长的线段”，即几个1厘米就是几厘米。靠推理、想象来理解“分割和累加”的思想，促成对“多个单位”的感悟。这些活动为学生进一步认识“量”积累了活动经验，使学生感受到度量单位的价值。

④实际测量，积累经验——学会用尺子正确量出物体的长度

【活动四】

量一量：提供长为 5 厘米的小棒，让学生动手量一量。

说一说：交流自己的测量方法。

问一问：还有其他方法吗？（重点交流起点是 0 与非 0 的量法）

比一比：几种方法有什么相同与不同之处？

估一估：估一估自己的铅笔有多少厘米。

验一验：通过测量验证自己估测的结果对不对。

画一画：先尝试用手比画 4 厘米的长度，再用笔画出一条长为 4 厘米的线。

“量感”与生活息息相关，通过开展以上实践活动，能带领学生动手操作，促进学生掌握测量方法。

以上案例中，教师通过动手操作、数学表达、数学思考、直观想象等一系列数学活动帮助学生体会建立统一度量单位的重要性;理解和把握长度单位（1厘米）的实际意义;会在具体的问题情境中恰当地选择长度单位、工具和方法进行长度测量，积累了度量经验，发展了度量意识。

（2）教师应注重帮助学生在图形的测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。

案例2：北师大版教材三年级下册第五单元“什么是面积”

①比一比：（出示教材中的长方形和正方形）哪个图形的面积大？

小结：有时仅凭观察无法比较出图形的大小，这时需要对面积进行测量。

②议一议：怎样测量出这两个图形的面积有多大呢？

（预设：如果有学生说用尺子量，就引导学生明确用尺子只能测量桌面的长和宽，还不能直接测量出桌面的面积，同时用课件动态呈现素材，讓学生直观感知面积与周长的不同。）

③量一量：

首学：选择喜欢的工具进行测量，并填写首学单。

互学：小组交流测量工具、方法及结果。

群学：小组汇报测量工具、方法及结果。

生1：用正方形量，长方形共用15个，正方形共用16个，所以正方形的面积大。

生2：用三角形量，长方形共用30个，正方形共用32个，所以正方形的面积大。

共学：师生对话，总结提炼。

师：为什么没有选择用圆形来测量？

生3：有缝隙，摆不全。

师：还可以用什么图形来测量？

生4：长方形。

师（小结）：要想知道一个面的面积，首先要“定标准”，然后“去测量”，最后“得结果”。

面积的大小是指一个面的实际量值。量值需要用标准来计量。只有进一步研究如何把面的大小说清楚，才能更深入地理解面积的含义。因此，掌握计量面的大小的一般方法，是深化面积认识、形成空间观念的重要途径。让学生自选标准测量长方形的面积的教学，就是在沟通与测量中帮助学生获得更加丰富的空间表象，增进学生对度量思想、单位思想的认识与理解。

（3）借助数形结合方式，帮助学生理解数数（离散量）结果与测量（连续量）结果之间的联系，掌握数序列与量序列之间符号化陈述的本质（确定标准，记录点数）。

案例3：北师大版教材四年级上册第一单元“近似数”

问题：巨幅国画《江山如此多娇》的实际面积是18000平方米，但报道中称“近2万平方米”，这是怎么一回事呢？

①首学：独立探究，厘清原理。

②互学：小组交流，补充完善。

③群学：组间质疑，丰富方法。

预设1：因为18000在10000和20000之间，所以用直线上的两个点分别表示10000和20000，然后将这段线段平均分成10份，每份表示1000。从图5中可以看出18000离20000比离10000近，所以用2万来表示。

预设2：我们通过一千一千地数，从10000数到18000，要数8次;从20000倒着数，数到18000，只用数2次，所以18000接近2万，用2万来表示。

预设3：我把15000标出来，18000比15000大，所以18000更接近2万。

预设4：数线图上每一格表示1000，在图中分别标出11000、12000、13000、14000、15000、16000、17000、19000。

从图6中可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它们大约是10000;16000、17000、19000更接近20000，所以它们大约是20000。我们的问题是15000在正中间，不知是大约1万好，还是大约2万好。

④共学：师生总结，探究本质。

A.我们可以借助数线图来数一数：从18000开始，一千一千地往左数，数到10000是8个千;一千一千地往右数，数到20000有2个千;18000离20000更近，所以18000约等于2万，用“≈”表示，写作18000≈2万。

B.从数线图上可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它们大约是1万;16000、17000、19000更接近20000，所以它们大约是2万。例如14000大约是1万，如图8。

C.15000这个数约等于多少呢？似乎1万可以，2万也可以，因为15000刚好在中间。15000离1万和2万的距离是一样的，但为了方便记录，我们人为规定15000≈2万。课件出示图9：

D.对比约等于1万和约等于2万的数，说说你有什么发现。

预设：以15000为分界线，11000、12000、13000、14000接近1万，16000、17000、18000、19000接近2万。

小结：10000～20000，15000居正中间，比15000小的数，也就是千位上是 0～4的数，它们都接近1万，在求近似数的时候，把万位后面的尾数舍去，叫作“四舍”;比15000大的数，也就是千位上是6～9的数，它们都接近2万，要向万位进一，再把万位后面的尾数舍去， 这叫作“五入”。这个“15000”让数学家也很为难，最后规定，等于5或大于5都向前一位进一，这样就把15000归到 “五入”。这种求近似数的方法就叫作 “四舍五入” 法。

以上案例充分借助数线图这一直观模型，利用数线图中的单位长度度量出近似值与实际值间的距离，将数的大小比较转化为数线图上线段长短的比较，实现了数与形的有效结合，帮助学生直观感知近似值与实际值的接近程度，从度量的角度帮助学生理解了“四舍五入”的原理，有效地培养了学生的几何直观能力，促进了学生数感的发展。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 郑大明.践行养育“核心素养”的三性教育[J].教育科学论坛，2016（11）.

[2] 李松林，深度教学的四个实践着力点：兼论推进课堂教学纵深改革的实质与方向[J].教育理论与实践，2014（31）.

[3] 娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018（6）.

[4] 林美.把握度量本质 聚焦量感培养：以“课桌有多长”为例[J].小学教学（数学版）， 2018（10）.

（责编 金 铃）