“数格子法”引起的话题：度量本质及其他

郑大明

[摘 要]度量触及数学的本质，它是贯通数量关系和空间形式的桥梁，是人类认识、理解和表达现实世界的又一重要工具。度量的本质是指人们用数量知觉和空间知觉去感受数量的多少与空间的距离，形成度量知觉，并自觉地运用数学思维去创造度量的标准和方法。在小学数学教学中，培养学生的度量意识，使学生形成必要的度量能力是十分必要的。

[关键词]度量;本质;知觉;意识

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0001-04

新世纪小学数学教材研究与应用基地和名师工作室参与的“度量”教学专题答辩活动完美地落下了帷幕。每场辩论都让人感觉惊艳和震撼，因为这是针对一个大家很不熟悉的主题——“度量和度量意识培养”而开展的活动。但是在辩课过程中，涉及度量和度量的本质的地方，很多都没有说到位，比如对于平行四边形的面积计算，大家说“数格子”的方法就是体现度量的本质——一个格子代表1平方厘米，一个格子一个格子地数，得出面积，即度量单位的累加。既然都体现本质了，为什么后来计算面积又不用数格子的方法，而采用公式计算呢？度量是什么？度量的本质是什么？度量意识呢？可见，不能捡到一两个关于度量的词语，就在那里抛来甩去地夸夸其谈，那样还是不着边际，触碰不到度量的本质。

要说明度量的本质特征，先要从数学的本质特征说起。所谓本质就是一种事物区别于其他事物的基本特征或特性，比如三角形与四边形的本质区别就是边数、角数、顶点数不一样;本质特性的区别就是稳定性不相同。而其他的，如图形每边的粗细、长短，以及每个角的大小等，都不是影响造型属性（即三角、四边）的主要因素。

一、數学的本质是思维的符号和工具

哲学是研究世界观和方法论的系统理论。其中，世界观就是对于世界的本质及其发展的根本规律、人的思维与存在的根本关系等方面的认识，方法论则是研究人类认识世界的各种基本方法及其恰当应用的适应性。而数学从哲学中切入，选择了“人类思维”和运用人类思维认识客观世界的“思想方法”两个方面进行专门研究。

黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号。”

柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式。”

克莱因说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。”

恩格斯说：“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》沿用了恩格斯的论述，指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

近代研究表明，数学是研究人们对于事物或者现象的数量关系、内部结构、变化规律、空间形式以及信息处理等方面的认识的一门学科。

从本质上看，人类认识事物的关键能力是思维能力，所以数学属于研究思维及其表现形式的科学，它是学习和研究现代科学技术必不可少的思维工具。数学也是当前其他各门科学和技术的语言形态和思维工具。

二、度量的本质是思维的标准和程序

1.度量

在古代文献中，经常可以看到：度，就是尺子，测量长度的工具;量，就是桶子，测量容量的工具。秦始皇统一了度量衡。其中，“衡”是量的衍生工具，即测量轻重的工具。因此，度量的最初含义就是去测量距离和容量（包括轻重），满足人们对事物的长短、远近、大小、多少等属性的认知需要。

随着人们认知事物的范围扩大和程度加深，特别是进位制的产生，促使度量意义向计数、模型、表征等方面进行了多维度延伸。新兴数学集合论产生以后，度量空间的定义更加规范化了。集合中元素的有限性和无限性，使得完备度量空间成为数学度量的普遍原理。

因此，有人称度量是数学的基本语言和工具，其核心要义就是从数学的角度去刻画人们常说的多少与远近。

2.数量知觉与空间知觉

要通俗地理解和表述度量的意义，就必须借助数学教育心理学方面的知识解读数量知觉和空间知觉。

所谓数量知觉，是指对事物数量信息的多少进行快速地感受、理解、确认、估计等的知觉。数量知觉对于形成数量建模、数据表征以及数量间关系的理解能力有很大的促进作用。它是一个基于神经元的快速反应、摄取并行加工的过程。例如，大脑的中外侧顶内沟区就存在丰富的对特定数量值反应的神经元。

所谓空间知觉，是指对物体距离、形状、大小、方位等空间特性的知觉。人的两个眼睛的视网膜上略有差异的映象，就是观察物体空间关系的重要线索。它能让人在两维的视网膜刺激的过程中形成3D的空间映象。对事物不同部位的远近感知称为3D知觉或DP知觉（发展性知觉）。

高等数学中的赋范线性空间、内积空间、度量空间、希尔伯特空间对于教师来说都比较难理解。举个简单的例子，赋范线性空间，就是指可数事物数量的单位元素的累加性，比如数羊的只数，无论是采用“一群”还是“一排”，总能得出若干个单位组合起来的总数量。而度量空间就是指不可数事物数量的单位元素的可分性，比如称羊的重量，由于无法直接数数，因此就要借助一定重量作为标准，如我国古代的斤、两、钱等，现代的吨、千克、克等。无论是多少只羊，无论是大羊还是小羊，总能经过不断分解、组合，进而称出个几斤几两来。在实际生活中，这些空间思维往往会综合应用，在计量标准的不断累加和细分的过程中，空间知觉趋于完美。

3.度量知觉与度量意识

度量触及数学的本质，是贯通数量关系和空间形式的桥梁，它是人类认识、理解和表达现实世界的又一重要工具。

怎么才知道测量出来的距离有多远，东西有多少呢？借助心理学研究方法，我们提出了度量知觉和度量意识两个比较新颖的概念。

所谓度量知觉，就是指需要快速地通过度量的方式去感受和认识事物的多少、大小和形状相关的特征、性质和形态的知觉。因为事物的这些特征和属性，光靠眼睛看、耳朵听、伸手摸已经不能满足我们的需要了。比如，“今天很冷！”到底多冷？今天比昨天冷还是昨天比今天冷？我们都很想知道。定性“冷”显然不够用。再比如，“我们班成绩很好！”到底有多好？定性“好”不够用了，必须得定量出“好”的标准和“好”的数量。要做到这些，就必须树立度量意识。

所谓度量意识，就是自觉地去感受和拥有使用计量标准和计量工具的意识。昂利·彭加勒在《科学与方法》一书中说道：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”这里说的工具就是我们常说的标准。比如古代的“尺”，不但是计量长度的工具，它自身的长度也是古人约定的计量标准。量，计量谷物多少的容器，但像升、斗等量具的容积就是古人约定计量容量（质量）的标准。后来人们还发明了“衡”，这就体现了人们在计量事物的过程中，不斷根据计量需要而进行创新的意识。

有了度量知觉和度量意识这两个概念，我们就能解释数学中多种度量现象和度量活动的合理性和科学性。下面就运用这个观点来解读一个最基本的数学形态：

数和形被马克思定义为数学的内核。但是，在人们的意识里，数是抽象的，也是符号化的。对于“数”的初步感觉往往就是1、2、3……一一对应事物与声音符号、文字符号，一直数下去、写下去，数不完，也就写不完。事物有个数，符号也有个数，有序地数，有序地写，习惯就成自然了。对于“形”的初步感觉就是，有些东西长，有些东西短;有些地方近，有些地方远;有些东西大，有些东西小;有些东西多，有些东西少（如下图）。

在某位教师上完这一课后，我问他：“如果不上这一课，学生会知道图示的意思吗？”他脸一红，说道：“肯定知道，幼儿园学过！”我又问：“没读过幼儿园的，就不知道了？”他又说：“知道的。多数小孩子在1岁的时候就可以抓大糖果，会争多的东西了。”我说：“那这课白上了？”他尴尬地笑了：“你说这课该怎么上？”

问问孩子吧！他们想知道：谁比谁长，长多少;谁比谁短，短多少。有的孩子知道意思，但不会说;有的孩子说不出是怎么比出来的，只会说“看出来的呗！”可是眼尖的孩子发现：尺子比长短那里，长的比短多一大格子。对此，教材的编者就渗透了用标准分格子就能比出“多多少来”。

原来，图示都是两个物体相比。用数的方法，得到的答案一样：两个东西。假如教师能够想到给它们编个号，如“1号××，2号××”，这样就“语词化”，方便叙述了。至此，还是解决不了孩子们的疑问：到底大（高/长）多少？也就是只有定性是满足不了定量需求的。这里就出现了朴素的度量意识：想知“1号事物”和“2号事物”到底相差多少。

显然，采用标准化法就能知道相差多少。只要注意到尺子和它的刻度，就能够发现度量的优势。其他的相似度量，以后就会有类比的办法了。这就是真实地通过度量知觉获得了度量意识。

因此，我们常说“量是数、形的桥梁”。数学家认为，直接可数而得到的数量，它们之间没有中间数量链接，比如1只羊，2只羊，3只羊……叫作离散量。离散量可以是排成一排的，也可以是圈在一起的，还可能是放在地上和树上的，等等（如下图）。但只要还是羊，无论走到哪里，都可以数出它们的头数。

但是一杯水有多少？一条路有多长？一头牛有多重？这就不好数了。

聪明的人类发明了尺子、量杯、台秤，约定一定的长度、一定的容量、一定的重量为标准。看其他同类型事物比它多还是比它少。比它多，量了又量，标准累加;比它少，分成小块，再量了累加;如果还有比“第二个它”少的，又分成更小块……

这样，几杯水和半杯水可以量，有数据了;几头牛、大牛、小牛、小小牛可以量，有数据了。再通过位置赋值，比如104，103，102，101，10-1，10-2，10-3，10-4，将计量标准不断累加和细分，使若干标准系列建立起来，满足了记数的需要。

看，原来不可数的，经过我们的思考，创造出了新标准，再经过分与合，把原来不可数的变成可数的，而且可以无限地做下去。这样，两个标准之间就能无限地链接起来，无限地度量下去。于是，数学家把这样测量出来的量叫作连续量。

这样，“数”和“形”通过“量”的刻画，就和谐地相处起来了。这就是创造度量标准和度量方法的意义和价值。

因此，记录数数的结果通常是用语言、文字、符号。于是有人说，只要你熟悉了，数数、写数都不再需要真实地一个个去比、去量、去称，只需要眼睛看看、脑筋动动就办到了。比如要数10万辆车，一般人不会亲自一辆一辆地去数;把一个饼平均分成1000份，可以分，但很少有人真的去做，就连画图都不愿意去画。数学家把这一类符号化的度量叫作抽象的度量。

相反，要称牛的重量或量箱子的容量时，即使是眼力再好或者经验很丰富的人，通常都要亲自去看一看、量一量、称一称，才能获得一些真实的数据信息，或者还要经过计算才能得到想要的结果。数学家把这一类标准化的度量叫作具象的度量。

三、度量的意识让思维觉醒与创新

人们普遍认为，度量就是人的本能反应，如果具备了度量意识，就会在日常生活中有意无意地加以应用。无论是教师还是学生，只要提供适当的机会，他们的思维就会觉醒，就会有创造与创新。比如，在这次辩课过程中，教师就能自觉、主动、积极地运用这次“度量”主题活动中学到的一些“度量”常识，解读教材和学生，解读数学课堂。因此，笔者尝试解读大家的几点疑惑。

1.“数格子”，度量就走到头了？为什么还要用公式呢？

在“多边形面积的度量”辩课中，很多小组都是组织学生用方格子数出图形的面积，从而理解度量本质，发展度量意识。

于是有人提出：“这就完了？”

“是完了，还想怎么样？”

“那公式计算怎么体现度量？”

……

是的，看似走完了，其实还很远。“数格子法”意义重大，大就大在它会引导我们将一维空间、二维空间、三维空间联结起来，将具象度量逐渐与抽象度量结合起来。

数学教育家是这样思考的：数格子法，是要学生体会图形的等积变换。剪也好，拼也好，移也好，就是要学生通过观察格子数不变的现象证明图形变化前后的面积没变。但是除了面积没变，还有什么没变呢？底变了吗？高变了吗？高跑到哪去了？底跑到哪去了？通过对比变化前后的数学信息，可以发现：原来通过数格子，就看到多边形变化前后对应的高与宽、高与高的相等关系不变，对应的底与长、底与底的关系不变。于是，再也不需要去稻田里数格子、比门板了，量边长、量高的问题，用测量绳子长度的方式就可以解决了。这就成功地把二维度量转化为一维度量了。于是，面积计算公式就是在度量一维空间的前提下诞生了。

物体体积计算前的“数积木”活动，也同样是把三维空间度量转化为一维空间度量，成功运用一维空间度量的结果，通过公式计算，得出物体的体积。

这样，就印证了前面“度量的本质之一是测量距离”这句话的正确性。

2.“11”怎么个度量法？

在“古人计数”这一课上，教师要求学生数出11个物体。

“数11，这多簡单呀！”“除了智力有障碍的孩子，现今一年级的孩子谁不会数呢？”要说体现数学文化，大家都会讲数学故事，讲有文化分量的数学家的故事。但是，要讲度量，培养学生的度量意识，真是难倒了很多人。这里最关键的两个问题：一是学生会数数，知道答案是“11”，怎么设计一堂课把他们“唬住”;二是就数这11个物体，并不需要测量，难道去量一下教室有多长？可是教材里另外有这一课，显然不应该安排在这里，况且教室也没有11米长，要去量桌子或者操场吗？也不像。

殊不知，数数（计数）并不是本课的重点，而记数（写数）才是本课的关键。“你数出了‘11只羊，请问怎么写？为什么要这样写？”这下学生都傻眼了，问题严重到很多教师也不知道怎么引出这个话题。

“十以内的数”，一个数一个数地数，一个数一个数地写，都没问题。现在，10个数和数字符号都用完了，连“0”都被“10”用了，怎么办？对此，教师要组织学生去研究标准、创造标准、创新写法。这就是本课研究度量意识的全部含义。只要教师让学生的思维自觉地活动起来，让学生的对话活动自觉地开展起来，新的标准、新的方法就会一串一串地跑出来。

3. 90°、10°、1°都是度量标准吗？

在辩课“角的度量（一）”中，有个小组介绍的是首先用直角去测量角，然后估计出角的大小（认为直角是90°，能量出被测角的大小）;再通过比较，大致估出角度;然后，再用10°的角去量，发现没量完，就会想到用1°的角去量。很多教师质疑：“学生已经用90°的角估出了被测角的度数了，为什么还会去用10°、1°的角去量呢？”小组回答：“不是一个学生用三种标准去量，而是调查中发现有学生用90°的角去量的。因此教师很重视这个创新量法，因为二年级的时候，学生有了用三角板比直角、钝角和锐角的经验。”

还有质疑声：“二年级没有学角的度数，不知道角是用‘1°来测量的。怎么今天就能估出角的度数呢？”

下面从度量知觉的角度回应这个质疑。首先，学生会不会好奇地先预习后面的内容呢？他们会不会用预习的经验反过来应付教师的问题呢？从心理学的角度来看，完全是有可能的。如果站在学生的角度去揣摩他还会不会继续往下去创造或者使用新标准测量，这可能性是有的，但是可能性不大。因为，大多数学生都是“求答案”的心理，当求得的答案被老师和同学认可了，通常很少再继续思考下去，只有得不到答案或者暂时没有答案的时候，他们才会积极地去动脑筋。因此，把这个独特方法当作普遍现象来说是不太合适的。其次，从度量知觉本身来讲，从粗略度量获得活动经验知觉，到半粗略继续获得经验知觉，再到最后想到用1°的角精确度量而获得完整的度量知觉，寻到了准确的测量标准和方法……从逻辑上看是没有问题的。正如任景业老师说的，在执行式课堂上，学生这类学习行为和学习结果的发生率会很高。因为教师叫他们干什么，学生就干什么，但探究式课堂或者自学式课堂就不一定了。学生会用自己的思路和方法进行学习，获得自己个性化的结果。

4.温度的“度”与度量的“度”是一样还是不一样？

在辩课平台上，有专家提出问题：“温度的‘度与度量的‘度是一样还是不一样？”事实上，这两个“度”既有联系也有区别。

从前面的分析可以看出，温度的“度”，反映的是气温的一种冷热状态，揭示的是一种自然现象，显现的是它的变化程度，以及这样的环境下相关事物的变化状态;它与长度、角度、弧度等一样，是反映事物或现象的某些静态或者动态的特征。而测量温度变化的即时状态，就必须要用到度量工具——温度计。温度计就是典型的测量气温高低的“尺子”。这与度量的“度”本身的含义相同——既含有标准的意义又是测量工具。也就是说，因为要测量温度，于是产生了温度计这个度量工具和使用温度计度量的方法。这是一种因果联系。

如前所言，度量的“度”，它单列是度量标准“1尺”的意思，也代表度量的工具。“度”“量”二字合起来，表示有序计量长度的一种行为，也含有计量过程的意思。而温度的“度”，是反映事物或现象的发生和发展状态。温度计不像尺子那样以自身状态做标准去测量相同状态的事物或现象，不是用温度去测温度的。温度计和钟表一样，是间接利用一种事物的变化引起其他事物变化的状态，从而确定标准来计量的。虽然温度、时间都看不见，但是人和事物能够感受到它在变化。计量时间的钟表，以天黑天亮的昼夜交替来做标准确定的依据。最初以一日影长，后来以星星的位置移动等做参考。 而温度计因为约定者依据的事物变化状态不一样，制定的标准也就不一样。比如，摄氏温度以冰水混合状态的气温为“零摄氏度”，以水沸腾时的气温为“一百摄氏度”，并以此做标准制作0～100℃的温度计;华氏温度则是以氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度，以人体温度为温度计的100华氏度。这两个计量标准本身就有很大的区别。

通过以上研究与分析可知，度量触及数学的本质，它是贯通数量关系和空间形式的桥梁，它是人类认识、理解和表达现实世界的又一重要工具。度量的本质就是指人们用数量知觉和空间知觉这种本能去感受数量的多少与空间的距离，形成度量知觉，然后自觉地运用数学思维去创造度量的标准和度量的方法。因此，在小学数学教学中培养学生的度量意识，使学生形成必要的度量能力是十分必要的。

（责编 金 铃）