浅谈Lingo软件求解非线性曲线拟合

黄渊

【摘 要】 本文以给药方案制定问题为例，阐述了应用Lingo软件求解非线性曲线拟合，无需初始值，弥补了Matlab软件的不足，是求解非线性曲线拟合的一种比较好的方法。

【关键词】 Lingo软件;非線性曲线拟合;Matlab软件

一、非线性曲线拟合的概念

假设已知经验公式（这里b和x均可为向量），要求根据一批有误差的数据0，1，2，…，n，确定参数b。这样的问题称为曲线拟合，其基本原理是最小二乘法，即求b使得均方误差

达到最小。如果关于b是非线性函数，那么称这样的曲线拟合为非线性曲线拟合。

二、非线性曲线拟合的软件实现

对于非线性曲线拟合，数学软件Matlab提供了nlinfit函数，它的调用格式为：

a=nlinfit（x，y，fun，b0）

其中，b0为待定参数b的初始值，其他的含义参见文献[1]第71页。关于初始值，一般要根据函数模型的数学意义和实际意义来猜测b0，这往往是比较困难的事，而且大部分数学建模教材通常直接给出初始值，不会解释初始值是怎么来的。所以笔者在给大专生讲授此内容时也直接给出初始值，但学生不易接受。

由于非线性曲线拟合实际上是一个无约束优化问题，即

决策变量是拟合函数含有的待定参数b，因此可以用Lingo软件来解决。下面举一个例子。

例：给药方案制定问题，详细介绍参见文献[2]第145页。

模型假设：

[1]机体看作一个房室。

[2]药物进入机体到分布均匀所需的时间不计。

[3]药物排出速率与血药浓度成正比，比例系数。

[4]血药容积为v，t=0时注射剂量为d，则t=0，血药浓度为。

由假设[3]得：，由假设[4]得。解微分方程：得（其中d=300mg）。

下面通过非线性拟合求出参数。

在Lingo软件中输入以下程序：

model：

sets：

gh/1.9/：t，c;

endsets

data：

t=0.25，0.5，1，1.5，2，3，4，6，8;

c=19.21，18.15，15.36，14.10，12.89，9.32，7.45，5.24，3.01;

enddata

min=@sum（gh：（（（300/a1）*@exp（-a2*t））-c）^2）;

end

运行程序得最优值为1.065887，即误差为1.06589，a1=14.82116，。由此得到拟合函数。

在Matlab软件中输入以下程序：

>>t=[0.25，0.5，1，1.5，2，3，4，6，8];

c=[19.21，18.15，15.36，14.10，12.89，9.32，7.45，5.24，3.01];

f=@（t）（300/14.82116）.*exp（-0.24197.*t）;

plot（t（1：9），c（1：9），'r*'，[0.25：0.1：8]，f（[0.25：0.1：8]），'k'）

运行程序，得到散点图和拟合曲线图如下：

三、制定给药方案

假设：

每次注射剂量D，间隔时间。

血药浓度应。

初次剂量应加大。

给药方案记为：，则：

将代入计算得：

。

故可制定给药方案：

D0=370.5mg，D=222.3mg，t=3.8h，

即首次注射mg，其余每次注射mg，注射的间隔时间为h。

用Lingo软件求解非线性曲线拟合，不需要给定初始值，弥补了Matlab软件的不足，同时，程序简单，结果可靠，是求解非线性曲线拟合的一种比较好的方法，但是Lingo软件不会作图，无法展示散点图和拟合曲线图，此时可借助Matlab软件来解决。综上所述，对于求解非线性曲线拟合，最好将Lingo软件与Matlab软件两者结合起来使用，各取所长。

【参考文献】

[1]章绍辉.数学建模[M].北京：科学出版社，2009.

[2]刘保东，宿洁，陈建良.数学建模基础教程[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和Excel在数学建模中的应用[M].北京：科学出版社，2007.