单位圆盘上凸调和函数的系数条件与拟共性延拓

杨佳霖 张珣 邱郑宜人

【摘 要】 令 f=h+是定义在单位圆盘Δ上的调和函数， 规范化h（0）=g（0）=h'（0）-1=0，在这篇文章中， 我们通过h和g的幂级数展开系数， 给出了f的象为α（0<α<1）凸的充分条件， 使其在Δ中是拟共形同胚的，而且可以拟共形延拓到复平面。

【关键词】 调和函数;凸;拟共形延拓

一、绪论

设Δ={z：|z|<1}为复平面中的单位圆盘。在单位圆盘Δ中，如果实值函数u和v都是调和的，则称复值函数f=u+iv是调和函数。显然，在单位圆盘Δ中，对于任何调和函数f，我们可以规范化f=h+，其中h和g都是解析的。我们称h和g分别是f的解析部分和共轭解析部分。众所周知，当且仅当

|h'（z）|>|g'（z）|（z∈Δ） （1.1）

f=h+是局部单叶且保向的。

有关调和函数的更多细节，我们可以查阅参考文献[8]，[9]和专著[2]。

用H表示单位圆盘上调和函数f=h+保向且满足规范化条件h（0）

=g（0）=fz（0）-1=0的函数类，则对于f=h+∈H，h和g有以下展开式：

，              （1.2）

对于α∈[0，1），如果，|z|=r<1。    （1.3）

则函数f∈H是α阶的凸调和函数（见[9]）。我们记CH（α）为α阶凸调和函数组成调和函数类。

如果保向同胚函数f：G→f（G）在G上满足线上绝对连续且，其中，则称f为K-拟共形映射。

当f是全纯的时候，Fait（[4]）通过展开式中的系数，给了f成为星象函数并可以拟共性延拓到整个复平面的一个充分条件。

当f是调和的时候，通过（1.2），Avci 和Zlotkiewicz（[1]）利用系数an，bn给出了f成为星象函数的一个充分条件，Silverman （[10]）给出了当b1=0时，f是单叶的、保向的和星象的充分条件。Jahangiri （[6]）推广了当b1不一定为0时的相应结果。Hamada等（[5]）给出了使f可以拟共性延拓到整个复平面的一个充分条件。

本文，我们将以（1.2）的形式研究H。利用系数an，bn，我们将给出f为α（0 <α<1）凸的一个充分条件，并证明这个充分条件也能保证f是拟共形同胚并且可以拟共性延拓到整个复平面。

二、α阶凸的充分系数条件

在本节中，对于f∈H，我们将证明关于f∈CH（α）以下充分条件。

定理1 如果f=h+具有式（1.2）展开式，且满足以下条件

，（0≤α）

那么f在单位圆盘Δ内是单叶调和函数，且f∈CH（α）。

证明首先我们证明f是局部单叶的且在单位圆盘△内保向，这是因为

在下文中，我们验证f是单叶的。如果g（z）=0，则f是解析的，并且其单叶性遵循其凸性（[3]）。如果g（z）≠0，我们现在证明当z1≠z2时，f（z1）≠f（z2）。

对于单位圆盘Δ内的z1≠z2，我们得到z（t）=（1-t）z1+t z2

∈Δ，其中0≤t≤1。因此可以寫成：

（2.1）

并且

（2.2）

另一方面，通过（2.1）

Reh'（z）-|g'（z）|≥Reh'（z）-

≥1--

>1--

≥0。                                           （2.3）

联合（2.2）和（2.3），我们可以得到f是单叶的。

下面证明f∈CH（α）。根据（1.3），我们只需要证明

=

=Re

其中，z=reiθ，0≤θ<2π，0≤r<1， and 0≤α<1。

不难验证Rew≥α当且仅当|1-α+w|≥|1+α-w|，因此我们只需证明|A（z）+（1-α）B（z）|-|A（z）-（1+α）B（z）|≥0，

其中A（z）=zh'+ ，。       （2.4）

通过（1.2）中h和g的系列展开，我们得到了

|A（z）+（1-α）B（z）|=

=

=      （2.5）

|A（z）-（1+α）B（z）|=

=

=          （2.6）

将（2.5）、（2.6）与条件（2.1）、（2.4）相结合，得到

|A（z）+（1-α）B（z）|-|A（z）-（1+α）B（z）|

≥

≥

证明完毕。

三、调和函数的拟共形和拟共形延拓

在给出结果之前，我们介绍一些与拟共形映射相关的概念。关于拟共性映射的理论，我们参考专著[7]。设f：G→是中域G的保向同胚。若f在G内线上绝对连续且，其中称为f的复伸张，则我们称f是G的K-拟共形映射，

在本节中，我们将证明条件（2.1）也可以使成为拟共形并且可以拓到整个复平面。实际上，我们有以下两个定理：

定理2设f=h+∈H是满足条件（2.1）的调和函数，则f是单位圆盘Δ上的拟共形映射且：

定理3设f=h+∈H是满足条件（2.1）的调和函数，映射

（3.1）

是f到整个复平面上的拟共形延拓，使得复伸张μF满足

定理2的证明若an=bn=0，对于所有的n≥2，则f=是仿射映射。由于f是保向的，所以f=是拟共形映射且。因此，在下文中，假设f不是仿射映射，我们将通过以下两个断言来证明该定理。

结论1

由于f不是仿射映射，通过（2.1），易知

令，通过（1.2），对于任意z∈Δ，都有

结论2f在单位圆盘Δ上是绝对连续的。

对于任意z1，z2∈Δ，且z1≠z2，有

≤

≤（1+k）|z1-z2|

这意味着f在单位圆盘Δ上是绝对连续的。

根据定义以及结论1、結论2，我们知道f是单位圆盘Δ上的拟共形映射，且。

定理3的证明可以从[5]中的定理3.6推导出来。在给出定理3的证明之前，我们先介绍[5]中定理3.6的结果。对于正实数的序列{}n=2，3…，用H（）表示满足条件的形式（1.2）的调和映射集合f=h+且|b1|<1以及。

在[5]中证明了以下定理：

定理A（[5]） 设{}n=2，3…是一个正实数的序列，且

对n≥3，令f=h+∈H（）。如果，此时映射

是f到整个复平面的拟共性延拓，且复伸张μF满足

定理3的证明根据定理A，为证明定理3，我们只需要验证（2.1）是否满足定理A中的条件。

根据（2.1）可以得到a1=1且f是保向的，且我们知道|b1|<1。由（2.1），令=n，有。

对于任意n≥3，且

因此，根据定理A，我们得到（3.1）定义的F是f到复平面的拟共形延拓。又由定理2证明中断结论1，有，

证明完毕。

【参考文献】

[1] Y.Avci， E. Zlotkiewicz， On harmonic univalent mappings， Ann. Univ. Mariae Curie Sklodowska Sect.A 44（1990）， 1-7.

[2] P. Duren， Harmonic functions in the plane， Cambridge Univ. Press， Cambridge， 2004.

[3] P. Duren， Univalent functions， Cambridge Univ. Press， Cambridge， 2004.

[4] M. Fait， J. G. Krzyz， J. Zygmunt， Explicit quasiconformal extensions for some classes of univalent functions， Comment. Math. Helv. 51（1976）， 279-285.

[5] H. Hamada， T. Honda， K. H. Shon， Quasiconformal extensions of starlike harmonic mappings in the unit disc， 4（2013）， 1377-1387.

[6] J. M. Jahangiri， Harmonic functions starlike in the unit disk，Journal of Mathematical Analysis and Applications.235（1999）， 470-477.

[7] O. Lehto， K.I.Virtanen， Quasiconformal Mappings in the Plane， 4（2013）， 1377-1387.

[8] J. Clunie， T. Sheil-Small， Harmonic univalent functions， Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I Math.9（1984）， 3-25.

[9] T. Sheil-Small， harmonic mappings， J. London Math.Soc 2（42）（1990）， 237-248.

[10] H. Silverman， Harmonic univalent functions with negative coefficients， J. Math. Anal. Appl. 220（1998）， 283-289.