高职数学混合式教学研究

吕扬

摘 要：文章围绕无穷小量阐述了高职数学混合式教学的全过程，提出应借助信息化教学手段帮助学生理解无穷小量的概念、性质和应用，有效弥补传统线下教学中不便解释的难点问题，发挥高职数学混合式教育的优势。

关键词：混合式教学;MATLAB软件;几何画板

中图分类号：G434;G712 文献标识码：A 收稿日期：2020-10-18 文章编号：1674-120X（2020）35-0028-02

无穷小量是高职学生学习函数极限内容时的一个重要概念，也是学生不易掌握的知识点。教师可以从学生课前线上预习测试中反馈的疑难问题入手，在线下课堂重点围绕疑难问题展开教学，指导学生利用反证法、举例法、比较法，借助几何画板、MATLAB软件、微视频等信息化手段，组织学生开展小组讨论，帮助学生直观地认识无穷小量。

一、混合式教学

混合式教学是将在线教学和传统教学的优势结合起来的一种“线上”+“线下”的教学。国内首次正式倡导混合式教学概念的是何克抗教授。他认为，混合式教学模式把传统教学方式的优势和网络化教学的优势结合起来，既能发挥教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又能充分体现学生作为学习过程主体的主动性、积极性与创造性。

二、混合式教学的实施

（一）教学目标及重难点分析

本课教学主题是无穷小量。授课对象是大一高职学生，他们已经学习了函数极限的概念，初步掌握了MATLAB软件的操作，但是对无穷小量的概念和性质理解不清晰。可以根据课程標准和学情分析，确定本课的教学目标。知识目标：理解无穷小量的概念;掌握无穷小量的性质及其应用。能力目标：能够根据无穷小量的性质计算极限。素养目标：培养学生应用数学知识解决实际问题的数学应用素养。结合三维目标，本课的教学重点为：无穷小量的概念和性质;教学难点为：理解无穷小量的性质，学会应用性质计算极限。

（二）教学实施过程

1.课前导预习

课前，教师在学习通上发布小组学习任务。

任务1：预习本课内容，并完成相应习题（节选）。

习题1（单选题）：下列说法正确的是（   ）

A.无穷小量是越来越小的量。

B.无穷小量是很小很小的数。

C.无穷小量是极限为零的量。

D.无穷小量是无限变小的量。

任务2：以小组为单位，调查收集一个生活中的无穷小量。教师分析学生的答题情况，发现学生对无穷小量的概念认识不清，于是可以提出两个疑问：有界量乘无穷小量为什么是无穷小量？无限个无穷小量相加的结果是什么？

2.课中导学习

课中，为了帮助学生理解无穷小量的概念，明确无穷小量与很小很小的数以及越来越小的量的区别，教师可直接给出无穷小量的描述性定义，结合各组学生找到的生活中的无穷小量，引导学生说出无穷小量的数学定义。教师根据无穷小量是极限为零的量这一定义，指导学生借助几何画板、MATLAB软件分别从图像、计算结果两个方面，利用反证法推导出无穷小量不是很小很小的数，也不是越来越小的量。

（1）无穷小量的描述性定义：在变化过程中绝对值越来越小、趋近于零的量。比如，学生找到的无穷小量：打乒乓球时，乒乓球落地后，若不对它施加外力，那么在空气阻力和摩擦力的作用下，乒乓球弹起的高度会越来越小，最终趋向于零，是一个无穷小量，极限为零。（数学定义）

（2）教师指导学生采用反证法把无穷小量与很小很小的数以及越来越小的量进行区分，加深对无穷小量这一概念的理解。①假设无穷小量是很小很小的数，如0.000001。因为0.000001的极限是它本身，与“无穷小量极限为零”矛盾，因此假设不成立，即无穷小量不是很小很小的数，常数中只有零的极限是它本身，所以常数中只有零这一个无穷小量。②假设无穷小量是越来越小的量，如-n，利用MATLAB软件计算-n，当n趋向于正无穷大时的极限，程序如下：

结果是负无穷大量，与“无穷小量极限为零”矛盾，因此假设不成立，即无穷小量不是越来越小的量。

教师指导学生借助几何画板理解“有界量乘无穷小量仍为无穷小量”的性质。例如，计算当x趋向于无穷大时，函数f（x）=的极限，教师可以指导学生借助几何画板画出函数的图像，如图1所示。

显然，无论趋向于正无穷大（沿着x轴向右无限延伸）还是负无穷大（沿着x轴向左无限延伸），曲线f（x）=都无限趋向于x轴，函数极限为零，是无穷小量。

教师根据课前学生预习时提出的问题“无限个无穷小量之和是什么？”让学生开展小组讨论，借助微视频、MATLAB软件，利用举例说明法解决问题。步骤如下：

（1）学生观看视频“芝诺悖论之阿基里斯悖论”。

（2）教师做视频分析：假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，为了公平起见，阿基里斯让乌龟先跑100米（如图2所示），即阿基里斯在A1处起跑，乌龟在W1处起跑，当阿基里斯跑了100米到达W1处时，此时乌龟向前爬了10米到达W2处;当阿基里斯到达W2处时，此时乌龟又向前爬了1米到达W3处;以此类推，每当阿基里斯到达乌龟所经过的点Wi时，乌龟都会向前爬十分之一的路程。因此芝诺认为阿基里斯追不上乌龟。

（3）教师引导学生思考如何解释这个悖论。

学生：通过计算阿基里斯追上乌龟要跑的路程除以阿基里斯的速度就可以得到阿基里斯追上乌龟的时间。

教师进一步引导：这位同学的思路非常好！在这个悖论中阿基里斯与乌龟之间的距离从100米到10米、1米……越来越小，向零趋近，是一个无穷小量，那么这无限个无穷小量相加的和就是阿基里斯追上乌龟要跑的路程S。

（6）评价：各组学生完成得都不错，有的组利用数列的裂项相消法计算和，大部分组利用所学的极限知识计算出结果，有的用手工计算，有的借助几何画板，还有的利用MATLAB软件。总的来说，大家用数列和极限两种不同的方法都计算出阿基里斯追上乌龟要跑的路程约是111.11米，是一个常数，显然可以追上。同时，也得到了一个结论：无限个无穷小量之和可能是一个常数。

（7）教师启发学生思考：无限个无穷小量之和一定是一个常数吗？通过列举学生前面学习过的数列极限进行说明：当n趋向于正无穷大时，n个1/n相加、n的平方个1/n相加、个1/n相加，都表示无限个无穷小量相加，它们的结果依次为：1、无穷大量和0。因此，无限个无穷小量相加的结果没有确定的结论，因情况而异，数学中将这类极限式称为未定式，是极限计算的难点，以后会专门学习。

3.课后导巩固

课后，教师可以布置线上线下课后练习题，考核学生对无穷小量概念的理解是否准确及学生能否运用无穷小量的性质进行极限计算。

（三） 教学效果

通过线上课前课后习题测试，学生对无穷小量概念的理解和性质的应用有了显著提高。本课利用几何画板和MATLAB软件，采用反证法、举例说明等初等方法，借助微视频有效地解决学生对无穷小量的疑问，解决了本课的重难点，极大地提高了学生的学习兴趣。

三、结语

本课的混合教学模式具有代表性，可以推广到函数、极限、导数等概念的教学。教师应把线上课前预习学生反馈的疑难问题作为线下课堂教学的重难点，结合高职学生数学基础薄弱的特点，弱化性质和定理的推导过程，利用多种方法，借助信息化手段解决教学难点，充分发挥混合式教学的优势。

参考文献：

[1]赵书红.基于超星泛雅平台的混合式教学实践与研究[J].中国信息技术教育，2018（12）：101-104.

[2]何克抗.从 Blending Learning 看教育技术理论的新发展[J].国家教育行政学院学报，2005（9）：37-48，79.