从学科核心素养看小学数学运算能力培养

叶育新

【编者按】小学阶段，运算始终是数学学习的主旋律，相关数学知识的展开都围绕着它进行。运算不等同于计算，让学生学会计算仅是浅层次的要求，我们更应该让学生理解计算背后的算理，能根据题目条件寻求合理、简洁的运算途径来解决问题。那么，如何在教学中有意识地培养学生的运算能力呢？本期话题让我们一起来探讨。

要从立德树人的角度重新认识数学运算能力在学生核心素养培养中的地位和价值，就不能把运算能力简单等同于计算技能。应充分重视运算过程的育人功能，从教材编排体系入手，系统研究，整体把握不同阶段的能力训练点，逐步推进，培养学生的运算能力。

一、起始阶段：应避免算理和算法的脱节

1. 案例描述。

“两位数除以一位数”笔算除法是人教版三下的内容，也是小学生在二下学习有余数除法后再次学习用竖式计算。某教师在上这节课时，先让学生观察主题图，并出示例题1，学生都能列出算式42÷2，且大都能汇报口算思路。教师便让学生摆小棒，然后尝试写出竖式。课堂上出现了两种不同的竖式（右图）。当教师让学生选择自己喜欢的竖式时，有部分学生选择了右边的竖式，认为其书写比较简洁。

2. 原因分析。

笔者认为，竖式是操作的反映。竖式分层计算应让学生体会的算理是：两次分小棒的操作对应不同计数单位的等分（先几个十等分，再几个一等分）。第二种竖式之所以出现，是因为在操作前，学生根据口算思路已经知道计算的结果了，在列竖式时便按照结果来列式，看似掌握了算法，却与操作小棒的具体过程脱节，不能反映真正的算理，也不利于后续例题52÷2的竖式书写学习，应及时予以纠正。

3. 改进建议。

在列出算式后可以先让学生猜结果，然后用摆小棒的方式验证结果，接下来就可以让学生用算式表达摆小棒的过程，并解释这个算式的合理性。可以设置三个结构化的问题：（1）怎样摆小棒求出算式的结果？（2）你会用竖式表示摆小棒的过程吗？（3）哪个算式能更好地解释摆小棒的过程？

教师的提问不应拘泥于让学生选择喜欢的竖式，而应强调竖式与小棒操作过程相对应。从具体操作到竖式表达，这是一个数学化的过程，也是一个思考外化的过程。

三下第二单元“除数是一位数的除法”和第四单元“两位数乘两位数”，分别安排了笔算除法和笔算乘法的竖式计算，在例题中分别配套了摆小棒和点阵图的操作与观察活动。在此之前，二下第六单元“有余数的除法”、三上第六单元“多位数乘一位数的笔算乘法”也都配套了摆小棒的操作来凸显算理。教师应予以充分重视，竖式与操作过程要对应起来，有效沟通算法和算理的关系。只有学生在理解算理的基础上掌握算法，才能为培养学生运算能力奠定基础。

二、发展阶段：可根据教材结构合理补充

1. 四下“运算定律”补充建议。

在四下“运算定律”的学习中，学生结合实际问题情境依次学习了加法交换律、结合律，以及乘法交换律、结合律、分配律。学生对运算律虽有了直观感性的了解，但对运算律的抽象认识不足，不能很好地从内涵方面理解运算律，把握其本质特征与区别，这是造成小学生运算能力低下的重要原因之一。因此，有必要在第四单元结束前安排一节练习课，对运算律进行对比。

（1）第一层次，相同点比较。加法中有交换律，乘法中也有交换律。加法中有结合律，乘法中也有结合律。

（2）第二层次，不同点对比。交换律和结合律：交换律是交換位置，而结合律是不改变位置，改变的是运算顺序。结合律和分配律：无论加法结合律还是乘法结合律都是同级运算，括号外的数和括号内一个符合运算特征的数先相加或相乘，而乘法分配律包含两种运算，强调括号外的数和括号内的每一个数分别相乘，缺一不可。

（3）第三层次，正确加括号和脱括号。在运算过程中，有时候需要加括号或脱括号，要先看括号前面的运算符号，如果括号前是加号或乘号，则加括号或脱括号后，原来的运算符号不变。如果括号前是减号或除号，则加括号或脱括号后，原来的运算符号要变号。

2. 五上“简易方程”补充建议。

在五上“简易方程”这一单元中，学生既要学会用抽象的符号表示运算律和运算性质，又要在解稍复杂方程的过程中采用多种策略，如把两步运算的结果看成一个整体，乘法分配律的分合使用等。由于这阶段学生的思维正处于具体形象思维向抽象思维发展的过程中，很多学生不习惯用抽象的符号进行数学思考，也是第一次在计算中面对数字和未知数x混合运算的情况，容易使一些学生感到难度较大。因此，有必要在本单元的例题教学中强化不同算法的对比，以便学生对稍复杂的方程运算技巧加以掌握。

（1）在解决P69例5：2（x-16）=8的运算中，要求学生既要掌握把2（x-16）看成一个整体进行同除的策略，又要学会把2和（x-16）里的数分别相乘的策略。

（2）在解决P77例3：2x+2？郾8×2=10？郾4的运算中，要求学生既要学会先算2.8×2的方法，又要学会观察数字特征，应用乘法分配律把原方程提炼转化为（x+2.8）×2=10.4，再应用等式性质进行同除运算。

（3）在解决P78例4：x+2？郾4x=5？郾1，P79例5：0？郾25x+0.2x=4？郾5的运算中，要让学生观察并思考，可以运用什么运算定律对方程进行变形，它们有什么共同点。

乘法分配律一直是学生学习的难点，上述三个方面围绕着加括号和脱括号，其实本质上都是乘法分配律的应用和变式。教师可以在本单元结束前安排这些运算类型的专项训练和对比练习课，让学生有更充分的感知。

三、应用阶段：注意提升运算的思维层次

1. 优化算法：烙饼问题中的深度学习。

烙饼问题是人教版四上“数学广角——优化”例2的内容。根据“每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟”的规则，教材通过模拟操作，让学生体会烙饼过程中两种不同烙法（同时烙和交替烙）的时间计数方法，重点让学生理解交替烙如何节约时间的原理，进而得出根据饼的总数合理选择不同的烙法或进行组合，实现时间的优化。烙饼问题蕴含的优化思想首先体现为3张饼交替烙，可以节约3分钟，这是第一层次的优化。如果从问题解决的角度分析，不难发现，无论烙几张饼，其实都是2张饼（烙2次6分钟）和3张饼（烙3次9分钟）的方法组合，在此基础上可以实现第二层次的优化。

如果从运算的角度来看烙饼问题中的时间计数，我们可以在具体操作的基础上进行抽象，并推理思考。如：既然每面要烙3分钟，这个3分钟不受正反面区别的影响，我们只要想1张饼有2个面，也就意味着1张饼可以先切成正反面，放满锅底，1次就可以烙好，同理7张饼有7个正面7个反面，一共14个面，每次烙2个面，共需烙7次，12张饼需要烙12次，33张需要烙33次……这样，无论烙几张饼，烙饼的次数都等于饼的数量，只要把饼的数量乘以3分钟（3n，n≥2）就可以实现算法的简化和优化。这是第三层次的优化。上述三个层次可以看成深度学习的过程，其中第三层次的优化属于算法的优化，这里的运算思维体现为抽象、推理和建模。

2. 把握本质：鸡兔同笼中的算法共性。

鸡兔同笼问题是人教版四下“数学广角”的学习内容。教材中介绍了表格法、假设法以及抬腿法三种比较有代表性的解法。其算法的共性本质都是推理。

表格法分别有逐一列表法、取中列表法、跳跃列表法三种不同能力要求。列表的过程实际上就是一个发现、总结规律的过程。假设法无论是设鸡求兔（鸡8只兔0只），还是设兔求鸡（鸡0只兔8只），其实都是对应着表格法中的极端情况。根据假设，按照1只兔比1只鸡多2只脚的法则进行调整，其实就是一个推理过程。当然，在高年级还可以用方程法来解决鸡兔同笼问题，但从思维的本质来看，还是属于一种在假设基础上的推理。课后阅读资料中介绍的抬腿法，其实也是基于鸡和兔脚数各变成一半的前提下进行的演绎推理。

从这个例子不难看出，运算过程的核心思维就是推理，而推理就是三大基本数学思想之一，也是学生数学学科核心素养的重要培养目标。

3. 建构模型：连点成线中的数学模型。

连点成线问题出现在人教版六下总复习单元的“数学思考”例1中，教材让学生通过有序操作和观察，發现增加的点数和增加的线段数之间的规律，从2个点开始，到3个点、4个点、5个点、6个点、8个点，依次用1+2+3+4（5个点）等自然数连加的算式表示线段数，在此基础上引导学生根据规律拓展到12个点、20个点及n个点所连的线段数。

笔者认为，就计算方法而言，让学生计算形如1+2+3+…+11，1+2+3+…+19或1+2+3+…+（n-1）等算式，比较烦琐，似乎超越了大部分学生的能力要求。因此，有必要对这些算式进行优化，提炼出数学模型。这个过程需要改变学生的思考策略。在经历了操作画图的基础上，教师可以引导学生进行这样的推理思考：6个点，每个点都可以和自身以外的5个点相连，组成30条线段，扣除重复的一半，剩下15条线段;同理，8个点，每个点都可以和自身以外的7个点相连，组成56条线段，扣除重复的一半，剩下28条线段，以此类推，若有n个点，每个点都可以与除自身以外的n-1个点相连，组成n（n-1）条线段，扣除重复的一半，剩下的线段数为n（n-1）÷2，这就是连点成线问题的数学模型，是对1+2+3+…+（n-1）这个算式的在更高思维层次的概括。

实际上，人教版六下教材安排了多处渗透规律运算的建模能力培养内容，如P100的“做一做”，让学生观察有规律的图形求棋子总数，最后提出第n幅图有多少个棋子，就是在渗透平方数的模型。而P103第2题让学生通过摆三角形，找规律，求共用多少根小棒，最后求摆第n个图形需要用多少根小棒，其实就是让学生体会3+（n-1）×2和1+2n两个数学模型，经过计算简化，不难发现，这两个模型本质上是相同的，后者是前者的优化。同理，P103第4题在让学生观察多边形边数与内割三角形个数的关系后，让他们在九边形内角和的基础上推理一个n边形的内角和是多少度，就是让学生尝试归纳出数学模型：180×（n-2）。

从上述例子可以看出，用n来表示个数，本身就是对数字的抽象，在推理的基础上得到一般性的规律，并形成数学模型，这是在数学运算过程中最有价值的学科能力培养。

4. 综合应用：解决问题中的运算能力。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在运算能力的表述中强调寻求合理简洁的运算途径解决问题，笔者认为，运算能力贯穿于解决问题的全过程，和数感、符号意识、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识等都是密切相关的。培养运算能力不但要求学生理解算理、掌握算法，还要学会重视思维提升，优化算法，运用不同的运算策略解决实际问题，在解决问题的过程中促进运算能力的培养。

笔者认为，运算能力的最高要求就是解决问题。从小学数学教材沿革的发展脉络来看，计算部分的编排曾经经历了先学习计算，后学习应用题（课改前编排的特点），慢慢过渡到计算融于实际问题解决的过程（课改后的编排特点），即运算的学习往往伴随着实际问题的情境展开，产生解决问题的需要，通过分析思考，列出算式，用计算求解。这既符合儿童学习的特点，也体现了算用归一的教学理念。

（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校）