基于幅频响应特性的半球谐振子频率裂解与固有刚度轴方位角测定方法*

李绍良，杨 浩，夏 语，包旭光，段 杰，赵万良

(1. 上海航天控制技术研究所·上海·201109；2.上海惯性工程技术研究中心·上海·201109)

0 引 言

半球谐振陀螺是利用半球壳唇缘的径向驻波进动效应来感测基座旋转的一种新型固体振动陀螺。由于半球谐振陀螺仪无运动部件，对磁场不敏感，潜在的失效因素少，因而具有精度高、可靠性高、稳定性好、工作寿命长、体积小、功耗低、抗核辐射、启动时间短、工作温度范围大、对线性过载不敏感等优点[1]，能够满足高精度长寿命惯性导航的需求，在深空探测、卫星平台、惯性导航、车辆定位定向、定向探井、航海航空以及天文望远镜等多个领域具有广泛的应用前景[2-5]。

研究表明，影响半球谐振陀螺性能指标的主要因素是谐振子加工误差及材料各向异性引起的频率裂解(也称频差)[6-8]。由于半球谐振子存在圆度、同轴度等加工形位偏差，以及谐振子材料圆周向密度、杨氏模量等的各向异性，会使得谐振子二阶振型出现两个相互间展成45°的固有轴，这两个不同固有轴的二阶弯曲振型对应的固有频率分别达到极大和极小值，两个固有频率差称作频率裂解，两个固有频率轴称之为固有刚度轴。如果对谐振子的激励不沿固有轴方向，频率裂解会使谐振子振型的驻波向固有轴缓慢漂移直至振动沿固有轴方向，从而导致陀螺漂移。

目前大量文献给出了频率裂解的公式推导[9-13]，然而对频率裂解与固有刚度轴方位角的测定方法研究相对较少。俄罗斯马特维耶夫提出了基于幅相频特性描绘法的固有刚度轴方位角和频率裂解的确定方法[6]，在谐振子圆周方向上布局两个激励电极和检测电极，静电激励后通过两个传感器得出两个通道的幅频特性和相频特性，其装置制造难度大，算法复杂。李巍等提出采用固定位置安装两组激励电极以及两组位移传感器对频率裂解以及固有刚性轴位置进行测试的方案[14]。本文提出一种基于幅频响应特性的谐振陀螺频率裂解与固有刚度轴方位角测定方法，搭建了试验装置，采用压电激振台在谐振子频率附近进行扫频，采用多普勒激光测振仪测得谐振子振动信号幅频响应曲线，从而解算得出谐振陀螺频率裂解与固有刚度轴方位角。

1 半球谐振子频率裂解与固有刚性轴确定方法理论

1.1 频率裂解与刚性轴的理论分析

半球谐振子是轴对称结构，一般情况下，半球谐振子工作在四波腹谐振模态，即n=2阶振型，如图1所示。在理想情况，半球谐振子的驱动模态与检测模态是简并的，即谐振子在圆周向0～360°范围内的谐振频率是一致的，半球壳结构谐振子的谐振圆频率为[6]

(1)

式中l(k)取决于谐振子结构的主振型，对于n=2的四波腹振型，l(k)=2.62，h、R分别为谐振子的壳厚度、中线半径，E、γ、ρ分别为材料的弹性模量、泊松比、材料密度。

图1 半球谐振子四波腹(n=2)振型示意图Fig.1 Schematic diagram of the hemispherical resonator’s mode shape (n=2)

然而半球谐振子的非理想性，由于材料的各向异性和谐振子制造工艺偏差等因素，使得半球谐振子在工作时，驱动模态与检测模态的频率不一致，偏差的四次谐波的存在导致谐振子中出现两个相互间物理角度展成45°夹角的固有轴系，在谐振子的动力学方程中，这两个轴系是相互正交的，谐振子沿这两个轴振动的固有频率为圆周方向的极大值和极小值，如图2所示。振动圆频率的极大值和极小值的频率差称为固有频率的裂解，频率裂解定义为

(2)

式中ω1、ω2、f2、f1分别为固有刚度主轴的振动圆频率和频率，取ω2>ω1。

图2 谐振子频率裂解与固有刚度轴分布示意图Fig.2 Schematic diagram of resonator’s frequency splitting and normal-mode Axis Azimuth

在半球谐振陀螺中，当n=2振型的初始方位与固有刚度轴的方位重合时，振动驻波才能稳定存在，否则会造成驻波漂移，甚至破坏驻波。因此，在陀螺的装配过程中，往往需要将陀螺的激励电极、检测电极等与固有刚度主轴进行精确对准，两者之间的对准角度误差与频率裂解会造成陀螺输出信号的漂移[15]。

1.2 基于幅频响应的频率裂解与固有刚度轴测定方法理论分析

为了激发出半球谐振陀螺四波腹的振动驻波，在谐振子水平方向上施加横向的正弦振动，谐振子夹持固定在激振台上，激振台在谐振子驻波频率附近进行扫频，利用谐振子沿圆周角质量分布不均的谐波分量实现四波腹振型(n=2)的激振。采用多普勒激光测振仪在谐振子水平方向上采集实时振动信号，对振动信号进行傅里叶变换处理，可以实现谐振子频率裂解与固有刚度轴测定，其理论分析如下。

半球谐振子动力学模型采用基于基希霍夫-李雅夫假设的薄壳动力学模型，在半球谐振子水平方向上施加正弦振动，假定施加的正弦振动在X、Y轴坐标系中的表达式为

x=x0cosλt
y=y0cosλt

(3)

式中，x0、y0分别为正弦振动在X轴、Y轴上的振动位移，λ为正弦振动频率。

谐振子在圆周方向上质量分布不均匀性可以用傅里叶展开式表示，研究证明，当谐振子质量沿圆周角分布存在一次、二次、三次谐波时，振动波形会产生杂散分量，因此令谐振子质量分布的不均匀性表示为

ρ=ρ0[1+ε1cos(φ-φ1)+ε2cos2(φ-φ2)+

ε3cos3(φ-φ3)]

(4)

式中ε1、ε2、ε3分别为质量缺陷前3次谐波的相对偏差值，φ1、φ2、φ3分别为与之对应的谐波主轴方位角。

则主振型的动力学方程可以表示为[6]

(B+C)ε1(x0cosφ1-y0sinφ1)-Bε3(x0cos3φ3+

y0sin3φ3)+(A+C)ε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)]

y0sinφ1)+Aε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)+(C-

B)ε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)]

(5)

式中

(6)

其中U(θ)、V(θ)、W(θ)为确定不可拉伸薄壳二阶固有振型振动的瑞利函数，

(7)

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]

(8)

在水平方向上对振动信号进行检测，定义谐振子初始定位安装方位角φ0=0，谐振子在圆周0°～360°方向上转动，转动角度为φr，振动固有刚度主轴的方位角为φ，令信号检测方向与激振方向相同，则在该轴向上的振动信号为

w(φc)=2[cos2(φ-φr)+qsin2(φ-φr)]

(9)

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]cos2(φ-φr)+

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]sin2(φ-φr)}

(10)

2 实验设计与分析

2.1 实验设计

实验中采用压电激振台对半球谐振子进行扫频激振，采用多普勒激光测振仪对谐振子的振动信号进行检测，实验装置设计如图3所示。

图3 实验装置实物图Fig.3 The picture of experimental setup

首先将谐振子可靠夹持在激振台的转接工装上，转接工装可以转动，从而使得半球谐振子沿对称轴方向转动，工装上设置刻度码盘，方便读取转动的角度值。以谐振子四波腹振动模态频率为中心，在一定频段范围内进行扫频驱动，记录激光测振仪的检测信号，实验装置中可以设置激振台扫频范围、步进、振动强度等参数，并输出振动时域信号、傅里叶转换后频域信号等测试信号。在实验过程中，首先将固定谐振子的码盘旋转至0°对准激光测振仪，在谐振子谐振频率范围内进行扫频激振，用激光测振仪记录此状态下的幅度频率响应曲线，然后按照一定方向转动谐振子，得到谐振子多个方位角度下的幅度频率响应曲线，综合分析即可完成基于幅频响应特性的半球谐振子频率裂解与固有刚度轴方位角测定。

2.2 实验结果与分析

半球谐振子固定安装至工装上，在水平方向上进行激振(实验中该方位角定义为0°，即φ0=0)，多普勒激光测振仪在激振方向上检测谐振子振动信号。首先在大频率范围内粗扫频获得半球谐振子四波腹振型的频率值范围，然后在谐振子驻波频率附近进行扫频，实验中的主要参数设置如表1所示。

表1 实验中的主要参数设置Tab.1 The main parameters’ settings in the experiment

谐振子振动信号的幅频响应曲线如图4所示，由于激振方向与固有刚度轴不重合，谐振子的两个振动模态均被不同程度地激励起来。振动信号出现了两个信号峰值，分别对应谐振子的两个振动模态，信号峰对应的频率即为振型的谐振频率，两个峰的幅度值反映了激振方向与两个固有刚度轴的重合程度。

图4 半球谐振子的典型幅频响应曲线Fig.4 The AFR curve of a typical hemispherical resonator

谐振子在0°～50°范围内转动，等效为检测方位角的旋转。随着谐振子旋转角度的增大，振动模态一的信号峰幅度逐渐降低，同步的另外一个振动模态的信号峰幅值逐渐增多，如图5所示。由1.2节中的理论分析可以得出，当φ-φr=0或φ-φr=π/4时，检测到的振动信号只有一个模态的峰值，说明激振方向(或测振方向)与半球谐振子刚度轴重合，通过读出谐振子转动的角度φr，即可得到两个固有频率主轴的方位角。

图5 谐振子转动时的幅频响应曲线变化图Fig.5 the AFR curves of resonator’s different rotation angles

从图5可以看出，半球谐振子其中一个固有刚度主轴在40°～50°之间，本文在整个圆周范围内进行扫频激振和信号检测，对所有数据进行拟合，利用半球谐振子n=2振型四波腹的特点，可对主轴进行精确定位。半球谐振子在0°～360°转动时两个振型信号峰幅值与检测角度的关系曲线如图6所示。

对谐振子转动时信号幅度与检测角度的关系进行正弦拟合，得到解析表达式为

图6 谐振子转动时信号幅度与检测角度的关系图Fig.6 Amplitude signals versus detection angles of the resonator

(11)

式中y1、y2分别为两个模态对应的信号幅度值，x为检测角度，可以通过上式中任何一个方程得出谐振子固有刚度主轴位置。因此两个频率主轴的位置分别在初始零位确定后，谐振子两个固有刚度主轴位置分别在(40.61°，85.61°)或(-6.73°，38.27°)。因为两个角度理论上应成45°夹角，实验中得到夹角为47.34°，说明主轴的辨识精度在±1.17°左右，误差在可接受的范围内。后续仍可以通过对转动角度进行细化以及提高激振台的激振幅度等方式，进一步提升固有刚度主轴辨识的精度。

两个信号峰对应的频率即分别为两个模态的谐振频率，两者之差即可得到频率裂解值。在实验中选取多次测量的数据，进行频率裂解的计算，得到谐振子的频率裂解值如下表所示。通过测量激振方向(检测方向)与谐振子固有刚度轴对准时，两个频率之差进行计算得出频率裂解值为3.48Hz，与表2中计算结果一致。

表2 半球谐振子谐振频率裂解的计算Tab.2 Calculation of the resonator’s frequency splitting value

综上所述，本文通过扫频激振、激光测振仪检测谐振子幅频响应曲线的方法，得到谐振子的频率裂解值为3.48Hz，在谐振子初始位置确定后，两个振型固有刚度主轴的位置分别在(40.61°，85.61°)或(-6.73°，38.27°)的位置。

3 结 论

本文提出了一种基于幅频响应的半球谐振子频率裂解与固有刚度轴测定方法，采用压电激振台在半球谐振子谐振频率附近进行扫频激振，采用激光测振仪检测谐振子振动特性，通过幅频响应曲线实现了频率裂解与固有刚度轴测定。本文基于薄壳模型的动力学方程，研究了半球谐振子在水平振动作用下的振动特性，以及通过扫频激振绘制幅频响应曲线进行半球谐振子频率裂解与固有刚度轴测定的理论机理；搭建了基于压电激振台与多普勒激光测振仪的实验装置，对典型结构半球谐振子进行了频率裂解与固有刚度轴测定实验。实验结果表明该方法频率裂解测量精度优于0.01Hz，固有刚度主轴方位确定精度优于±1.17°，对镀膜前后的半球谐振子测量均具有良好的可行性，在半球谐振子特性测量及半球谐振陀螺加工制造方面有良好的参考意义。