二元一次方程组解法两种方法研究

罗岳昭

【摘要】  湘教版七年级下册数学第二章的学习内容为《二元一次方程组》，教材安排为：二元一次方程组的数学概念、二元一次方程组的解题思路、二元一次方程组的实际应用。本文以湘教版教学大纲为出发点，致力于培养初中生良好的消元思维，促进二元一次方程组教学进程良好展开。

【关键词】  二元一次方程组 解题思路 消元

【中图分类号】  G633.6               【文獻标识码】  A     【文章编号】  1992-7711（2020）05-069-01

引言

二元一次方程组的解题思路，主要分为两种：代入消元法，加减消元法;在实际初中数学教学过程中，两种解题思路之间并不存在绝对的教学顺序，旨在培养学生良好的数学思维，锻炼其正确的消元思想，解决实际问题;消元数学思维，有利于培养学生解决问题的能力，成为教学大纲的设立依据。

1.二元一次方程组的数学概念

生活中，某一领域、事物之间，涉及多组未知数，此种现象较为普遍;未知数据之间，存在一定的数量关系;通过列举数量关系，获取所需信息。例如，较为经典的数学讨论题“鸡兔同笼”，给出笼子中的总脚数n、总头数m，来计算鸡、兔的数量;鸡兔同笼属于典型的二元一次方程组解题案例，假设鸡数量为a，兔数量为b，方程组为：①a+b=m，②2a+4b=n;解题思路为：利用①关系，简化②关系，进而求得结果;方法一：2a+4×（m-a）=n，4m-2a=n;由于m，n为已知数，即可求得a值;利用①式关系，求得b值;方法二：2×（m-b）+4b=n，2m+2b=m，求得a、b值。利用两个未知数的相互关系，实现消元的解题过程，简化数学关系，求得所需信息，是二元一次方程组的核心数学概念。

2.探索二元一次方程组多种解法

2.1二元一次方程组的教学设计

湘教版七年级下册数学教学设计，主要内容包含：二元一次方程组、整式乘法、因式分解、平行线与相交线、轴对称问题、数据分析;在此教学设计中，充分明确了二元一次方程组的核心地位;在二元一次方程组数学知识之前的数学课程，均在为二元一次方程组做铺垫，培养学生数学逻辑思维，提升学生对二元一次方程组的理解能力;在二元一次方程组之前的数学知识内容为：一元一次不等式组，利用一元一次方程为学生引入二元一次方程组，建立学生良好的数学逻辑性;在七年级上册，代数式的数学知识，为学生解题二元一次方程组奠定了良好基础;利用代数数学思想，引入消元数学概念，提升学生对消元的理解能力，促进二元一次方程组教学顺利完成。数学知识具有一定逻辑性，数学学习是一种螺旋上升的体验;合理规划教学内容，促进初中生获得优异的数学成绩，让数学教学事半功倍。

2.2二元一次方程组的解题过程

第一，代入消元法，是一种数学思维，用以计算数学问题，属于高斯消元法的简化应用;代入消元法的解题思路为：将二元一次方程组中2个未知数，x、y，将x用y表示，或者用x表示y，实现消元，获取未知数的解;正如鸡兔同笼案例中，鸡数量为a、兔数量为b，a+b=m，代入消元法的具体表现为：2a+4×（m-a）=n，2×（m-b）+4b=n;通过代入消元，将二元一次方程组简化为一元一次方程组，降低解题难度，获取解题答案。

第二，加减消元法，是数学运算的一种方式;将两个二元一次方程组中，判断同一个未知数的系数，利用方程式相加、相减方式，实现消元目标，将二元一次方程组简化成一元一次方程组。

案例1，用代入消元法求解二元一次方程组：①3x+5y=21，②2x-5y=-11.解题过程为：①+②，得出方程式：（3x+5y）+（2x-5y）=21+（-11）;数学化简得：5x=10，由此可知：x=2;将x=2代入方程式①式中，3×2+5y=21，5y=15，计算得出y=3;求得方程组的解：x=2，y=3.在此案例中，亦可将x=2代入方程式②式中，获取结果。

案例2，用加减消元法求解二元一次方程组：①2x-5y=7，②2x-3y=-1.解题过程为：②-①，得出方程式：（2x-5y）-（2x-3y）=-1+7;数学化简得：8y=-8，由此可知：y=-1;将y=-1代入方程式①式中，2x+5=7，计算得出x=1;求得方程组的解：x=1，y=-1.

案例3，选择适宜的方式求解二元一次方程组：①2x+3y=12，②3x+4y=17.解题过程为：①×3，得出方程式：③6x+9y=36;②×2，得出方程式：④6x+8y=34;计算③-④，得出方程式：（6x+9y）-（6x+8y）=36-34;数学化简得：y=2;将y=2代入①，获得x=3;求得方程组的解：x=3，y=2.

第三，通过案例分析可知，加减消元法是通过方程组之间的运算，实现未知数消元的过程，计算其中一个未知数的结果，再求得方程组的解;加减消元法的解题思路为：判断未知数系数的绝对值，是否能够实现消元目标;如若系数为相反数，采用方程式相加的解题思路;如若系数相同，采用方程式相减的解题思想;如若系数之间不存在相互关系，将两边方程式乘以对方未知数一个系数，让两个方程式系数绝对值相等，实现消元过程，求得方程组的解。

第四，代入消元法与加减消元法的计算原理，均是以消元为目的，简化二元一次方程组的难度系数，实现二元一次方程组的解题过程。在鸡兔同笼案例中，利用的是代入消元法;代入消元法的优势在于，利用两个未知数相互关系，实现消元过程;加减消元法的数学思维相对强势，将方程式左右两端，分别计算，实现消元过程。从数学学习角度来说，两种消元方式，均在不程度地培养学生良好的数学思维，有助于锻炼其逻辑思考能力。

结论

综上所述，二元一次方程组用以解决数学问题，具有良好的应用效能;将数学问题延伸至生活中，有利于提升初中生的生活技能;利用消元数学概念，培养初中生良好的数学思维，锻炼其逻辑思考能力，有助于核心素质教育的发展。因此，初中数学教师应关注二元一次方程组的教学设计，促进学生获得好成绩。

[ 参  考  文  献 ]

[1]付依婷.基于历史发生原理的求解二元一次方程组教学设计[D].闽南师范大学，2018.

[2]杨良畏.关于二元一次方程组解法的教学顺序思考[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（22）：32-34.