一类含有未知函数差分的三重和差分不等式中未知函数的估计

黄星寿， 王五生， 罗日才

（河池学院 数学与统计学院，广西 宜州546300）

Gronwall - Bellman［1-2］型积分不等式及其推广形式是研究微分方程、积分方程和微分-积分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性质的重要工具，不断地研究它的各种推广形式，使其应用范围不断扩大.但大部分研究者研究积分号内不含未知函数导函数的积分不等式［3-8］.由于积分号内包含未知函数及其导函数的积分不等式在研究微分-积分方程中具有重要作用，Pachpatte［8］研究了下面的积分号内含有未知函数及其导函数的线性积分不等式同时，随着积分不等式理论及差分方程理论的发展，不少学者更关注Gronwall-Bellman型不等式的离散形式及其推广形式，见参考文献［9 - 14］.Pachpatte［13］研究了以下和号内含有未知函数差分的线性和差分不等式

Akin-Bohner等［14］在此基础上进一步研究T0时标（T0为实数集R上的任意非空闭子集）上的线性积分不等式

Zareen［15］更进一步研究了积分号内含有未知函数及其导函数的非线性积分不等式

本文受文献［13 -15］的启发，研究了和号外具有非常数因子，且和号内含有未知函数及其差分的非线性三重和差分不等式

不等式（11）把文献［13］中的不等式（6）推广成非线性和差分不等式，把文献［15］中的不等式（10）推广成和号外具有非常数因子的和差分不等式.本文综合利用分析技巧给出了不等式（11）中未知函数的估计.最后，通过例子说明其结果可以用来研究相应类型的和差分方程解的性质.

1 主要结果与证明

为了使结果的证明过程简单明了，先给出以下引理.

引理1［16-17］令y≥0，p≥q≥0 和p≠0，则对任意K ＞0 有关系式

引理2假设函数u（t）、b（t）、c（t）、d（t）都是定义在自然数集合N 上的非负函数，函数a（t）是定义在自然数集合N上正的增函数，且满足不等式

如果

则有未知函数u（t）的估计式

引理3［13］令u（t）、a（t）和b（t）都是定义在自然数集合N上的非负函数，且满足

则有未知函数的估计

定理1假设q（t）、p（t）、f（t）、g（t）、h（t）都是定义在N 上的非负已知函数，u（0），是正常数，u（t）和Δu（t）是定义在N上的满足不等式（11）的未知函数.对于任意t∈N，如果

则对于任意K ＞0，有不等式（11）中未知函数估计式

其中

证明由不等式（11）定义函数z（t）为：

由（11）和（26）式可看出z（t）是非减函数，且有

先求函数z（t）的差分，利用（26）式得到

把（27）式代入（28）式得到

再定义函数r（t）为：

从定义式（30）可以看出r（t）是非减函数，且有

把（30）和（31）式代入（29）式得

再求函数r（t）的差分得

再把（31）和（32）式代入（33）式得

为了进一步简化，再定义函数m（t）为：

从定义式（35）可以看出m（t）是非减函数，且有

求函数m（t）的差分，利用（34）～（36）式得

对于任意K ＞0，利用引理1 可以推出

把（39）式代入（37）式可得

其中，A（t）、B（t）、C（t）由定理中的（22）～（25）式定义.先把不等式（39）中的t改写成s，然后对不等式两边关于s从t0到t-1 求和，得到

利用（27）、（31）和（36）式，（40）式改写成

由于（41）式具有引理2 中不等式（13）的形式，且相关函数满足引理2 中的相应条件，利用引理2 就可以得到不等式（41）中m的估计

其中，M（t）由定理中的（21）式定义.把（36）和（42）式代入（34）式，可得

由（27）、（31）和（43）式得到

其中R（t）由定理中（20）式定义.把（44）式代入（29）式可得

不等式（45）具有引理3 中不等式（15）的形式，且相关函数满足引理3 中的相应条件，利用引理3 就可以得到不等式（45）中z的估计

利用（27）式得到

其中Z（t）由定理中（19）式定义.由（48）式得到定理所要求的u（t）估计式（18）.

2 应用

本文结果可以用来研究相应类型的和差分方程解的性质.现在考虑和差分方程

推论1假设方程（49）中｜c ｜是正常数，q（t）、p（t）和定理1 中q（t）、p（t）的定义相同.F∈C（N×R×R，R）满足下列条件

其中，f（t）、g（t）、h（t）和θ如定理1 中的定义.假设｜c｜、q（t）、p（t）、f（t）、g（t）、h（t）和θ满足

如果x（t）是方程（49）的解，则对于任意K ＞0，方程（49）解的模的估计式

其中

A（t）、B（t）、C（t）、D（t）分别由定理1 中的（22）～（25）式定义.

证明利用条件（52）～（54），由方程（49）推出

由于（55）式具有不等式（11）的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1 就可以得到所求的方程解的模的估计式（51）.