信号时域分析的冲激函数匹配法新解析

于殿泓 李琳

摘  要：目前各种版本的“信号与系统”教材中，对用冲激函数匹配法求解连续系统的时域响应介绍的过于笼统，为使该教学知识点便于教学组织，对冲激函数匹配法进行了详细的数学解析，使其更易于教学理解;同时总结了简洁的应用操作流程，并结合具体实例加以解释说明。用所研究的方法可以更好地组织信号与系统时域分析的教学内容。

关键词：时域分析;冲激函数匹配法;数学解析;操作流程

中图分类号：G642         文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2020）07-0085-03

Abstract： In various of signal and system textbooks， there is few books in which the time domain solution of differential equations based on impulse function matching method is discussed in detail. In order to organize teaching expediently， the impulse function matching method is analyzed in detail in the paper. This makes the method easier to be understand in teaching. At the same time， a concise operation procedure based on the method is summarized. Combined with a specific example， the application of this method is explained in detail. The results show that the proposed method can better organize the teaching contents of time domain analysis of signal and system.

Keywords： time domain analysis; impulse function matching method; mathematical analysis; operation procedure

引言

“信号与系统”课程中，微分方程求解是线性时不变（LTI）连续系统时域分析的重要组成部分，无论是微分方程的经典法求解，还是零输入零状态法求解，都要涉及到系统的0-状态和0+状态关系问题[1-2]。针对这一问题有多种解决方法被提出，其中近十几年来相关教学资料及文献中提及的冲激函数匹配法，是解决系统的0-状态和0+状态关系的重要而有效的工具[3-4]。该法脱离具体的物理系统，是一般意义上的数学分析求解，正因为如此，所以要求冲激函数匹配法应该具有这样的特点：1. 严谨的数学解析过程，2. 简明的操作步骤。本文从这两个方面对冲激函数匹配法进行分析和研究。

一、冲激函数匹配法的数学解析

冲激函数匹配法是信号课程新近引入的一种时域分析方法，但教材中对此方法的分析较为简单，数学解析性不强，推导分析不甚嚴谨，所以对课堂教学组织带来困难[5]。另外，学生在运用该法解题时，可操作性不够理想。针对以上原因，并基于便于课堂教学组织的思想，探讨了一种阐述冲激函数匹配法的新思路。

设在时域中描述连续线性时不变系统的一般微分方程为：

式中，r（t）——响应信号，r（i）（t）为响应的各阶导数，i=0，1，2，…，n（n≥0且为整数）。

e（t）——激励信号，e（j）（t）为激励的各阶导数，j=0，1，2，…，m（m≥0且为整数）。

r（0）（t）——响应信号本身，即r（t）。

e（0）（t）——激励信号本身，即e（t）。

时域中求该n阶方程的全解需要n个独立的初始条件，而用时域的经典解法求解时，需要的初始条件是系统响应的n个0+独立状态，即需要已知r（0）（0+）、r（1）（0+）、…、r（n-1）（0+），但对具体系统而言，这些往往条件是未知的，也是不容易求得的;不过对于具体系统，根据其状态，可以知道（或易于求得）系统响应的n个0-独立状态，即r（0）（0-）、r（1）（0-）、…、r（n-1）（0-），所以如果能够明确0-状态和0+状态的关系，就可以方便地求得系统响应的n个0+独立状态。冲激函数匹配法就是解决已知0-状态求解0+状态的有效方法之一。

对于式（1）所给出的一般线性时不变系统的标准微分方程式，用冲激函数匹配法处理从0-状态求解0+状态的基本步骤如下：

将作用于该系统的激励代入微分方程，若其自由项（微分方程的右端项）中不包含冲激函数？啄（t）和（或）的？啄（t）导数项，此时该系统的0-状态和0+状态是相等的，即

若自由项中包含冲激函数？啄（t）和（或）的？啄（t）导数项，则此时该系统的0-状态和0+状态是不相等的，这时，根据冲激函数匹配法求所需的n个0+状态的具体步骤如下：

（一）确定自由项中冲激函数？啄（t）的最高阶导数p的值

将具体的激励函数代入微分方程右端，根据方程自由项（微分方程的右端项）中包含的冲激函数 （t）的最高阶导数，直接可以确定p值。

（二）设定基本奇异等式项

该等式项是系统响应的最高阶导数与奇异函数关系的基本表达式，根据微分方程两端的奇异项的匹配关系，基本奇异等式项可设为

该式即为求取系统的0+状态的基本奇异等式项。其特征是：方程的左端为系统响应r（t）的最高阶导数;方程的右端为以？啄（t）为基本函数的奇异多项式，该多项式的最高阶导数为p阶（由自由项决定），最低阶导数为-1阶（实际这项为冲激函数的不定积分项——即单位阶跃函数）。此奇异方程的右端共有p+2项，各项系数kp，kp-1，…，k1，k0，k-1待定。

（三）以基本奇异等式项为基础，推导出r（i）（t）（i=0，1，2，…，n-1）的相应奇异等式项（共n个等式项）

首先写出r（n-1）（t）的奇异等式项。可将式（3）两端求不定积分得到，即

（4）（1）

接下来写出r（n-2）（t）的奇异等式项。可由式（4）（1）两端求不定积分得到，即

（4）（2）

以此类推，直至求出r（t）和r（t），具体表达式为

（4）（n-1）

（4）（n）

这样可以得到n个奇异等式项，将其联立构成以下方程组

（4）

注意，方程组（4）中，？啄（-i）（t）（i=1，2，…，n+1）是？啄（t）的i重不定积分。

（四）求解方程组（4）中的待定系数kp，kp-1，…，k1，k0，k-1（共p+2个待定系数）

将方程组（4）中的等式（4）（1），（4）（2），……，（4）（n-1），（4）（n）、式（3）以及激励项e（t）代入式（1），根据该奇异方程两端相应项平衡（对应项系数相等）的原则，求出式（3）中的待定系数。

由于这里是在特定时域区间t∈（0-，0+）范围内求解分析响应的状态的跳变情况，所以求解上述系数时，需注意以下两点：

第一，所代入的式（4）（i）（i=1，2，…，n）逐项中，所有包含  ？啄（-i）（t）（i>1）的各项均以零替代。

第二，对激励函数e（t）代入所得方程的自由项进行分析处理。首先找出？啄（t）函数及其各阶导数项，这些是匹配时所需要的奇异函数项;然后将剩余项作为一个整体，视其从0-到0+有无跳变进行取舍。若无跳变，此整体项不是奇异函数，舍去;若有跳变，此整体项是奇异函数，保留，且根据跳变量的值，将该整体项用以跳变量为加权值的阶跃函数替代。

（五）给出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）的数学关系式

将方程组（4）中的各个等式（4）（i）在特定区间（0-，0+）内做如下分析：对方程组（4）中的一般项（4）（i）分别以t=0+和t=0-代入得到两个等式，且两式求差，得

在式（5）的右端各项中，有两部分取值为零。一部分是？啄（t）函数及其个阶导数项在t=0+和t=0-时刻均为零;另一部分是包含？啄（-i）（t）（i>1）的各项均为零。这样，式（5）的右端各项中，只有阶跃项[？啄（-1）（t）项]在t=0+时存在不为零的确定值。这样根据式（5），对式（4）的逐项处理可得n个等式。处理过程中，若被处理项右端奇异项无阶跃函数项（即不包含？啄（-1）（t）项），则该项被处理后等式右端为零。将这些等式联立，可组成如下一元n次方程组式（6）

方程组（6）中，系数ki（i=0，2，…，n-1）值在前述步骤中已求得（或部分求得，未求解过的系数为零），系统响应的0-状态值r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）亦给出（或根据系统状态求出），这样系统响应的0+状态值r（i）（0+）（i=0，2，…，n-1）即可求出，从而可以实现线性时不变连续系统的时域经典分析求解。

二、匹配法求解系统0+状态应用实例

下面通过具体实例对所归纳的步骤进行实践与分析。图1所示给出了具体的电网络系统，在t<0开关处于图中1位置并且已经达到稳定;t=0时刻，开关S瞬间由1合向2，这里的激励是图中的e（t），响应是圖中的i（t），用经典法求解i（t）时，需要知道响应i（t）的0+状态值。这里用冲激函数匹配法求解该系统的i（0+）及i（0+）两个状态值。

根据电网络结构及其元器件所遵循的物理定律，可以整理出该网络的输入输出微分方程并求出系统0-的响应状态。系统的微分方程为：

图1 求解示例电网络

系统的0-的状态值为：i（0-）=0.8（A），i（0-）=0。

根据上述条件，基于冲激函数匹配法的i（0+）及i'（0+）的求解步骤如下：

将激励（电压有2V跳变到4V）代入式（7），得到

步骤（一） 确定p（这里p=1）

步骤（二） 设定基本奇异等式项（共p+2=3项）

步骤（三） 导出降阶r（i）（t）（i=0，1）的相应奇异等式项（共n=2个等式项）

步骤（四） 求解式（10）中的待定系数k1，k0，k-1

将式（9）、式（10）代入式（8），并注意到？啄（-2）（t）项和？啄（-3）（t）项均为零，有

由相应项系数匹配法求得：k1=2，k0=-2，k-1=10

步骤（五） 给出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，1）的数学关系式

因为i（0-）=0.8（A），i（0-）=0，所以可求得系统0+状态值：r（0+）=2.8V，r（0+）=-2V

三、结束语

这里所阐述的冲激函数匹配法的新解析及其该方法的应用操作流程，对于LTI连续系统的时域经典分析教学内容的合理组织，将具有推动作用;同时，鉴于总结归纳出明晰的应用流程和系统在不同情况下的处理原则，也可大大地方便学生对冲激函数匹配法的应用。

参考文献：

[1]郑江云.关于LTI系统完全响应的时域解法分析[J].安徽师范大学学报（自然科学版），2018，24（4）：111-113.

[2]王渊，贾永兴，朱莹.促进深度学习的“信号与系统”微课教学设计的研究[J].电子技术与软件工程，2019（15）：254-255.

[3]周小方.关于LTI系统冲击响应函数平衡法的教学探讨[J].闽南师范大学学报（自然科学版），2014，83（1）：118-122.

[4]郑君里，谷源涛.试谈“信号与系统”课程理论与实践之结合[J].电气电子教学学报，2014，36（3）：1-5.

[5]钟东，李忠明.基于系统思想的“信号与系统”教学改革的研究[J].曲阜师范大学学报，2015，41（1）：81-84.