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高中数学集合知识的有效教学研究

2020-03-04

今天 2020年24期
关键词:数学教师高中生概念

(重庆市永川中学校 重庆 永川 402160)

集合是高中数学教学的基础,19世纪末德国数学家康托尔首先系统地对集合理论进行了研究。现今数学中所说的集合就是指数学的一些对象,比如函数、面、线等,这些都可以用集合下定义。事实上,数学上的集合是对某些或某类事物的研究,比如说,几何是对点集合的研究;代数是对数集合的研究;函数是特殊类型的集合等。集合的特性简单、概括性强,能够准确表达数学的相关内容,其有三个特性包括确定性、互异性与无序性。高中生刚接触集合的相关特性与知识点存在一些不足,比如说:对描述性的集合概念不清楚;不能有效地判断出集合与非集合,无法举出合理的集合例子;有的学生对集合的确定性理解有难度;有的学生对关系符号有些问题;有的学生对交集、并集等变换形式的运算有一定的难度等。针对这些问题,教师应进行有效地分析,提出有效的策略进行完善,最终将有效的集合教学应用到高中数学其他章节的知识。

1.高中数学集合的相关情况

首先,高中数学集合的含义、特征与表示方法。第一,集合的含义。集合是高中数学中最原始的概念,教师不能用点、线或面等原始概念来给集合下定义,只能运用描述性的语言说明。集合是教师直觉中比较确定却又不相同的一个汇集,是一个整体单位,那么这类事物的总称就是集合,集合中的每个个体就是元素,元素包含于集合。用数学专业术语表示,研究对象也就是元素组成的总体就是集合。比如:钢笔、水、A、1等组成的就不是集合,其元素间没有共同的属性;而“1、2、3、4”组成的共同体就是一个集合。第二,集合特征。集合具备确定性、互异性与无序性。所谓确定性就是集合内的元素必须是确定的对象,比如说C是集合,那么a是某一个对象,属于C的,那么a就只能属于C,不能是A的元素;“优秀的学生”这不是集合,其元素不确定。互异性是指集合中的元素是互补相同的,同一元素不能重复出现。如:集合 C={1,2,3,1},其集合中出现了重复元素,不能作为集合的正确表示,应该写成{1,2,3}。无序性是指集合中元素不需要按顺序排列。比如:集合A={1,2}和集合B={2,1},这两个集合的顺序不一样,但是元素一样,这两个集合就是相同集合。第三,表示方法。例举法就是把集合的元素一一列举,元素放在大括号里。如:把方程(x-1)(x+2)=0的根用集合表示出来,就是{1,2}。描述法就是指同一集合中的元素有共同性质,这共同性质可以用某种方式描述,如:不大于100的正整数的全体集合,能用省略号表示:{1,2,3……100}。图示法就是通过画图表示,这图形叫韦恩图。

其次,高中数学常见的集合。第一,数集。对于由初中刚升高中的学生,对自然数、整数和无理数比较了解,高中数学集合里又出现了复数集C、实数集R、有理数集Q等,这些都需要高中生掌握。第二,方程或方程组的解集。如:在高中数学里,方程的解集可以看作是满足某种性质O数学的有限集。第三,不等式的解集。不等式的解可以看作是满足某种性质P的数学的一种无穷集合。第四,点集。人们习惯研究数集和几何图形,并没有把几何看成是由点组成的集合。而根据康托尔的集合思想,可以把高中数学的任何一个几何图看作是三维空间点集的某个子集。

最后,高中数学中的并集、交集、补集与空集的教学。第一,并集。属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,比如说:集合 A={1,2,3,4},集合 B={2,3,5},那么集合 A和集合 B的并集为{1,2,3,4,5}。第二,交集。也就是说这个集合的元素既属于集合 A,又属于集合 B。如:集合 A={1,2,3,4},集合B={2,3,5},那么集合A和集合B的交集为{2,3}。第三,补集。补集是总集合除去应有的集合。如:总集合为 C={1,3,4,5,6},集合 A={1},那么集合 A的补集就是{3,4,5,6}。第四,空集。不含任何元素的集合为空集。比如:{}就是空集。{}=空集,但不等于{0}。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

2.高中数学集合中学生存在的问题及原因分析

第一,问题。大部分高中学生在学习集合时,对集合的概念理解不够清楚,不会运用集合的概念去解决实际问题;有的学生不能举出例子来表示集合;有的不理解集合的特征与性质;有的学生混淆空集的性质,不能正确解题;有的学生错解集合的表示方法等。

第二,问题分析。首先,集合概念本身较为抽象。集合的抽象性需要学生具备抽象的思维能力,集合的一些符号术语,让高中生不能很好地适应,容易让学生忘记或混淆,导致错误的出现。其次,高中生的思维发展产生了变化。有的高中生思维发展还不够成熟,进而影响了他们的理解能力。最后,数学教师的教学不足。由于数学教师对集合的概念引入简单,没有做好习题练习的充分准备,没有让学生深刻理解集合相关的定义,更不能很好地做好练习题。

3.高中数学集合教学的反思

首先,注重构建高中生的集合概念过程。数学教师应该从学生的实际思维发展水平出发,为学生设置合理的教学情境,让其新旧知识得到联系,通过合理教学,运用实例引入集合的概念。

其次,在数学教学中,及时纠正高中生的错误理解。比如:让学生清楚知道空集是{},而不是{0},不能让学生混淆。

最后,在数学教学的过程中,教师要引导高中生反思。比如:价值反思、思想方法反思、数学概念与符号的反思。

4.高中数学集合知识的应用

首先,高中数学集合知识与各章节知识的联系。第一,集合知识与不等式的联系。这两者的联系主要体现在:不含参数的问题,可以直接求解;含参数的问题,进行等价转换,根据数形结合进行分类讨论。第二,集合与函数的关系。通过集合的形式,利用这个载体解答函数知识。第三,集合与数列、排列组合的关系。如:数列与排列组合的问题可以通过一些应用题型进行考查,进而考察其方方面面的知识。第四,集合与圆锥曲线、三角函数的关系。运用集合的语言和符号来设计圆锥曲线和三角函数的题型,进而全面考查数学的知识点。

其次,运用集合概念构建数学概念的系统。第一,用集合的包含关系构建数学概念。可以通过概念的转换,或者说这个概念是另一个概念的特殊情形,如:正方体、正四棱柱、长方体等存在一个概念系统。第二,通过集合关系建立数学的概念系统。

总之,要想学好高中数学集合的知识,不仅要掌握其相关情况、问题与反思教学,而且还要学会将集合知识运用到数学的其他章节中,这样利于高中数学的教学。

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