基于匹配追踪和变分模态分解的电气化铁路谐波检测

(石家庄铁道大学电气与电子工程学院， 河北石家庄050043)

随着电气化铁路的高速发展和高速铁路列车的大规模开行，电力电子器件以及具有冲击性的列车负载等大量的非线性负荷也投入实际应用，致使牵引供电系统受到严重污染[1]，电流电压波形产生畸变，大量的谐波由此产生，牵引供电电能质量问题日趋复杂。谐波是当前电气化铁路主要的公共安全危害之一，它的存在会导致设备损坏，给通信系统造成干扰，使自动控制、保护装置错误动作等[2]，对牵引网造成不利影响，因此，解决电气化铁路中的谐波问题具有重要的现实意义[3]， 这其中的首要任务就是准确检测出谐波。

谐波治理是牵引供电系统的重要环节， 准确、 有效地检测谐波含量是分析和治理谐波的重要前提。本文中将对谐波含量检测的准确性问题进行研究，进而利用谐波补偿装置进行治理。目前谐波检测的主要方法有瞬时无功功率理论、傅里叶变换、小波变换方法等。基于瞬时无功功率理论的谐波检测的方法具有实时性强的特点，在检测无功电流时可以实现无延时检测。由于瞬时无功功率理论是基于三相三线制提出的，而电气化铁路牵引供电是单相交流制，因此，该方法用于单相检测时，其检测电路较为复杂，且需要锁相环来保持同步[4]。基于傅里叶变换原理的算法是目前谐波检测应用最广泛的，具有精度高等优点，但是其计算量较大，实时性较差，会出现栅栏效应、频谱泄露的问题，在检测非平稳信号时有局限。小波变换被称为数学显微镜，针对被检测信号不同部位可以采用不同的分析方法，具有良好的时频局部性分析作用，但是检测谐波存在窗口能量分散、频率混叠等无法避免的问题，且小波基与分解层数的选择较为困难。为此，本文中提出一种基于匹配追踪(MP)算法和变分模态分解(VMD)算法的谐波检测方法，以准确地检测出电气化铁路牵引供电系统的谐波分量。

1 MP算法

自MP算法提出以来， 其思想一度成为稀疏分解的研究热点， 成为稀疏分解实现最快的方法[5]。 该算法将信号在完备字典库上进行分解， 在最优原子选取与线性组合的问题上给出了解决办法。

设Q={vγ}γ∈Γ为过完备原子库，vγ为参数组γ定义的原子，将vγ归一化，Γ为参数组γ的集合。为了构造冗余原子库，集合Γ中原子的数量远大于Q={vγ}γ∈Γ信号的长度[6]。

将信号与原子库中原子作内积，确定内积最大时的原子为最优原子，计算公式为

(1)

式中：f为待分解信号；vγ0为得到的最优原子。可以将信号f分解为最优原子vγ0上的分量和残余，即

f=〈f,vγ0〉vγ0+R1f，

(2)

式中R1f为用最优原子对待分解信号进行最佳匹配后的残余信号。

重复以上过程，继续对残余信号进行分解，

Rkf=〈Rkf,vγk〉vγk+Rk+1f，

(3)

式中vγk满足

(4)

由式(2)、(3)可知，经过n次迭代，信号最后被分解为

(5)

式中Rnf为最终的残余信号。随着迭代次数的不断增加，残余信号将会逐渐衰减至0。

构造谐波仿真信号

(6)

式中t为时间， s。

在仿真信号上加入噪声后，利用小波硬阈值分解和稀疏分解进行降噪，谐波仿真信号、加噪后信号及降噪后信号如图1所示，其中，a为构造的谐波仿真信号，b为加入幅值为1.1倍的随机噪声后的信号， c、 d分别为小波硬阈值处理和MP稀疏分解的降噪结果。 从图中可以看出，MP稀疏分解的去噪效果比小波硬阈值处理要好， 且小波硬阈值法只有选取的小波基与原信号相似度较大时， 其降噪效果较好， 但是小波基的选取难度较大， 因此利用MP稀疏分解并降噪更有效。

2 VMD算法

2014年，Dragomiretskiy等[7]提出一种非递归、自适应VMD算法，通过迭代找到原始信号的频率中心和带宽的最优解，从而将不同频段的信号进行自适应分离。VMD算法是一种新的自适应时频分析方法，具有鲁棒性好、收敛快等优点，被广泛应用于轴承和齿轮等机械故障的诊断，可以实现对混合频率信号的有效分离[6]。由于电气化铁路谐波信号也属于混合频率信号，因此理论上VMD也可用于谐波的检测。变分模型的迭代求解是其分解过程的本质，VMD通过求解变分问题，得到几个带宽有限的模态分量，利用固有模态函数(IMF)可定义具有相对固定幅值和频率的信号[8]，即

uk(t)=Ak(t)cos[φk(t)]，

(7)

a—原始仿真信号；b—加噪后信号；c—硬阈值处理；d—匹配追踪(MP)稀疏分解。图1 谐波仿真信号及加噪和去噪结果

式中：Ak(t)为瞬时幅值；φk(t)为瞬时相位。瞬时频率为ωk(t)=dφk(t)/dt，且ωk(t)>0。相比于相位函数，幅值函数和频率函数的变化较为缓慢，因此在一定时间内，可以将uk(t)看作频率和振幅固定的信号。首先将每个IMF分量进行希尔伯特变换，得到信号的单边频谱

(8)

式中：δ(t)为狄利克雷系数； *为卷积运算符。 通过指数修正， 可以将希尔伯特变换后的信号与中心频率e-jωkt融合， 这样就得到了频谱在基带上的IMF分量

(9)

求L2范数，获得各IMF分量的带宽，相应的变分约束表达式为

(10)

式中：K为IMF分量的个数；uk={u1,u2,…,uK}；ωk={ω1,ω2,…,ωK}；∂t为求偏导运算符。

利用Lagrange乘法算子λ(t) 和二次惩罚因子α可以计算得到上述变分约束表达式的最优解，其中λ(t)保持了约束条件的严格性，α保证了重构信号在噪声环境中的精度[6]。拓展的Lagrange表达式为

L({uk},{ωk},λ)=

(11)

式中f(t)为时间信号。

利用交替方向乘子算法(ADMM)，通过交替迭代更新{uk}、{ωk}、λ来求取上述增广Lagrange函数的鞍点[9]，即式(10)的最优解。算法实现过程如下：

2)开始迭代n=n+1。

(12)

更新ωk，

(13)

式中||为求模运算。更新λ，

(14)

式中r为噪声容限参数。

4)重复步骤2)、 3)的迭代过程，直到满足约束条件

(15)

VMD过程结束，得到K个IMF分量。

利用由式(6)构造的谐波信号进行VMD分解，其结果如图2所示。由图可知，在没有噪声干扰的情况下，VMD算法可以对谐波信号进行有效分解，显而易见，在0～0.1 s之间存在基频信号和三次谐波，在0.1～0.2 s之间存在基波、四次谐波和五次谐波信号。

3 基于MP算法和VMD算法的谐波检测

VMD算法不能精确地提取出强噪声中的信号特征[10]，但对低噪混合频率信号能有效分解，MP算法有较好的去噪效果，因此将两者结合进行电气化铁路的谐波检测。本文中通过利用MP稀疏分解重构出去噪后的原始信号，降低信号噪声。再将降噪之后的信号通过VMD实现各谐波模态的分离，再利用快速傅里叶变换(FFT)得出各模态的特征频率，进而得出电气化铁路中牵引供电系统的谐波含量。检测流程如图3所示。

a—谐波仿真信号；b—固有模态函数1(IMF1)；c—固有模态函数2(IMF2)；d—固有模态函数3(IMF3)；e—固有模态函数4(IMF4)。图2 谐波仿真信号及变分模态分解结果

图3 谐波信号处理流程图

VMD首先需要设置模态分解的个数K、惩罚因子α和噪声耐受程度τ等参数。对被检测信号进行频谱预处理可得到参数K。由文献[11]可知：α越小，分解得到的各个分量的带宽越大；反之，分量信号带宽越小，α取值不能过大或者过小。τ表征噪声耐受程度，其值越小，噪声耐受程度越强。

按照设置的参数进行VMD分解，将谐波信号分解成K个模态分量，每个模态分量表示一种谐波成分。

4 仿真与实测数据分析

为了验证本文中所提谐波检测方法的有效性，利用MATLAB软件对本文中所提算法进行仿真实验和实测数据分析。仿真信号采样频率设为10.24 kHz，VMD参数为K，依据谐波信号特点取4，噪声耐受程度τ取0。

4.1 仿真分析

由于牵引供电系统中谐波问题较为突出，其中往往三次、五次谐波较为严重，因此以式(6)构造的谐波信号为基础进行仿真，该谐波信号在0～0.1 s之间由基频和三次谐波组成，在0.1～0.2 s之间由基波、四次和五次谐波构成。

在实际应用中，由于信号通常都不是理想的，会存在一定的噪声干扰，因此需要叠加一定的噪声，在谐波信号上叠加幅值为1.1倍的随机噪声。因为构造的谐波信号的基波最大幅值为2 V，所以1.1倍的随机噪声相当于强噪声。此时不进行去噪处理，直接用VMD对加有较强噪声的谐波信号进行分解，得到的结果如图4所示。由图可以看出，在加有强噪声干扰的情况下，VMD结果出现了模态混叠现象，IMF2、 IMF3、 IMF4分量出现了不同程度的混叠，其中IMF4分量有明显的混叠，会导致频率混叠，从而不能有效地提取出谐波的特征频率。

为此， 首先对该信号进行去噪处理， 利用MP算法对原始信号进行稀疏分解去噪处理，重构出谐波信号，结果如图5所示。再利用VMD算法对MP稀疏分解重构出的谐波信号进性分解，得出特征频谱，分解结果及对应频谱分别如图6所示，其中，IMF1是0～0.2 s的50 Hz信号分量， IMF2是0～0.1 s的150 Hz信号分量， IMF3是0.1～0.2 s的200 Hz信号分量， IMF4是0.1～0.2 s的250 Hz信号分量。 由图5可以看出， 加噪后谐波仿真信号， 经MP算法稀疏分解后， 去噪的效果较好， 基本上还原出了谐波仿真信号。 由图6可以看出， 将去噪后的信号进行VMD， 得到的各个IMF没有发生模态混叠，准确地提取出了各次谐波频率，证明了该方法对电气化铁路牵引供电系统谐波的特征频率提取具有很好的效果。

a—加噪谐波仿真信号；b—固有模态函数1(IMF1)；c—固有模态函数2(IMF2)；d—固有模态函数3(IMF3)；e—固有模态函数4(IMF4)。图4 含噪信号直接变分模态分解结果

a—加噪后信号；b—MP稀疏分解。图5 原始信号与匹配追踪(MP)稀疏分解后信号

图6 经匹配追踪稀疏分解后变分模态分解结果及对应频谱

利用VMD算法对MP稀疏分解重构出的谐波信号检测结果如表1所示， 其中基波理论幅值在0～0.1 s是2 V， 0.1～0.2 s是1 V；基波实际幅值在0～0.1 s是1.989 V，在0.1～0.2 s是0.974 V。

表1 本文中所提方法的谐波检测结果

在谐波检测中，目前广泛应用的检测方法是FFT，利用FFT直接对含噪声的仿真谐波信号进行谐波检测，实验结果如图7所示。

图7 快速傅里叶变换谐波检测结果

虽然FFT有较短的延时，而VMD相对延时较长，但是FFT一旦分辨率确定就不能更改。由图7可看出，噪声的存在使得在FFT检测的谐波结果中出现了高次谐波，导致其结果存在误差，分析结果不准确。

此外，小波分析是一种时频分析，在谐波分析方面有着非常广阔的应用前景。小波变换在谐波检测中避免了傅里叶变换时域和频域的局部性问题，能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长，兼顾时域与频域分辨率；但是，小波分析的应用并不成熟，目前小波基的选取以及频率混叠等问题突出，因此小波分析不能完全替代傅里叶变换。本文中用小波变换首先将含噪谐波信号分解成不同频率成分信号，然后选取db5(Daubechies 5)小波基来进行分解，结果如图8所示。由图可看出，经过小波分解，含噪谐波信号出现不同的频率混叠现象，原因是小波对含噪谐波信号分解的频率分辨率较差，未将200、250 Hz分量分解开，导致频率混叠。

图8 小波分解谐波结果

通过对比直接VMD、FFT、小波分解的特征频率提取方法可知，VMD能有效提取信号的特征频率，但是在有噪声的情况下，噪声的存在会造成一定的干扰。FFT算法虽然广泛应用于谐波检测且精度较高，但是会出现频谱泄露和栅栏效应，并且受噪声的影响较大。小波分析的方法需根据被测信号的特点选取特定的小波基和分解层次，而且会出现频率混叠现象。综合上述分析，本文中采用稀疏分解结合VMD算法可以更有效地检测谐波。

4.2 实测数据分析

将在电气化铁路牵引变电所实测得到的电流原始数据用该方法进行处理。把实际测得的一部分数据导入MATLAB软件中，波形如图9所示，用本文中所提方法进行处理，结果如图10所示。

图9 电气化铁路牵引变电所实测电流信号

由图9可以看出，这段时间内电流幅值逐渐增大，幅值由75 A增大至161 A。图10中每个分解结果所对应的相关的主要数据如表2所示，用实验室工控机所测谐波主要结果如表3所示。

图10 实测信号稀疏分解后变分模态分解结果及对应频谱

表2 本文中所提方法实测信号的谐波结果

表3 工控机的谐波测量结果

该电气化铁路牵引供电电流信号在这段时间内基频幅值为106.400 A， 同时含有较少的直流和二次谐波分量， 其他分量过小可忽略。 分析结果与工控机分析结果相符合， 证明了基于MP算法和VMD算法可以有效检测出电气化铁路牵引供电系统的谐波含量， 为解决电气化铁路牵引供电谐波检测提供了一种有效的方法。

5 结论

本文中将MP算法和VMD算法相结合，应用于电气化铁路牵引供电谐波信号的检测， 利用MP算法对含噪谐波信号进行稀疏分解，重构出谐波信号，以此达到去噪的效果，然后通过VMD对去噪后的谐波信号进行分解，并得出相应的特征频率，实现了对电气化铁路引供电含噪谐波信号的检测。通过仿真与实测数据分析表明：

1)通过直接VMD、FFT和小波分解的对比分析，验证了基于MP和VMD在分解含噪谐波信号上的优越性。

2)基于VMD和稀疏分解的牵引供电系统谐波检测方法可以有效地提取特征频率，MP算法可以达到较好的去噪效果，再经VMD算法解决了小波算法的混叠问题。

3)该方法具有较好的检测精度，满足牵引供电系统谐波检测的要求，可用于复杂的含噪谐波信号的检测。

由于MP算法和VMD算法需通过不断迭代计算，最终实现复杂谐波信号的频率检测，计算量较大，因此实时性不够好，主要用于实时性要求不高的场合，如离线谐波检测等。