初探初中几何辅助线的添加策略

2020-03-04樊勃

科学咨询 2020年40期

樊勃

(黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学黑龙江齐齐哈尔 161000)

几何是初中数学学习的基础模块，它可以让学生在图形的探究过程中感受到数学的魅力，产生学习兴趣，实现数学推理、想象与判断能力的提升。在解决几何问题时合理的添加辅助线可以让复杂的图形变得更加容易观察、对比，以此快速找到解题方法。但是，对于初中生来说辅助线的添加方法并不容易掌握，需要学生长期的练习与思考。下面，笔者对初中几何辅助线的添加方法进行了探讨，仅供参考。

一、中点法

如果在几何题目中给出了“中点”“中线”等条件，那么我们在解决问题时可以将思考的重点放在线段的中点处，通过中位线定理确定各线段之间的关系，或是求证三角形之间的全等关系，以此从题目中找到更多的已知条件，获得解题思路。

例1：如图，点E、点F是线段BC、AD的中点，且AB=CD，射线BA与射线EF相交于点G，射线CD与射线EF相交于点H，求证∠BGE=∠CHE。

分析：因为点E、点F 是线段B C、AD的中点，所以我们可以尝试将AC连接在一起，并取其中点P，构造三角形PEF。只要证明PE=PF，便可以利用三角形中位线的性质证明∠BGE=∠CHE。

证明：连接AC，并在AC上取中点P，连接PE、PF。因为E为BC的中点，所以PE//AB，且2PE=AB，F是BC的中点，则PF//CD，2PF=CD。

已知线段A B = C D ， P E = P F ，等边对等角可得∠PEF=∠PFE，因为PE//AB，所以∠BGE=∠PEF，因为PF//CD，所以有∠CHE=∠PFE，所以∠BGE=∠CHE。

二、平行线法

平行线法，是指通过添加某一直线的平行线解决几何问题的方法[1]。这种方法可以证明图形中某些边、角的相等关系。

例2：如图所示，在直角三角形ABC中，点D为斜边AB上的中点，且DEDF，线段DE、DF分别交AC、BC于E、F，求证AE2+BF2=EF2。

分析：求证AE2+BF2=EF2也就是证明三条线段满足直角三角形的三边关系特征，所以我们不妨尝试采用平行线法将AE、BF、EF三条线段整合到同一个三角形之中，通过证明该三角形为直角三角形证明等式成立。

证明：过点A作线段AG//BC，延长线FD与AG交于点G，因为∠ADG=∠BDF，AD=BD，∠GAD=∠B，所以∆DFB与∆DGA全等，所以FB=GA，GD=DF，所以ED为FG的中垂线，EG=EF。连接EG，因为∠GAE=∠C=90°，所以∆AEG为直角三角形，AE2+BF2=GA2+AE2=EG2=EF2，所以AE2+BF2=EF2。