基于应力强度干涉理论和薄弱环节分析的光子晶体光纤陀螺寿命评估

庞立新，王颂邦

（1.亚太卫星宽带通信（深圳）有限公司，深圳518126；2.北京航天时代光电科技有限公司，北京100094）

0 引言

光纤陀螺是一种基于光学Sagnac效应的角速度传感器，具有体积小、质量小、灵敏度高、动态范围大、功耗低、使用寿命长、性能稳定、不存在激光陀螺的闭锁问题等优点，非常适合在卫星等航天器上应用[1]。在空间环境中，光纤陀螺长期受到交变温度、真空、电磁场、辐照等应力的影响。通常而言，光纤陀螺光路的主要性能材料为保偏光纤、铌酸锂晶体等非金属材料。空间环境长期作用在光纤陀螺及其材料上，会引发各种物理效应，进而引起光纤陀螺性能的退化[2-7]。各种空间环境因素对光纤陀螺主要性能指标的影响如图1所示。

图1 光纤陀螺的广义强度与作用在其上的广义应力Fig.1 Diagram of general stress and general strength acting on space FOG

光纤环采用光子晶体光纤绕制，比常用的保偏光纤更耐辐照，可满足卫星对寿命15年的要求。光子晶体光纤的纤芯由纯石英及空气孔构成，包层由周期排列的空气孔构成，其在宇宙辐射条件下不会发生（保偏光纤具有的）色心扩大现象，进而不会导致损耗增大的问题。因此，光子晶体光纤具有更好的抗辐照特性[8]。另外，光子晶体光纤为背向散射，反射系数较小，光学性质稳定，对弯曲不敏感，有利于提升光纤陀螺的综合性能。本文的研究对象是光子晶体光纤陀螺，在不引起混淆的情况下，下文对其均简称 “光纤陀螺”。

在空间复杂环境的作用下，光纤陀螺的任何性能指标退化到一定程度，均会导致光纤陀螺失效，因而需要找到影响光纤陀螺寿命的关键因素。解决问题的方法一般是研究空间环境下的各种应力对光纤陀螺内各器件和材料的影响机理，通过试验等手段对其进行验证，进而建立出环境应力与性能指标（强度）之间的关系（通常为性能指标、应力大小、时间等之间的确定的函数关系式），依据这些关系式便可开展各项可靠性和裕度设计工作。光纤陀螺在空间环境中会承受多种环境应力的作用，文献[1]针对在单一加速应力作用下光纤陀螺寿命的极限问题，提出了温度和辐照双应力交叉步进加速退化试验方法，实现了对光纤陀螺寿命和可靠性的评估。通过建立包含剩余标准化系数的退化轨迹模型，描述了光纤陀螺退化量与应力水平之间的关系。采用基于累积损伤模型及时间折算的模型参数估计方法对加速退化数据进行统计分析，得到了光纤陀螺在使用应力水平下的寿命及可靠性信息。

采用机械领域常用的应力-强度概率裕度设计方法，通过研究环境应力和性能指标的统计特性，可以获得统计意义下的性能指标裕度，即概率裕度[9]。该方法采用灰盒模型（相对黑盒模型和白盒模型而言），避免直接分析复杂的应力和强度之间的机理、建立函数关系解析研究，而是把应力和强度作为随机变量，从工作原理出发，依靠试验数据，研究相互之间的关系。该方法已经在国外液浮陀螺的设计和试验中得到了成功应用[10]。

采用应力-强度概率裕度设计方法需要采集大量的试验数据，在实践中存在工作量大、时间长且成本费用高昂的问题。空间用光纤陀螺采用小批量、小样本生产方式，基本不支持大量的光纤陀螺性能退化试验。因此，采用随机模拟方法（如Monte-Carlo方法），使用有限的试验数据得到关键器件的重要参数统计特征，便可以评估光纤陀螺在空间环境下的概率设计裕度，节省了试验时间和成本。

1 光纤陀螺性能保持能力应力-强度干涉分析

1.1 应力强度干涉理论

引发光纤陀螺主要性能指标偏离标准要求的因素均可被视为广义应力，包括辐照强度、温度交变、电应力等各种引起失效的特征量。强度是指光纤陀螺主要性能指标抵抗环境因素的能力，包括抗辐照能力、耐冷热交变能力、耐电涌能力、结构刚度和强度、反复通/断电耐受力等。

一般而言，应力与强度是随机变量，它们的取值呈某种分布状态。应力与强度相互作用的关系如图2所示[10-11]。

图2 应力与强度的相互关系Fig.2 Relationship between stress and strength

图2中，fS（xS）为强度xS的概率密度函数，fL（xL）为应力xL的概率密度函数。由图2可知，存在以下三种情况:

情况1:P（xS＞xL）⇒1， 安全系数＞＞1；

情况2:P（xS＞xL）⇒R，安全系数⇒R；

情况3:P（xS＞xL）⇒0， 安全系数＜＜1。

航天器对高可靠性的要求使得在进行光纤陀螺设计时应避免情况3。虽然情况1中的光纤陀螺可靠性裕度很大，但其必然引起陀螺质量与体积的增大，与空间应用的小体积、小质量要求相抵触，故情况1也是应予以避免的，只有情况2才是应当关注的。通常要求光纤陀螺的强度高于其工作应力，但二者的离散性使得应力和强度的概率密度函数曲线在一定条件下可能相交，相交区域（如阴影部分，即图2中的情况2）就是可能出现失效的区域，即应力-强度干涉区。

1.2 应力-强度概率裕度计算公式

从图3出发，推导应力在其分布的全范围内取值时xS＞xL的概率。定义一个新的随机变量z＝xS－xL， 并将其称为强度裕度，则应力强度裕度的定义为

图3 应力-强度可靠性计算图解Fig.3 Resolving diagram of stress-strength reliability

设xL与xS互相独立，则z的概率密度函数为

由此，不可靠性与可靠性分别由以下两式给出

式（3）和式（4）分别为以应力强度裕度为特征量的不可靠性与可靠性的一般通式，需根据不同情况分别确定其具体的函数形式[12]。

1.3 光纤陀螺应力-强度概率裕度分析

如图1所示，光纤陀螺的主要技术指标包括零偏（所对应的细化指标包括零偏稳定性、零偏重复性等）、标度因数（所对应的细化指标包括标度因数非线性、标度因数重复性等）以及随机噪声（重点考虑随机游走），环境因素的波动可以对光纤陀螺的零偏、标度因数和随机噪声产生影响。

在空间环境中，环境应力随着轨道参数变化，辐照水平随机涨落，光纤陀螺的性能指标在一定范围内发生随机变化，最终会形成一定的持续退化累积，故传统所用的恒定温度加速老化试验、恒定辐照率和总剂量试验等方法难以准确反映上述过程。另外，各器件/部件对光纤陀螺性能指标的贡献很难从陀螺级指标（如零偏、标度因数和随机噪声）向元器件指标追溯，而单独研究器件的性能指标对陀螺指标的影响是可行的。因此，针对各类应力对元器件性能随机影响的特点，采用应力-强度概率裕度分析方法，可以评估光纤陀螺固有的性能保持能力（强度）与环境应力的随机变化统计特征。

可直接选取零偏、标度因数作为应力-强度概率裕度分析指标，但是光纤陀螺零偏或标度因数的影响因素并非单一来源。器件某一参数的变化对零偏或标度因数的影响存在较为明确的对应关系，可以据此单独研究应力作用下关键器件的重要参数变化，以简化问题。同时，假设各个应力随机变量统计独立，应力和强度均为正态分布。

当应力L和强度S均呈正态分布时，这些随机变量的概率密度函数可分别表示为

式（5）中，μL、μS分别为光纤陀螺应力与强度母体的均值，分别为光纤陀螺应力与强度母体的方差。

可以证明z的应力-强度概率裕度也服从正态分布，其概率密度、均值、方差分别为

于是，应力-强度概率裕度可以表示为

2 光子晶体光纤陀螺薄弱环节分析

2.1 光子晶体光纤原理

光子晶体光纤是一类具有特殊内部结构的光纤，光子晶体光纤的结构如图4所示。

图4 光子晶体光纤结构示意图Fig.4 Structure diagram of photonic crystal fiber

由于在光子晶体光纤中，光主要在空气芯层中传播，而空气芯层较传统光纤的玻璃芯层为各向同性介质，具有很小的Wald系数以及低热膨胀系数。相应地，光子晶体光纤的 Kerr效应、Faraday效应和Shupe效应均较保偏光纤更低。将光子晶体光纤制成光纤陀螺敏感环，可以降低光纤陀螺噪声:Kerr噪声降低至原来的 1/170，Shupe噪声降低至原来的2/13，Faraday噪声降低至原来的1/20。

2.2 光纤陀螺工作原理及组成

光子晶体光纤陀螺的原理如图5所示。

图5 光子晶体光纤陀螺光路方案Fig.5 Optical path scheme of photonic crystal FOG

在实际设计中，考虑到减小结构尺寸、减轻质量、降低功耗等方面的要求，将三轴进行集成并共用同一个光源形成三轴一体的光纤陀螺结构，如图6所示。

图6 三轴一体光子晶体光纤陀螺方案Fig.6 Schematic diagram of photonic crystal FOG assembly

为了增强可靠性，一般需冷备份一个光源，在必要时接替失效的主光源。

2.3 光子晶体光纤陀螺薄弱环节

光子晶体光纤陀螺用光电子器件如表1所示。

表1 光子晶体光纤陀螺用光电子器件Table 1 Photonics and electronic devices for photonic crystal FOG

光子晶体光纤陀螺故障模式的分析结果如表2所示。

表2 光子晶体光纤陀螺故障模式Table 2 Failure modes of photonic crystal FOG

2.4 加速寿命评估试验

寿命模型是评价、分析产品寿命特征的基础，寿命试验是在实验室条件下模拟实际工作状态或储存状态，投入一定量的样品进行试验，在试验中记录样品失效时间，并对失效时间进行统计、分析，以评估产品的可靠性数据特征。从施加应力大小角度，寿命试验可分为长期寿命试验和加速寿命试验；从数据处理角度，寿命试验可分为定时截尾试验、定数截尾试验等。为缩短试验周期、节约试验成本，常采用定时截尾方式的加速寿命试验。加速寿命试验是指采取加大应力（热应力、电应力、机械应力等）而不改变失效机理的寿命试验，从而达到缩短试验时间的目的。单应力加速寿命试验也是常用的评估光纤陀螺寿命的手段。在温度升高后，引起器件性能衰退的物理过程大大提速，器件失效过程被加速。Arrhenius模型即为常用的 “应力-寿命”模型，以温度为加速因子。

元件参数退化的速度K是温度T的函数，方程表达式为

当退化量M达到某一规定值MSP时，则认为元件失效，时间即为元件的寿命L， 因此有

寿命的对数lnL与1/T呈直线关系，其斜率为B。

退化量M－M0＝Kt。可以通过增大K来减小t，使退化到失效，这就提供了加速寿命试验的理论依据。

根据加速老化温度T1下的寿命，可以推导出使用温度T2下的寿命

式（18）被称为 Arrhenius方程。k为 Boltzmann常数，T1和T2均为已知，唯一需要确定的参数是激活能Ea。 对其两边取对数，可以将Arrhenius模型绘制为应力－寿命模型的线性曲线

根据式（19），在激活能Ea被确定后，便可以根据寿命估计模型得到寿命估计值。在Arrhenius方程中，定义加速系数AF的计算公式为

2.5 Monte-Carlo仿真方法

由于空间用光纤陀螺价格高、批量小，可供试验的样本数很少，表征光纤陀螺各部分可靠性的统计变量的试验数也就很少。事实上，实施大规模的可靠性统计试验是不经济也不可行的。为了评估高可靠光纤陀螺的可靠性，需要依据有限的试验数据进行近似模拟，以扩大样本容量，Monte-Carlo仿真就是一种常用方法。

（1）随机数的生成

用混合同余法产生均匀随机数，其递推公式如下

式（21）中，MODm（·）表示求余数， 模为m；m＝2K， 取K＝31；a＝314159269，d＝453806245。

用式（10）产生周期为2K的[0，1]上的均匀随机数序列后，对其进行独立性检验、均匀性检验和参数检验等。检验结果表明:用混合同余法产生的[0，1]上的均匀随机数的统计性质是良好的。

（2）变换抽样

用变换抽样产生标准正态分布的随机变量x，记作x～N（0，1）。取随机数V1、V2， 可以证明

x1与x2相互独立，且服从标准正态分布N（0，1）。由正态分布N（0，1）的随机变数x，可计算出正态分布N（μ，σ）的随机变数y， 即

3 应力-强度概率评估方法的光纤陀螺应用实例

通过FMEA分析，光子晶体光纤陀螺的薄弱环节是三轴共享的光纤光源和Y波导。因此，研究光纤光源的失效模式，找出激活能等基础数据，便可以设计加速寿命试验，以评估寿命。由于样本数量不足，加上光子晶体光纤陀螺预计寿命长、试验时间长，在经济上是不可行的，因此采用Monte-Carlo随机模拟方法生成数据并进行研究。结合以往经验，用光功率、光波长、光纤损耗和消光比分别表征光纤光源和Y波导寿命自变量，利用光纤陀螺在55℃条件下的加速寿命试验（式（19））和Monte-Carlo方法，得到的结果如表3所示。

采用Monte-Carlo方法随机模拟100次，对其进行包括独立性、均匀性及参数等在内的检验，证实了所产生的随机数服从标准正态分布N（0，1）。经变换抽样产生正态分布的随机数，对统计变量的模拟值和试验值作一致性检验，发现无显著差异，可认为处于同一母体。由表3可知，模拟结果与试验结果吻合度很好，最大相对误差不超过0.03%。文献[2]、文献[12]表明，当模拟次数为50～300次时，分布参数基本收敛，模拟结果能满足工程要求。

表3 光纤陀螺关键元器件实际测试结果和随机模拟结果Table 3 Test results and simulation results of FOG key components

跟据模拟结果可计算光纤陀螺各元器件的可靠度。采用串联模型，可得到光纤陀螺的应力-强度概率裕度与时间变化的关系，如图7所示。由图7可知，随着时间的推移，光纤陀螺固有强度（性能保持能力、寿命）与广义应力的干涉逐渐变得严重（Q＝1-R，图中R在减小，意味着Q在增大），即概率裕度逐渐缩小，性能逐渐退化。

从图7可推算出，该型空间用光纤陀螺的15年性能稳定概率裕度为0.9857（置信度为0.8）。

4 结论

本文采用Monte Carlo随机模拟方法与测试数据进行结合，对小子样高可靠长寿命产品进行了寿命评估，应用了应力-强度干涉理论并结合了可靠性数字仿真。分析结果表明，光纤陀螺性能保持的概率裕度、理论推导和仿真结果符合实际情况，结果可信。该寿命评估方法是光子晶体光纤陀螺寿命评估的一个研究方向，具有重要的研究意义。