稳定裕度测试技术研究

陈怀民+田宗超+程鹏飞+段晓军

摘 要： 针对模型未知或不确定的情况下确定系统的稳定裕度的问题，提出了利用实验方法获得系统的稳定裕度。对于MIMO系统，通过实验方法获得频响矩阵，应用回差矩阵最小奇异值法对稳定裕度进行估计，在实例中应用μ方法进行验证。目前很少有文献介绍利用飞行试验方法直接获取系统稳定裕度的方法，因此该文对于工程中系统稳定裕度的确定有着一定的意义。

关键字： MIMO系统； 飞行试验； 稳定裕度； 最小奇异值

中图分类号： TN911?34； TP391.41 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）16?0120?03

Research on stability margin testing technology

CHEN Huai?min， TIAN Zong?chao， CHENG Peng?fei， DUAN Xiao?jun

（National Key Laboratory of Science and Technology on UAV， NWPU， Xian 710065， China）

Abstract： In order to determine the stability margin of system under the condition that model is unknown or uncertain， an experimental method is proposed to get system stability margin. For MIMO system， the experimental method is adopted to obtain frequency response matrix， and the minimum singular value method of return difference matrix is used to estimate the stability margin. The u method is applied to verify the results in the instance. At present， there are few literatures to introduce the method that a flight test is performed to obtain the stability margin of a system directly， so the research has a certain significance for determining the stability margin of a system.

Keywords： MIMO system； flight test； stability margin； minimum singular value

0 引 言

对于一个实际飞机系统而言，只有在系统具有一定的稳定裕度的情况下，才能使系统不因参数的小范围漂移而导致系统性能变差甚至不稳定。如果系统的稳定裕度测试不准，就会导致控制器的设计不准确，导致的后果是无法预测的，所以稳定裕度的测试极其重要。通过控制原理可知，稳定裕度又分为幅值裕度和相位裕度，它们都是评判系统稳定性的重要指标。

对于SISO系统，经典的bode图法和Nyquist法已经相当成熟，可以利用频响函数画出bode图或Nyquist图，从图上就可以直接得出SISO系统的稳定裕度。如果系统的模型未知，也可以通过实验法来得到系统的频响函数。利用H1，H2，HV估计[1]都可以获得系统的频响函数。

对于MIMO系统，国际上还没有一种统一的定论，只是一些人根据自己的见解提出了一些定义和方法。而飞机的大多数控制回路都是多入多出的，所以，MIMO系统稳定裕度的测试研究工作就显得极其重要。

1 MIMO系统测试总体设计

1.1 实验法获得MIMO系统频响矩阵

对于SISO系统而言，可以通过输入输出数据，利用功率谱算法求得频响函数，进而利用bode图法和Nyquist图法求得系统的稳定裕度。而对于多输入多输出系统，可以采用下面的方法测得传递函数。假设系统是一个二入二出的MIMO飞机系统，如图1所示，基本方法如下：先在横向回路和航向回路中任意选定一个回路，而把另一个回路切断进行测试，测试完成之后颠倒顺序再次进行测量。

图1 飞机横航向控制系统框图

以U1作为横向回路的激励信号，U2作为航向回路的激励信号，y1和y2为系统的输出，G表示飞机模型，K表示飞机模型的控制器，那么此系统的状态空间方程可表示如下：

[X1（jω）X2（jω）=T11（jω）T12（jω）T21（jω）T22（jω）U1（jω）U2（jω）]

通过展开推导如下：

[X1（jω）=T11（jω）U1（jω）+T12（jω）U2（jω）]

[X2（jω）=T21（jω）U1（jω）+T22（jω）U2（jω）]

从上面的式子不难得出：通过回路的通断即可得到MIMO的频响矩阵，具体方案如下：用输入[U1]单独作为系统激励，同时[U2]断开，利用这种方法可以得到x1和x2。

此时由上式可知：

[X1（jω）=T11（jω）U1（jω）]

[X2（jω）=T21（jω）U1（jω）]

通过简化推导可以得到如下结果：

[T11（jω）=X1（jω）U1（jω）]

[T21（jω）=X2（jω）U1（jω）]

同样，利用上面类似的方法，先使[U2]作为整个系统的激励，同时[U1]通道断开，然后可以得到如下结果：

[T12（jω）=X1（jω）U2（jω）]

[T22（jω）=X2（jω）U2（jω）]

通过上面二入二出系统的例子，对系统回路实现简单的通断就实现了频响矩阵的量测，受到上面的启示，可以得到如下结论：对于任意多回路，只要应用上述方案的思路就可以得到系统的频响矩阵[2]。

1.2 奇异值法确定MIMO系统的稳定裕度

在获得系统的频响矩阵以后就要确定系统的稳定裕度，就MIMO系统的稳定裕度而言，目前国际上还没有一个定论来确定。只是一些人根据自己的看法提出了一些观点，下面利用目前比较成熟的最小奇异值法[3]来介绍，介绍如何利用1.1中获得的频响矩阵求回差矩阵的最小奇异值。

将输入u（t）到输出x（t）传递函数矩阵频率响应函数Tu[jω]定义如下：

[Tu（jω）ij=k=1N（Sxiuj（jω））k（Suiuj（jω））k-1]

在上面的式子中，[Suu]是输入的自功率谱密度，[Sxu]表示输入u和输出x互功率谱密度。

频响矩阵可以利用第1.1节中介绍的通断的方法求得。通过系统回路通断的简单方法可以得到系统频响矩阵[Tu（s）]，系统输入回差矩阵定义如下式：I+KG。

由图1所示，可以得到：

[e=u-x， x=KGe=KG（u-x）]

系统开环传递函数的频率响应可以通过输入u和输出x的功率谱密度来确定，具体如下式所示：

[Sxu=KG（Suu-Sxu）]

用[Suu-1]右乘上式可得如下结果：

[SxuSuu-1=KG（SuuSuu-1-SxuSuu-1）]

最后可以得到：

[Tu=KG（I-Tu）]

因此，可以得到开环增益矩阵的频率函数如下式所示：

[KG（jω）=Tu（jω）（I-Tu（jω））-1]

通过上式来确定系统回差矩阵为[I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1]，所以可以得到系统回差矩阵的最小奇异值[4]为：

[σ-（（I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1））] （1）

通过频响矩阵得到了系统回差矩阵的最小奇异值，这时，需要利用回差矩阵最小奇异值来确定系统的稳定裕度，这里讲的MIMO系统的稳定裕度是指所有MIMO系统回路同时变化时系统所确定的裕度。由于回差矩阵最小奇异值与稳定裕度之间存在着一个标准的对应关系，所以系统稳定的幅值裕度[7]GM和相位裕度PM[4]有如下关系表达式：

[GM=11±aPM=±arccos（1-a22）] （2）

式中，a为系统的最小奇异值。因此，只要得到了系统回差矩阵的最小奇异值，就可以通过式（2）确定系统的稳定裕度。但是注意式（2）确定的不是幅值和相位同时变化，若要考虑所有回路幅值和相位同时变化而使闭环系统稳定的情况，则要由通用的幅值?相位裕度估计图[4]确定。

利用回差矩阵最小奇异值来确定MIMO系统稳定裕度度的流程图如图2所示。

首先获得输入输出数据，考虑到需要的对象是一个黑盒系统，所以通过对系统提供一个扫频信号的激励，以实现得到的数据最能反映系统的特性。对数据进行低通滤波以排除噪声的影响，利用上面的方法可获得系统的频响矩阵，然后计算开环增益矩阵KG[jω]，进而得到回差矩阵的最小奇异值[σ-（（I+Tu（jω）（I-Tu（jω））-1））]，然后利用通用幅值?相位裕度估计图[4]就可以确定MIMO系统的稳定裕度。

2 MIMO系统实例仿真及分析

某型飞机侧向小扰动线性方程[6]为：

[x=Ax+Bu，y=Cx]

[A=-0.150 200.065 140.036 321.000 0-27.160 76-1.466 730-0.665 5101.000 00-0.065 19-4.794 340.000 020-0.236 46][B=0-0.022 28-23.082 58-7.166 330 00.957 33 -2.506 87]

[C=10000010]

图2 回差矩阵最小奇异值法确定MIMO稳定裕度流程图

所得的闭环控制系统在Simulink中画出框图见图3所示。

图3 闭环系统结构图

借助上面的模型来验证测试方法的可行性。在此测试过程中，视模型为黑盒系统，只利用输入/输出数据来测试系统的稳定裕度。输入注入扫频信号，为了排除噪声对数据的干扰，采用巴特沃兹低通滤波器对数据进行滤波，然后利用1.1介绍的方法求出频响矩阵，然后利用式（1）确定系统的最小奇异值，最后利用数据得到的最小奇异值如图4所示。

图4 最小奇异值曲线

从仿真结果可以得出系统的稳定裕度。由图得知：[-σ（I+GK）=0.1]，所以系统的稳定裕度为：所有通道幅值变化的最大范围为-0.83～0.92 dB；所有通道相位变化的最大范围为±5.7?。上面的仿真结果是利用实验的方法获得的，只利用数据得出的稳定裕度，为了说明实验方法的可行性，下面直接利用上面的传函矩阵，应用μ分析方法[7]来进行比较。采用[μ]分析方法[5]得到的仿真曲线如图5所示。

图5 μ值曲线

μ值与系统的稳定裕度存在如下关系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k为μ的最大值。

所以，从图5可以得出k=9.1；系统的稳定裕度为：所有通道幅值变化的最大范围为-1.03～0.93 dB；所有通道相位变化的最大范围为±6.37°。显然两者的结果是相近的，这说明了利用实验法直接确定系统的稳定裕度是可行的，更说明了本文所介绍方法的正确性。从上面仿真的结果还可以得出另外一个有意义的结论：μ方法提供的稳定裕度的范围略大于奇异值法确定的范围，这说明μ方法在克服奇异值法的保守性方面有一定的作用。

3 结 论

本文介绍了如何利用实验法直接确定系统的稳定裕度，而不需要确定系统传函矩阵，这在克服系统模型未知或不确定情况有很重要的意义。同时通过仿真实例验证了μ方法在一定程度上可以克服奇异值法的保守性。

参考文献

[1] 段虎明，素树人，李宁.频率响应函数估计方法综述[J].振动与冲击，2008，27（5）：48?52.

[2] 黄琳.稳定性与鲁棒性的理论基础.[M].北京：科学出版社，2000.

[3] GARG Sanjay. Robust eigenspace assignment using singular value sensitivities [J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1991， 14（2）： 416?424.

[4] 吴斌，程鹏.多变量飞控系统的稳定裕度分析[J].航空学报，1998（6）：657?659.

[5] 胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2001.

[6] 王欣.飞机鲁棒控制器设计及稳定裕度研究[D].西安：西北工业大学，2004.

[7] 李洪超，史忠科，田福礼，等.多变量飞控系统稳定裕度的μ分析方法[J].飞行力学，2006，24（2）：31?34.

[8] TSAO T T， LEC F， AUGENSTEIN D. Relations between robustness u?analysis and classical stability margins [J]. IEEE Journal， 1998， 4： 820?826.

[9] 翟福存，史忠科，戴冠中.MIMO稳定裕度的几个定义[J].飞行力学，2002（2）：6?9.

[10] 程鹏.多变量线性控制系统[M].北京：北京航空航天大学出版社，1990.

图5 μ值曲线

μ值与系统的稳定裕度存在如下关系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k为μ的最大值。

所以，从图5可以得出k=9.1；系统的稳定裕度为：所有通道幅值变化的最大范围为-1.03～0.93 dB；所有通道相位变化的最大范围为±6.37°。显然两者的结果是相近的，这说明了利用实验法直接确定系统的稳定裕度是可行的，更说明了本文所介绍方法的正确性。从上面仿真的结果还可以得出另外一个有意义的结论：μ方法提供的稳定裕度的范围略大于奇异值法确定的范围，这说明μ方法在克服奇异值法的保守性方面有一定的作用。

3 结 论

本文介绍了如何利用实验法直接确定系统的稳定裕度，而不需要确定系统传函矩阵，这在克服系统模型未知或不确定情况有很重要的意义。同时通过仿真实例验证了μ方法在一定程度上可以克服奇异值法的保守性。

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[10] 程鹏.多变量线性控制系统[M].北京：北京航空航天大学出版社，1990.

图5 μ值曲线

μ值与系统的稳定裕度存在如下关系[8]：

[1-1?≤k≤1+1?]

[ψ=±arccos（1-12?2）]

式中k为μ的最大值。

所以，从图5可以得出k=9.1；系统的稳定裕度为：所有通道幅值变化的最大范围为-1.03～0.93 dB；所有通道相位变化的最大范围为±6.37°。显然两者的结果是相近的，这说明了利用实验法直接确定系统的稳定裕度是可行的，更说明了本文所介绍方法的正确性。从上面仿真的结果还可以得出另外一个有意义的结论：μ方法提供的稳定裕度的范围略大于奇异值法确定的范围，这说明μ方法在克服奇异值法的保守性方面有一定的作用。

3 结 论

本文介绍了如何利用实验法直接确定系统的稳定裕度，而不需要确定系统传函矩阵，这在克服系统模型未知或不确定情况有很重要的意义。同时通过仿真实例验证了μ方法在一定程度上可以克服奇异值法的保守性。

参考文献

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