高中数学教学中的核心概念教学理解

崔芝冬

[摘  要] 对于核心概念的教学，教师要抓住其能够发挥的提纲挈领的作用，让学生在这些概念的学习中，既能够通过这些概念演绎出或深度理解其他的概念;同时也能够在这些概念的学习中，更好地理解数学概念的学习方法，从而提升数学概念的学习方法. 在核心概念的教学中，要认识其价值，首先就要站在学生学习的角度去认识其学习价值. 在核心素养的背景下，要重视核心概念的教学，要以之作为打开核心素养培育大门的钥匙，这是核心概念的新的意义所在.

[关键词] 高中数学;核心概念;教学理解

当前，对于核心概念的研究开始趋热，一个重要原因就是因为《普通高中数学课程标准》对核心概念提出了具体的观点. 需要注意的是，日常数学教学中所强调的数学核心概念，与课程标准中的核心概念并不完全相同，更多的情况下，数学核心概念是指一个拥有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系. 在教师的教学语境中，核心概念往往也指这些具有核心地位的数学概念. 对于核心概念的教学，笔者以为，教师要抓住其能够发挥的提纲挈领的作用，让学生在这些概念的学习中，既能够通过这些概念演绎出或深度理解其他的概念;同时也能够在这些概念的学习中，更好地理解数学概念的学习方法，从而提升数学概念的学习方法.

今天的高中数学教学，面临着数学学科核心素养培育的需要，在核心素养的背景下理解数学核心概念及其教学，对核心素养的培育有着重要意义. 基于这样的理解，笔者对高中数学教学中的核心概念教学进行了再度梳理，形成了一些具有一定超越性的认识，在此进行一个总结.

■核心概念之于高中学生数学学习的价值

核心素养强调通过一定的教育，让学生生成能够适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力. 很显然，学生是核心素养培育的中心！这样的认识，其实是对学生主体地位的再次确认. 在核心概念的教学中，要认识其价值，首先就要站在学生学习的角度，去认识其学习价值. 当然，在立足于学生视角之前，还要从数学知识的角度认识核心概念的教学意义.

从数学知识的角度来看，一般认为掌握好核心概念是学好高中数学的前提和基础，因此，教师在教学中要吃透教材，认真研究，使学生真正领悟数学核心概念的价值. 美国教育心理学家布鲁纳说：“掌握一门学科，就是要掌握这门学科核心的、根本的概念.”数学家波利亚在《如何解题》中指出：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义上去.”显然，波利亚这里所说的“回到定义”并非所有数学概念的定义，而是指具有核心地位的数学概念;同时，这样的一个论断，所给出的教学启发则是：数学核心概念不仅具有概念联结的作用，同时也具有提升学生数学学习尤其是概念学习品质的作用.

从学生的角度来看，数学核心概念的教学，更多的应当立足于学生数学学习品质的角度去设计并实施. 从这个角度来看，核心概念的确定途径是多元的，既可以从数学概念之间的关系角度去认定核心概念，最典型的如“函数”，其上联集合，下联多种函数，从数学思想和方法上还关联着数形结合等，是高中数学知识体系中最具典型意义的核心概念;同时，还可以从促进学生理解数学概念的角度去界定核心概念，如“函数的零点”这一概念，虽然从概念体系的角度来看，该概念的地位并不显赫，但从学生理解函数以及函数与方程的关系的角度来看，又起着联结函数与方程的关系的作用，因而也可以以之为核心概念来促进学生学习数学知识.

因此，綜合以上观点可以得出的一个结论就是：高中数学教学中核心概念的确定，更多的可以以概念的联系为研究出发点，以概念学习中学生的思维品质的提升为落脚点来确定核心概念的教学.

■基于学生数学学习需要的核心概念教学

既然明确了核心概念的教学要基于学生的学习需要而进行，那么在具体的教学中，教师应当如何组织并实施教学呢？

以上面“函数的零点”的教学为例，可以进行这样的分析：从概念地位的角度来看，函数是高中数学的核心内容，“函数与方程”是函数一章继指数函数、对数函数、幂函数三种重要函数模型后的函数思想和方法的具体应用，主要涉及函数零点的概念和零点存在定理. 在教学实践中发现学生对零点概念和定理的理解的深刻性不够，综合应用困难较大. 基于这一教学现状，在实际教学中，可以先设计一个让学生求方程的实数根的教学环节，如让学生求x-1=0，x2-2x-3=0，2x-2=0，lnx+2x-6=0的根. 对于学生而言，这是一个由易至难，且挑战性整体不大的环节，学生在解题的时候即使不能完全迅速地得出结果，也能够根据此前积累的解题经验去建立解题思路.

其后，基于数形结合思想，向学生提出问题：从形式上来看，函数与方程之间存在着千丝万缕的关系，那么方程的求解与函数之间可能存在什么样的关系呢？这个问题提出之后，让学生先思考一会儿，然后教师引导学生进行梳理，梳理的方向主要就是方程与函数的联系. 此过程仍然应当遵循由易至难的顺序. 如方程x-1=0与函数y=x-1，从解方程的角度来看，可以得出x=1，而从函数的角度来看，y=x-1所对应的图像上会出现（1，0）这个点. 在通过第二个例子演绎之后，学生会发现，在平面直角坐标系上，函数的图像与x轴的交点的横坐标就是所对应的方程的解. 如图1、图2分别为y=x-1，y=x2-2x-3的图像.

在此基础上，帮学生建立“函数的零点”的概念：对于函数y=f（x），把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点. 教学实践表明，学生刚开始接触这个表述的时候，都感觉自己是听得明白的，但这时教师不能大意，不能认为所有学生真的完全理解了这个概念. 笔者的教学经验是，此时帮学生建立起对应关系，是深化概念理解，从而发挥“函数的零点”核心概念作用的关键. 笔者在教学中，给学生呈现了这样的一个板书（如下）：

函数y=f（x）的零点？圳方程f（x）=0的实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标.

事实证明，通过这样的关系呈现，学生能够更好地理解函数的零点. 其后，教师还要赋予学生一个空间，让他们思考“函数的零点”这个概念是如何建立起来的. 在笔者的课堂上，听到了学生这样的总结：“在此前的学习中，我（学生自己）就感觉到函数与方程肯定存在着联系，因为方程与函数的解析式中，最核心的那部分都是一样的. 但很长的一段时间里，我都认为方程就是方程，函数就是函数. 通过今天的学习，我终于豁然开朗了，原来两者之间的联系是如此的密切.”还有一个学生说道：“我发现我们所学的函数的零点，其实并不是完全指一个点，它应该是指一个实数，这个实数在方程中是以方程的解的形式出现的，即函数y=f（x）的零点就是使f（x）=0的实数x的值，在函数中是以函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标出现的. ”还有学生补充到：“我发现一个比较有意思的现象，那就是在‘函数的零点的学习中，我再次发现数学中的“数”与“形”的关系是十分密切的……”

学生的这些认识表明，他们在理解“函数的零点”这一概念的时候，已经进行了深度加工. “函数的零点”这一概念，不仅让学生认识到了方程与函数的关系，还为学生理解数形结合思想提供了一个新的契机，学生所形成的认识也可以顺利地迁移到其他情形中.

■关于数学核心概念的宏观理解与微观实施

基于类似于上述案例的多个教学实践过程的分析，笔者以为，在高中数学教学中，基于核心概念去实施教学，可以从宏观与微观两个层面促进学生的发展. 从宏观层面来看，数学核心概念的确立、组织和呈现方式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点，这个特点体现到数学教学的具体过程中，就是数学知识体系的建立;从微观层面来看，则培养了学生的数学学习能力，提升了学生解决问题的能力，进而为核心素养的培育奠定了基础.

上面提到的“函数的零点”的概念建立之后，求函数零点的方法其实也就水到渠成了，无论是方程法还是图像法，都成了学生思维自然的产物. 其后，在探究“函数零点存在性定理”的时候，学生的思维也更加清晰了，比如有数个学生明确提出了可以基于数形结合的思路，去建立起相关的认识. 有学生总结出来：“如果一个函数y=f（x）在某区间[a，b]上的图像，只要满足了f（a）·f（b）<0，那么这个函数在这个区间内肯定就有零点.”这样的说法与准确的数学表达几乎就是一步之遥了. 如此迅速地寻找到正确的结论，笔者以为与此前“函数的零点”的概念建立的过程有关，正是因为此前的精加工过程，使得学生在概念建立的过程中，建立了丰富的、正确的表象，从而保证了后续学习过程的高效. 从核心素养培育的角度来看，这也是能力的迁移，是核心素养落地的初步體现.

总之，在核心素养的背景下，要重视核心概念的教学，要以之作为打开核心素养培育大门的钥匙，这是核心概念的新的意义所在.