从中考试题看几何教学——以2019年长春市中考数学试题中几何解答题为例

迟立祥

(吉林省长春市东北师大附中初中部 130000)

一、2019年长春市中考数学试题几何解答题概述

第18题：如图，四边形ABCD是正方形.以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G.

(1)求证：△ABE≌△BCG.

这是一道“推理+运算”的几何试题，与往年相比最主要变化体现在试题形式上，以往的试题要么单独考查三角形或平行四边形的知识，要么单独考查圆的知识，今年此题将全等三角形与圆的知识结合起来考查，难度不大，但体现出中考对核心知识的考查的形式灵活多样，不拘泥于固定模式.

第22题：教材呈现：以下是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

证明：连结DE.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

此题是以几何知识为背景的“探究+应用”型问题.此类试题一方面考查学生基本的几何推理、运算能力，另一方面也考查了学生对新知识的应用能力，体现了数学研究：猜想——论证——应用的过程，对学生的数学学习具有一定指导意义.2019年中考试题中第22题与以往相比的变化主要体现在两方面：一是试题背景源于教材；二是以相似三角形的知识为背景，以往多以全等三角形、平行四边形为背景.这两点变化体现出中考试题的立意对几何教学的指导意义，即希望在教学过程中应重视教材，贯彻教材编写意图，挖掘教材中典型题目.

第23题 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒.

(1)①AB的长为____；

②PN的长用含t的代数式表示为____.

(4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值.

此题为图形运动问题.这道试题在命题立意方面与往年相比并没有明显的变化，但在命题时充分考虑到回避高中知识，运用高中解析几何知识解决此题不占优势.

二、初中几何教学的建议

1.注重渗透研究几何对象的基本模式

教科书对于几何内容的编写自始至终注重渗透研究几何图形的基本方法.在华师版数学教材七年级上册“相交线与平行线”一章中，教材就向学生呈现了研究几何图形的模式：定义→性质→判定.对于全等三角形、等腰三角形、平行四边形等几何对象的学习，这一研究模式的主线更加清晰.

教学中注重对几何图形研究模式的渗透，将对学生公理化体系的建立起到极大的助力作用.初中平面几何的特点是定理多，这是学生学习几何的一大障碍，如果学生在学习每个几何图形时都能按上述基本模式研究、梳理，那么将形成自己的定理体系，在推理论证时就会有理有据，逻辑清晰.

2.注重对学生几何语言表达能力的培养

教材对于学生几何语言能力的培养是循序渐进的，主要分三个阶段：第一阶段，在“相交线与平行线”一章中，逻辑推理过程要求写出推理依据，要求有理有据；第二阶段，在“全等三角形”一章中，在证明两个三角形全等时，推理过程强调“在哪两个三角形中，条件按定理顺序罗列”，要求定理结构清晰；第三阶段，在“平行四边形”一章中，要求语言准确、逻辑清晰.这三个阶段逐层递进，每个阶段目标的达成程度将直接影响下一阶段的学习.

在教学中培养学生的几何语言表达能力要注意以下两点：一是，培养学生不同语言形式间相互转换的能力.初中几何教学中涉及文字语言、符号语言、图形语言，在教学中注重训练学生三种语言间的相互转换.二是，培养学生理清论证过程中的逻辑关系，理清楚“先有谁，后有谁”，这样按照“先后”顺序将所需定理和结论的符号叙述串联起来，便是逻辑清晰的推理过程了.

3.挖掘典型问题，聚焦基本图形

在初中平面几何知识中有大量的典型问题，而这类问题往往又与基本图形相伴而行，所以我们教学选题时应关注经典问题，帮助学生积累基本解题思路和经典模型的性质，以便于学生在面对陌生问题时能够在复杂图形中抽象出基本图形，转化为典型问题进行求解.

4.关注知识间的联系，让知识体系形成网格式交叉

初中几何知识之间的联系分两类：一类是图形之间的联系，另一类是结论之间的联系.对于图形之间的联系，教材呈现较为明显，有的是从一般到特殊，例如三角形→等腰三角形、直角三角形，有的是从特殊到一般，例如，全等三角形→相似三角形.关注图形之间的特殊与一般的关系，可以利用类比的方式对比研究不同图形的性质与判定，帮助学生将知识体系“链”化.对于结论之间的联系，教材呈现相对无序，需要教师引导学生在学习过程中留意整理.例如，与线段相等相关的结论，与角相等相关的结论.对结论之间联系的梳理，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.在学习过程中，如果将这两种联系横纵交叉，就会形成几何知识体系的网格化，学生将在知识体系的建立、几何探究能力、问题解决能力等方面得到全面的提升.

5.加强教师的板书示范

随着各种教学模式的不断出新，教学设备的不断改善，数学课堂的知识容量也在不断的加大，表面上看，课堂效率是在不断的提高，但实际上，也会造成学生部分学习能力的缺失.传统课堂并不是一无是处，至少教师的示范作用就是不可或缺的.初中生所处的年龄和心理特征决定，教师的示范对学生良好学习方法和学习习惯的养成起到非常重要的作用.很多学生是老师怎么写，他就怎么写，老师认真写，他才认真写.因此，数学课堂上，教师板书的阵地不能丢，不能认为课件展示就可以全部代替教师的板书，不能因为担心课堂任务完不成就不板书.

总之，中考试题对教师的教学具有导向作用，但不代表考什么就教什么.而应分析试题背后的命题立意，分析课程标准的指向，分析学生的学习现状，将三者结合起来看，找到教学与测试目标的差距，在现实学情的基础上寻找教学方式上的突破.