如何求某一时间间隔内的位移

范常春

(山东省潍坊市昌乐县及第中学 262400)

一、打点计时器问题中的求某一时间间隔位移的方法

在打点计时器实验中，存在S2-S1=S3-S2=S4-S3……Sn-Sn-1=ΔS=aT2，如果将上述关系由左到右累加，则可以得到Sn-S1=(n-1)ΔS，其中n与时间的关系为n=t/T，其中t为从n=1到第n项运动所需要的总时间，T为相邻两点间的时间差.移项可得，第n段时间间隔内的位移为Sn=S1+(t/T-1)ΔS，其中ΔS=aT2.

例1已知电磁打点计时器测速度实验中，第一段的位移为x1=5.18cm，1、2间的距离x2=4.40cm，2、3间的距离x3=3.62cm，3、4间的距离x4=2.78cm.求0.10s内最后一段时间间隔内的位移.

求解：a=[(x4+x3)-(x2+x1)]÷4t2=-19.875m/s2，x1=5.18cm.

最后一段即为第五段的位移.x5=5.18-19.875×0.022×4×102=2.00m.

二、通过运动学公式推导某一时间间隔内的位移

在运动学中，我们知道在T+t内的时间里位移为

XT+t=v0(T+t)+(1/2)a(T+t)2①

在T时间内位移为XT=v0T+(1/2)aT2②

①，②两式相减得ΔX=v0t+(1/2)a(2Tt+t2)该式即为时间间隔为t时的某一段位移公式.

当运动为匀速直线运动时，某一时间间隔内的位移为ΔX=v0·t，其中t为时间间隔.

例2已知由静止沿某一直线加速加速度为a=2m/s2，求在T=3s及t=2s内之间的位移大小.

解由上式ΔX=v0t+(1/2)a(2Tt+t2)，带入数据a=2m/s2，T=3s及t=2s.得出该时间间隔内的位移大小为ΔX=(1/2)×2×(2×3×2+22)=10m.

由于上述运动学公式是由运动学基本公式推导出来的，因此，对于打点计时器中的类似问题也可以进行解决.

例3在打点计时器测速度实验中，已知连接4V电的电磁打点计时器在某点测得的速度为v0=2m/s，加速度a=2m/s2，经过一段时间T=0.06s后，求最后一段时间间隔内走过的位移.

解本题隐含条件为电磁打点计时器的打点的时间间隔为0.02s.最后一段时间为最后0.02s.于是，在前0.04s内的位移为X1=2×0.04+(1/2)×2×(0.04)2=0.0816m，在总时间内的位移为X2=2×0.06+(1/2)×2×(0.06)2=0.1236m.故最后一段时间间隔内的位移为ΔX=0.1236-0.0816=0.0420m.即ΔX=v0t+(1/2)a(2Tt+t2)=2×0.02+(1/2)×2×(2×0.04×0.02+0.022)=0.0420m.经验证，在最后一段时间间隔内的位移为0.0420m.

三、平均速度求某一时间间隔的位移

对于匀加速直线运动或匀减速直线运动来说，某一段时间间隔的速度可以用平均速度来衡量，即x=vt.

推导由平均速度跟某一时间间隔位移的关系

X1=V1T+V1t①

X2=V2T②

①-②得，ΔX=(V1-V2)T+V1t

继续化简可得

ΔX=ΔVT+V1ΔT

其中ΔV为两段速度的差，ΔT为相差的时间间隔.匀变速直线运动中，还有

ΔX=aΔT2+V1ΔT.

例4已知工作电压4V的电磁打点计时器测速度在某相邻三点时，测得加速度为2m/s2，经过第一个点时速度为1m/s，求末段的位移.

解相邻三点，T=0.02s，ΔT=0.02s.在该时间内的平均速度为V1=(1+1+2×0.02)÷2=1.02m/s.末段位移为：2×0.022+1.02×0.02=0.0212m.