正方形教学案例分析

柏承娟

(新疆克拉玛依市第九中学 新疆克拉玛依 834000)

一、课堂引入

1.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形。

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括两层意思：

2.问题：正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

二、例题分析

例1（人教版教材P58例5），求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）。

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO

例2（补充），已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1//l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P点。

求证：四边形PQMN是正方形。

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△A B M ≌△D A N，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP，即可证出MN=NP，从而得出结论。

证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN//QM，∠PNM=90°

∵PQ//NM，

∴四边形PQMN是矩形

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

∴∠1+∠2=90°

又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

∴△ABM≌△DAN

∴AM=DN，同理AN=DP

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN，

∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）

三、随堂练习

1.正方形的四条边_________，四个角_________，两条对角线__________。

2.下列说法是否正确，并说明理由。

（1）对角线相等的菱形是正方形；（ ）

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

（4）四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

（5）四个角相等的四边形是正方形。（ ）

3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF。

求证：∠AFE＝∠AEF

四、课后练习

1.如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数。

2.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求证：四边形CFDE是正方形。

点评：本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法，重点是正方形定义。

学生在小学阶段对正方形已有初步了解，生活中应用很广，其实正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定。

学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽学生对正方形对角线性质的知识。在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生的实践能力。另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法。

掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形。教师在教学时要结合教科书P58中的图18.2-11，具体说明正方形与矩形、菱形的关系，这些关系是教学难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚。这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些。

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结。可以将正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质。要使学生熟悉这些最基本的内容。

对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析得太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定。

正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合。可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容，还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念。

本节课安排了两个例题，例1是人教版教材P58的例4，例2是补充的题目。其中例1是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生正确运用其性质，例2是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边相等，从而可以判定这个四边形是正方形。随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

1.对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

2.对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

3.对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

4.能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

5.说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？