整体思想解题策略研究

周超富

[摘要]整体思想是数学解题中一种重要的思想方法.从整体上认识问题，利用知识联系来对问题简化变形，可实现问题的高效求解.整体思想解题的策略有整体代入、整体换元、整体变形、整体转化等.研究应用整体思想解题的策略，能提高学生的解题能力.

[关键词]整体思想;解题;策略

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0016-02

整体思想是特殊的思想方法.整体思想，即探究问题时不着眼于问题的局部，而是关注问题的整体形式、结构、特点，从而充分认识问题，把握问题的本质内涵.整体思想的常用解题策略有如下几种.

一、整体代入

整体代入常用于数与式的运算中，解题时常将题干的条件视为一个整体，代入到所求问题中，从而减少计算量，提高解题效率.整体代入最为关键的一步是根据实际情况对问题或条件进行变形，构建出符合代入的形式结构.

[例1]已知，试求的值.

解析：直接利用已知条件无法求出a和b的值，只能考虑通过观察已知式和待求式的特点，采用整体代入的方式求解.首先对已知式进行简单变形，可得a-b=-4ab，则只需要在待求式中变形出a-b的形式，就可以建立条件与问题之间的关系.而，将代入上式可得，即的值为6.

评析：本题属于代数式的求值题.常用的求解方法有两种.一是求解未知参数间接求值;二是整体代入间接求值.而上述解题过程采用的就是整体代入的方法.先变形，后整体代入.虽增加了结构分析的过程，但可以简化运算.

二、整体换元

换元法是数学解题常用的简化方法，而与整体思想相结合的整体换元更能凸显方法的优势，尤其是对于多元、高次方程问题，巧妙利用整体换元法可以达到降低思维难度的目的.而在整体换元过程中需要关注两点：一是关注其中的相同项;二是关注参数的取值范围.

[例2]已知x和y均为实数，且满足方程x²+3x+y-3=0，试求x+y的最大值.

解析：已知条件为二元二次方程，x和y之间存在着大小关系，因此无法直接求出x和y的值.此时可以将x+y视为一个整体，通过整体换元将已知方程变形为关于x的函数，然后利用函数的性质求最值.将已知方程等号的左侧变形为x+y，则有x+y=x²-2x+3，令x+y=z，则z=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，已知x为实数，则当x=-1时，z可取得最大值4，即x+y的最大值为4.

评析：本题的难点在于所给方程既是关于x的方程，也是关于y的方程，无法直接获得x和y的取值范围.实际上该方程就是x和y的关系式，最为有效的方式就是通过整体换元的方式构造出求解函数，利用函数求最值的方法达到目的.

三、整体变形

在遇到一些不规则的图形问题时，可以考虑应用整体变形的方式，通过适当地补全或分割来求解.

[例3]已知半圆O的直径AB为2，在其圆弧上取一点C，过点C作AB的平行线，交圆弧AB于点D，再连接OC和OD，如图1所示.若∠COD=90°，连接AD和CO，试求图中阴影部分的面积.

解析：本题属于常见的几何阴影面积求值题.图中的阴影部分为扇形和三角形的组合，常规的求法是通过割补的方式来求解.但相对而言，计算步骤较多，需要考虑多个图形的几何面积.此时可以从整体上来考虑.由于CD//AB，对于△ADC，可以视为是以CD为底，以点A为顶点的三角形，则CD边上的高就为点O到CD的距离，分析可知其面积与△COD的面

积相等，通过重新组合可知阴影部分就与扇形OCD的面积相等，可直接利用扇形面积公式完成求解，即，则图中阴影部分的面积为.

评析：本题是从整体上对图形进行重组变形，是图形割补的一种方式，相较于常规的面积割补，其特殊之处在于采用了局部等面积转化的方式，并从整体上将阴影部分变形为一个规则图形.该整体变形的关注点有两个：一是图形的规则化;二是图形整体的简洁化.

四、整体转化

转化是一种重要的解题策略.从整体上对问题进行转化变形则是基于数学整体思想的一种重要形式.即解题时基于知识之间的联系，将问题转化为等价的新问题，然后通过对新问题的简单求解来达到解题的目的.采用整体转化策略解题时需要特别关注转化前后是否“等价”，确保答案准确.

[例4]已知一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，如果两函数的交点为点A（-2，-1）和点B（n，2），回答下列两个问题：

（1）试求两函数的解析式;

（2）已知不等式y₁>y₂，试求x的取值范围.

解析：本题为常规的函数题，对于第（1）问可以采用常规的“点与函数解析式的互求”策略來求解，可解得一次函数解析式为y=x+1，反比例函数的解析式为.对于第（2）问，粗略看属于解不等式题，但考虑到是以函数为背景的问题，则可以采用整体化归的策略.将问题转化为函数图像分析题，分别绘制y₁和y₂的图像，如图2所示.y₁>y₂则表示一次函数图像位于反比例函数图像上端的部分.根据图像可知在原点的左侧为-21，因此x的取值范围就为-21.

评析：本题是中考常见的函数综合题，其特殊之处在于第（2）问依托函数构建了不等式问题，在解题时可以充分利用不等式与图像之间的联系，从整体上将问题转化为函数图像分析题.该解法的优势在于几何法解代数问题更具直观性，可简化运算直接获解.

总之，无论是整体代入、还原，还是整体变形、化归，都是整体思想解题的表现形式，其在代数与几何问题中均有着广泛的应用.整体思想的应用是基于对问题的本质认识，对学生的能力有着较高的要求.因此在实际教学中，教师要引导学生注重知识本质的挖掘，养成整体分析的习惯，逐步拓展学生的解题思路.

[参考文献]

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[2]陶继智.理解基本思想感悟解题方法：从几道自主招生试题谈起[J].中学数学教学参考，2018（24）：29-31.

[3]梁洁琼.浅议模型思想在初中数学教学中的渗透：以“不等式与不等式组”的教学为例[J].数学教学通讯，2018（29）：24-25.