状态依赖脉冲分数阶微分方程解的存在唯一性①
2020-02-28
(安徽大学数学科学学院, 安徽 合肥 230601)
0 引 言
具状态依赖系统的脉冲时刻与系统状态有十分密切关系,因此具状态依赖脉冲微分方程成为微分方程研究领域的难点问题,已有的成果主要是关于方程解的存在唯一性及稳定性,详见参考文献[1~7]。受上述文献的启发,本文主要利用不动点方法研究状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程的非局部问题解的存在唯一性
(1)
1 预备知识
记C(J,R)={x:J→R,x连续},其范数为‖x‖=sup{|x(t)|,t∈J}。
PC(J,R)={x:J→R:tk=τk(x(t)),
‖x‖=max{‖xk‖,k=1,2,…,m},
其中xk=xk(t),t∈(tk,tk+1]。
定义2.1[8,9]对h∈L1([a,b],R+),定义其分数阶积分
定义2.2[8,9]函数h在区间[a,b]上有
定义,定义其Caputo分数阶导数为
其中n=[α]+1,[α]为取整函数。
定义2.3[8,9]对任意函数h在区间
[a,b]上有定义,定义其Riemann- Liouville分数阶积分为
其中n=[α]+1,[α]为取整函数。
引理2.1[10]若β>0,a(t)是区间[0,T),T+上的非负局部可积函数,b(t)是区间[0,T),T+上的非负、非减有界连续函数,y(t)是区间[0,T),T+上的非负局部可积函数。若
y(t)a(t)+b(t)(t-s)β-1y(s)ds,
则
y(t)
(t-s)jβ-1a(s)ds,t∈[0,T)。
2 主要结论
作以下假设:
(H1)f:J×R→R连续,存在函数
使得
|f(t,u)|M(t)|u|+N(t),
|f(t,u)-f(t,v)|M(t)|u-v|,
其中q>1,p>1。此外,M(t)非减有界。
(H2)τk∈C1(R,R),k=1,2,…,m,并且
0<τ1(x)<…<τm(x)=T,x∈R。
τk(Ik(x))τk(x)<τk+1(Ik(x))
(2)
|Ik(u)-Ik(v)|ck(t)|u-v|,
(3)
k=1,2,…,m,a,t∈J。
(H5)g∈C(R,R),g(0)=0。若存在M>0,使得
|g(u)|M(|u|+1)
(4)
存在M′>0,使得
(5)
存在常数Lg:0 |g(u)-g(v)|Lg|u-v| (6) 定理2.1 若条件(H1)和(H3)的(2)式及(H2),(H4),(H5)的(4)式均满足,则方程(1)存在至少一解。 证明:步骤一、考虑以下问题 (7) 定义F:C(J,R)→C(J,R)的算子为 (1) 算子F是全连续算子。在C(J,R)中取函数列xn→x,由(H1),(H5)的(4)式,易得F的连续性。 (2)在C(J,R)中,算子F把有界集映成有界集。取C(J,R)中有界集 Br={x∈C(J,R):‖x‖r}, 由条件(H1)及赫尔德不等式得 |(Fx)(t)| 即‖Fx‖H,结论成立。 即算子F把有界集映成等度连续的。由Arezela-Ascoli定理知算子F是全连续的。 (4)考虑集合 K={x∈C(J,R):x=λFx,0<λ<1} 的有界性。 对任意x∈K,由条件(H1),(H5)的(4),类似于以上推导,有 |x(t)| |x(t)|H, 即集合K有界。 由Schaefer不动点定理,算子F至少存在一个不动点,即方程(1)的解,记该解为x1(t)。 考虑函数 rk,1(t)=τk(x1(t))-t,t≥0,k=1,2,…,m (8) 由条件(H2)得rk,1(0)≠0。若,rk,1(t)≠0, t∈J,则x1(t)是方程(1)的解。类似于文献[1],可得方程(1)的解 (9) 类似于定理2.1,利用压缩映射原理得 定理2.2 若条件(H1),(H3)的(3)式,(H2),(H4),(H5)的(5)或(6)之一成立。当 则方程(1)存在唯一解。 利用不动点定理和不等式技巧得到状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程的非局部问题解的存在唯一性。放宽了文献[2]的假设条件(H2),改进了文献[2]的相关结果。3 结 语