世界的本原及其数学设计——数学作为一门横断科学的历史溯源

郭龙先，刘 秀

（昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通657000）

探索自然界的统一性这一崇高宗旨，始终贯穿于人类进步的历史中。当古希腊第一位思想家、数学家泰勒斯提出“万物源于水”这一反思世界本原的命题之后，就开启了人类认识世界统一性的大门。其中由毕达哥拉斯开创的利用数学探索宇宙秩序与规律的思想，堪称自然科学中最富有生命力的成果之一。这一思想方法有着悠远的文化背景与学术传统，回顾科学史上哲学、自然科学家利用数学探讨世界本原，揭示物质实体与数学法则的关系的种种努力，有利于加深对数学作为一门横断科学本质的认识与理解。

1 探索世界的统一性——万物本原的猜测与追问

在远古时期已有的神话、艺术和行为准则的背景下，西方世界最初试图对宇宙的产生及其组成等问题，做出自然解释的是被誉为科学之父的古希腊哲学家泰勒斯。他所提出的“万物源于水”这一命题受到了后世学者的高度赞誉。对该命题在哲学和科学史上的重大意义，M·克莱因的评价尤其精彩，他说道：

与现代先进的科学理论相比，泰勒斯这种对自然现象的分析显得幼稚、浅薄。但是，泰勒斯和他的依奥尼亚学派的思想与前任思想相比，有一个很大的进步。至少这些人敢于探讨宇宙，拒绝借助于神、精灵、鬼魅、邪恶、天使，或其他为具有理性思维的人不能接受的东西。他们唯物的、客观的解释，摒弃了神秘的、超自然的因素，而且他们的理性判断方法，使那些怪诞的、经不起推敲的诗意般的解释信誉扫地。深邃的直觉洞察到了宇宙的本质，而理性却保证了这种洞察力。[1]74-75

继泰勒斯之后的古希腊哲学家阿那克西美尼则主张“气本原说”；赫拉克利特倡导“火为万物之原”；恩培多克勒提出火、气、水、土四元素为万物之本的“四根说”。古希腊哲人对宇宙人生穷根究底、坚持不懈的追问与反思，无一不是为了揭示自然界复杂现象和多样事物背后的统一性本原。瓦托夫斯基指出，这些探索者的最重要的方法论论点是：“事物多样性是由一个统一的原理安排的，或者说，是由某种统一的质料派生出来的”。[2]

与上述各派哲学家寻找某种物质元素作为自然本原有所不同，毕达哥拉斯另辟蹊径，提出了“万物皆数”的主张。据说其学派成员的誓词是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中。”他们认为自然是由点、线、面和体四种几何元素组成的，因此1、2、3、4 这四个数叫“四象”，受到特别的重视。后来亚里士多德则改为强调土、气、火、水四种物质元素为万物的始基。文德尔班说：“毕达哥拉斯对世界本原的解答，比米利都学派的解答更抽象，比埃利亚学派更直观、更明确，比赫拉克利特更清楚，但比居间派提供的解答更难理解。”他们“基于无限的东西所受到的数字上的限制，基于从空间中形成形式”，将“数学形式当作了物理现实的本质”。[3]67-68

在研究自然的变化与万物的统一性过程中，最终由留基伯和德谟克利特集诸家之大成，创立了“原子论”，达到了古希腊自然哲学的顶峰。从此如何将“多”统一成“一”，就成了学者们追求的远大目标。文德尔班写道：

正是这种对自然界作客观的思考才使思维初步升华到科学概念结构的水平。其结果是，希腊科学将它的整个青春的欢乐和旺盛的知识首先贡献给了自然界问题。……形成了基本概念或者思想模式。[3]40

中国先秦时期也产生了独树一帜的“阴阳五行”、“太极八卦”等关于万物本原学说。提出了“天人合一”的思想。中华文明同样认为“上自天文、下及地理，中于人事之得失，于万物之幽深玄远、出入潜没，莫不有数存焉”。[4]“天人合一”学说，将天、地、人三者视为一个统一的整体。由此产生了一种基本观念，即整个宇宙存在着一种统一的力量或法则，无论天上、地下和人间都受其支配。这种宇宙人生的最高主宰在商周时期曾被认为是“天帝”或“上帝”，但到了春秋战国时期，在阴阳五行家眼中它就是一种自然法则。《吕氏春秋·知分》提出：

凡人物者，阴阳之化也。阴阳者，造乎天而成者。天固有衰嗛废伏，有盛盈蚠息；人亦有困穷屈匮，有充实达遂；此皆天之容、物理也，而不得不然之数也。

《吕氏春秋·贵当》又说：“因其固然而然之，此天地之数也”。由于数学的正确运算，结果都必定是一样的，因而古人认为“天数”具有控御万物的必然性。荀子曰：“两贵之不能相事，两贱之不能相使，是天数也。”（《荀子·王制》）《仲秋》亦云：“凡举事无逆天数，必顺其时”。

数的必然性也被用来说明社会人生的各个方面。如对棋手而言有：“奕之为数也”。（《孟子·告子》）百工技艺也需要做到心中有“数”：“斲轮……有数存焉于其间。（《庄子·天道》）用于算命则有卜筮之数：“贾谊曰……试之卜数中以观采”。（《史记·日者列传》）诸如此类的还有“历数”、“地数”、“命数”、“礼数”、“胜数”等等。

明朝数学家程大位总结说：“凡天宫、地员、律历、兵赋以及纤悉秒忽，莫不有数”。即天文历法、地理、军事、赋税和度、量等事物中都存在着数学关系。“万物皆数”不仅包含了宇宙的统一性，而且也奠定了数学自身的统一性基础。简而言之，从古到今，东、西方哲人所作的种种尝试和不懈努力都是想要建立一种统一的宇宙理论。

2 自然的奥秘与法则——宇宙的数学设计

虽然东、西方哲人都在探索和思考主宰天地万物的原则，而且建立了各具特色的学说，但现代科学的精神却与希腊哲人的气质更加契合。法国天文学家伏古勒尔说：人类的思想方法，骤然改变为理性的，因此被叫做“希腊人的奇迹”；文化的演进由追求实际，产生了“工作的人”，到追求理论更产生了“智慧的人”。这种根本改变，原因虽不得而知但结果却异常重要，因为它不但发展了天文学，而且整个西方文化都从这里产生。[5]总体而言，除古希腊文明及其继承者外，其他几个古老的文明中心都未能孕育出具有现代精神实质的数理科学。

古希腊哲人始终秉持宇宙是一个统一而简单的伟大设计这一信念。他们坚称人类是通过理性，而不是感官获得自然知识的。阿拉克萨哥拉的名言：“理性统治着世界”表达了这种观点的精髓。毕达哥拉斯学派相信万物之间的关系都可以归结为整数与整数之比，数是现实的基础，是严整性和次序的根据，万物的实质是仿效着数做出来的。世界由造物者按照数学法则设计这一思想，开启了人类用数学对天地万物进行统一性研究的大门。经柏拉图发扬光大，宇宙是一种几何结构的观念两千年间已成了欧洲天文学研究的指导原则。

对毕达哥拉斯学派而言，数学无疑具有最明显的哲学品质，数学被赋予了探索真理和证明真理的双重任务。亚里士多德在《形而上学》一书中总结了该学派对数与世界关系的认识时写道：

他们认为，在数目中观察到比火、土、水中更多的与存在着和生成着东西的相似之点。……此外，由于他们看到和声的比例和属性是在数目之中，所以就认为，其它的那些东西的全部本性也是由数目塑造出来的，他们认为在整个自然界中数目是最初的，数目的元素也就是所有存在物的元素。整个的天是和谐的，是数目。[6]

毕达哥拉斯认为数学结构是理解世界的基础，数揭示了事物的真正本质，物质的最终结构或存在就是它的数学形式。只要掌握了数之间的关系或比例，自然界就是合乎理性的。罗素说：“数学，在证明式的演绎推理意义上的数学，是从他开始的；……由于他的缘故，数学对于哲学的影响一直都是既深刻又不幸的。”[7]公元前3世纪后，希腊数学思想一度出现了从哲学数学向科学数学转化的趋势。丹皮尔写道：

哥白尼与刻卜勒虽然仍在数学的和谐中寻找最后因，并且在牛顿的时代以后很久，这个思路还是存在着，往往以为在每个现象可以用数学方式从量上加以表示以后，这个现象就算既得到了科学上的解释，也得到了哲学上的解释了。[8]

从哥白尼、牛顿到爱因斯坦，许多科学家都在不断追求事物之间简单、有序与和谐的关系，并努力以精确定量的方式来建立统一的理论。例如一旦形成了万有引力的概念，宇宙间就没有牛顿定理不起作用的地方。万有引力定理导致了后来一系列天文学上的新发现。爱因斯坦说：

从那些看来同直接可见的真理十分不同的各种复杂的现象中认识到它们的统一性，那是一种壮丽的感觉。[9]

万有引力理论的普遍性达到了宇宙的边缘，从苹果到月亮，从太阳到星系，凡有引力参与的一切复杂现象，无一不可归结到这条简洁而令人惊叹的定理之中。正如李约瑟所言：“主张一个木球和一个不知道由什么物质组成的星星之间的共同之处，要比一个球的不同性质之间的共同之处要多得多。这种假说必须是数学上的假说，这点极其重要。”[10]

3 天体的音乐——数量比例与宇宙和谐

算术、几何、音乐、天文学在古希腊被认为是超然于尘世的“自由艺术”，在毕达哥拉斯学校里，这四门学科被列为基本课程，统称为“四艺”。对此，弗赖登塔尔说：

mathematics 一词看来是一个复数名词……。的确，在很久以前它确实表示复数……数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。[12]

M·克莱因指出：“那些坚信数学仅仅具有使用价值的学者，经常自以为是地认为，历史上的数学活动靠实际需要的推动，不可能存在什么来自逻辑的推动（理论的推动）。……在大海中迷航的水手，绝不会突然意识到观察星星可以解决他的航海问题。”他说：

在天文学和数学用于计算历法和航海之前，……那时的人类受不可抑制的哲学精神的驱使，耐心地观察太阳、月亮和星星的运行。……终于从他们的观察中画出了天体运行的图像。[1]17

中国天文学家陈遵妫也认为：“至于航海的需要，对我国天文学的发展，似乎没起过什么促进作用。”[13]对于绝大多数纯粹的数学家而言，他们工作的最终目标在于揭示数学世界的奥秘，至于其结果是否有用以及如何应用，似乎并不是他们关心的主要问题。《何为科学真理》一书的作者写道：

希腊人称奥菲士怀着这样的感情弹奏竖琴，连野兽都会被他驯服。他们没有提到他是为了做一名训狮员才获得这一才能的。[14]

布罗诺夫斯基说：“威力只是认识的副产物。”同样，中国的庖丁其游刃有余的解牛技艺达到了“依乎天理”的高度，面对这种由“技”至“道”的境界，没有人会认为他只是一个屠户！

毕达哥拉斯将天文学和音乐“归结”为数，他认为算术是研究绝对的不连续量；音乐（实为乐理）研究相对的不连续量；几何研究静止的不连续量；天文研究运动的连续量。到了中世纪，算术、几何、音乐、天文加上文法、修辞和逻辑，便构成了欧洲教育史上著名的“七艺”。无独有偶，中国也有古代文人“四艺”（棋、琴、书、画），贵族“四术”（诗、书、礼、乐），儒家“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）等教学内容。

罗素认为：“数学里的‘调和中项’与‘调和级数’就仍然保持着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。”之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关系，是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根的两倍，就会产生谐音。普希金曾在一首诗中写道：

我用代数

检验了和谐

我们就相互理解了[15]

古希腊哲学家不仅“声言隐藏在自然界不断变化的万象之下的真实性是可用数学来表示的，而且认为这个世界上所发生的一切是由数学规律严格确定了的。”[16]莱布尼兹在1712年致霍尔巴赫的信中说：音乐是不知道自己在演算自己的思维的算术练习。詹姆斯写道：

对于柏拉图、西塞罗和经院哲学学者们来说，天体的音乐相当真实（即使我们知道没有人听到过它），但是，它仅包含音阶。我们知道，和谐的古典概念是连续的；和谐被人们理解为两个声调之间的抽象关系而不是耳朵所能听到的一个单一的一致。[17]134

无论是音调、音色还是和声，都可以利用数学对其进行测量和分析。音律的计算在中国同样受到高度的重视，而且历史更为悠久。据先秦古籍《世本》载：“黄帝使羲和占日,常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大挠作甲子，隶首作算术，容成综此六术而著《调历》”。可见，占卜、乐律、天文、计量、算学在中国古代同样也是被当作关系密切的学科群，但却统一于“历学”名下。《尚书·尧典》说：“协时月正日，同律度量衡”的记载。《吕氏春秋•大乐》亦云：“音乐之所由来者远矣。生于度量，本于太一。”[18]所谓“生于度量”即指律管的长度、容积等数量关系。《大戴礼记》载：

截十二管，以定八音之上下清浊，谓之律。律居阴而治阳，历居阳而治阴，律历叠相治也，其间不容发。

我国早在西周时期已掌握了十二律（阴阳各六）和七声音阶的知识。《月令章句》说：“古之为钟律者，以耳齐其声。后不能，则假数以正其度，度数正则亦正矣。”到了春秋时期则使用“三分损益法”确定律管长度与音调的关系。所谓“三分损”，即在制定“六律”的过程中，将律管的长度变为原先的2/3；“三分益”则是其将长度变为原来的4/3。《史记·律书》中对此有详细记载：九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为征。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。

据考古研究，中国乐律的起源至少可以追索至距今8000 多年前。河南舞阳贾湖遗址出土了25件距今8000 多年的骨笛（丹顶鹤尺骨），可分为五孔、六孔、七孔和八孔笛，其制作都是经过了精心的计算。在中国国家博物馆收藏的一只骨笛上还保留了当时开孔时的设计刻痕，可以明显看出设计修改的过程。[19]冯时指出：“实际测音的结果显示，所存律管已备八律，且音孔设计之计算方法显然已涉及到复杂的分数运算，足以证明其时算数之学已经达到了相当高的水平。”[20]正是乐律、历法、数学、天文的完美结合形成了中华文明极富特色的“律历合一”思想。

明朝学者朱载堉被公认为中国“律历合一”学说的集大成者。他在《算学新说·序》中写道：“所撰新说凡四种，一曰律学，二曰乐学，三曰算学，四曰韵学，前二者其书之本原，后二者其书之支派。所以羽翼其书也。”朱载堉首创十二平均律，取为公比，使得相邻两律间的频率完全相等，这一发现比欧洲早了半个世纪。今天对于音乐与数学是一对孪生姊妹的看法，不仅中国人感到匪夷所思，就连欧洲人也难以理解。杰米·詹姆斯写道：

音乐和科学之间相交叉的领域，在西方文明开始的地方开始，当时两者曾被如此深深地认同，以至任何认为在它们之间有什么本质区别的人都被看作是毫无知识的人，而到了今天，当有人提出它们之间有什么相同的地方的时候，就会冒被一些人贴上俗人而被另一些人贴上业余艺术爱好者标签的危险——并且，最该诅咒的是，两者都是大众化的人。[17]1

毕达哥拉斯学派坚信行星运动也受数学关系的支配。他们认为运动得快的物体，将比运动得慢的物体发出更高的音。行星离地球越远，则运动得越快，因此行星发出的声音与其到地球的距离有关。美国数学家和科学史家卡约里说：

毕达哥拉斯关于和声和音阶的思辨是不受对实验深入探索的约束的。7 颗行星是七弦琴的7 根弦，他给我们一种美丽的“天体和谐”。这种思想不是作为诗歌而是作为物理哲学提出来的。人们的耳朵不能听见这种行星间的音乐事实，似乎并未减少对它存在的信念。[21]

既然行星在宇宙空间运动时会发出和谐的“声音”，那么它们离地球的远近也必然符合相应的比例，这就是西方著名的“天体和声”的典故。

哥白尼建立日心说之后，开普勒坚信上帝是依照完美的数学原则创造世界的，他曾利用5 种正多面体之间的几何关系来表示当时所知六大行星的轨道半径。天空中刚好有5 颗行星，而几何学中也只有5 种正多面体，若将它们的内切与外接球结合起来，正好可以形成六个同心球相互嵌套的结构（太阳位于球心）。尽管开普勒的模型被天文观测证明是错误的，但他高超的数学才能和奇特的创意，却引起了天文观测家第谷的注意，并邀请他做助手。这正是后来开普勒得以发现行星运动“三大定律”的契机。

天体“和谐运动”的思想，两千多年间始终激励着无数西方学者的好奇心。直到18世纪后期德国学者提出的“提丢斯—波得定则”，依然引起了众多科学家的关注与争论。据说提丢斯在给学生讲授各大行星到太阳的平均距离时，同学们总是记不住，他便想出了如下办法，取数列：

0，3，6 ，12 ，24，48，96，192，…

将其中的每一项加上4，再除以10，便得到各个行星到太阳的平均距离（天文单位）：0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6……水星 金星 地球 火星？ 木星 土星？

1872年德国柏林天文台台长波德将它公开发表。因此称为“提丢斯—波得定则”。就在该法则公布不久，天文学家赫歇尔发现了天王星（距太阳19.2 个天文单位），皮亚齐发现了位于小行星带上的第一颗天体——谷神星（高斯利用自己发明的“最小二乘法”计算出其轨道半径距太阳约为2.77 个天文单位）。令人惊奇的是它们的位置都与提丢斯法则所预言的极为吻合，故而引发了学者们的极大兴趣。

4 物质实体与数学的关系——揭示自然秩序的锁钥

早期希腊自然哲学提供了科学思想的两大传统：一个是由泰勒斯开创的实体论构成纲领；另一个是由毕达哥拉斯开创的结构论的形式主义研究纲领。泰勒斯的名言是“万物源于水”，这个看似平凡的说法包含着科学思想的精髓。首先，它表现了对世界统一性的把握；其次，它指出了把握世界统一性的方式在于找出其“始基”。在这个纲领之下，古希腊人分别找出了水、火、气、土作为万物构成的基础。毕达哥拉斯学派认为正是数量上的差异和几何结构上的差异导致了事物本质的不同，因为始基永远是均匀同一的，即使找到了也无法解释自然界中复杂多样的事物；而数学形式本身即具有无穷多的样式，用它来描述万物的不同，则不存在本质的困难，更具说服力。正如塞路蒙·波克纳所言：

无论数学的出现多么神秘，数学确实是最先出现的理性知识，这是整个西方文明的一个有意义的特性。[22]

据普罗克拉斯说：“毕达哥拉斯学派把数学研究变成一种自由教育的形式，从头来检验它的原理。”他们独立地、系统化地在数学中运用推理证明的逻辑方法，证明了平面几何、立体几何、算术及数论中的基本定理，从而使数学理论从诸如大地测量、计算这样的实践活动中分离出来。数学定理的证明开辟了人类思维用抽象概念进行论辩和演绎的一个全新领域。古希腊数学家所要建立的是受到普遍论证支持，范围广泛、条理清晰的理论。譬如我们说数学中的某一陈述是真的（三角形内角和等于180 度），与日常生活中说某一具体事物是真的（泰勒斯是哲学家），这两者无论思维方式还是认识意义都是有所不同的。

留基伯和德谟克利特相信所有物质都由原子组成，原子作为构成物质实体的基本单元是不可分割的、极小的、数目无限的微粒，这些微粒有大小、形状和重量三种属性。原子论者赞同用形和数的关系对自然进行解释，他们同样宣称世界所发生的一切是由数学定律严格决定的。该学派关于宇宙本原及数学无限性问题的探讨，对后世也产生了较大的影响。亚里士多德认为：

甚至更早的时候，所谓毕达哥拉斯学派的人与留基伯和德谟克利特同时从事数学研究，并且第一个推进了这一个知识部门。他们把全部时间用在这种研究上，进而认为数学的始基就是一切存在物的始基。[23]

作为物质微粒的点与数学的点当然不同，但是“原子论纲领”的一个更重要方面是宏观层次的质变还原为原子层次的量变。因此，当原子论者企图解释“数学量”的变化时，就会以数学原子的形式,通过它的量变来加以回答。据说德谟克利特曾经利用原子论思想，将整体分割成微小的部分，再以这些微小的部分相加得到整体的研究方法，求出一些空间几何图形的体积。例如，他曾将圆锥看作是一系列不可分割的薄层叠加而成，从而发现其体积为同底等高圆柱体的三分之一。瓦托夫斯基指出：“沿着原子论方向的这些物理思辨被一种数学传统所补充，该传统以一种在结构上更为精致的方式来表述原子论。在这一出自毕达哥拉斯学说的传统中，这些元素并不被当作是可以理解或感觉的物质实体；而被认为是概念上的存在，思维的对象。”

弗朗西斯·培根说：“应当指出，对自然的探究如果始于物理学而终于数学，那就会有最好的结果。”[24]近代科学正是在追求自然界的数学规律中取得长足进步的，可以说，许多重大的成就都是由于发现了或运用了新的数学规律才取得的。M·克莱因写道：

希腊人对了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推动他们创造和看重数学。数学是对自然界进行研究的本身工作之一，是了解宇宙的钥匙，因为数学规律是宇宙布局的精髓。

正是数学概念和数学模型的“理想化”观点，促进了古希腊经典力学和天文学的发展，也为后来文艺复兴时期的科学和技术取得进步奠定了基础。其实，利用形式的不同解释事物本性差异的思维方式，在中国女娲造人的古老神话传说中，也有着生动的表现：

俗说天地开辟，未有人民，女娲抟黄土作人。剧务，力不暇供，乃引绳于泥中，举以为人。故富贵者，黄土人；贫贱者，引縆人也。

据这一传说故事所言，所有的人都是由质料相同的黄土组成，但其贫贱富贵的根源，正是由于他们所获得的“人形”这一关键之处存在差异。因为女娲娘娘对每个人的制作，在精细程度上有所不同，所谓“富贵之人”是她亲手用黄土捏成的；“贫贱者”则是用绳索在泥浆中弹射出来的。看来，女娲造人这一古老的神话传说所蕴含的观念，与西方“数学形式决定事物本质”的哲学思想还真有异曲同工之妙。

5 结语

数学作为人类文化的重要组成部分，始终在追求最简洁而又超出人类感官所及的宇宙本原。和谐与秩序是希腊哲人的根本性观念，在他们所创造的一切伟大成就之中，数学毫无疑问是奇迹中的奇迹；古希腊数学所强调的形式逻辑、演绎法、证明、公理化体系等，堪称那个时代地球上最辉煌灿烂的人类文明之花。

“物质实体”加“形式法则”的模式是现代科学思维的核心特征。理论预言的正确性，是由实验验证的，理论必须与测量值建立联系，才能反映客观世界的规律。任何一个物理概念，只有在能进行实际测量时，才是真实而丰富的，否则就是虚假而空洞的，这就是科学实验的精华；为了同测量结果相比较，就需要在统一性的观点下不断朝着对自然界进行数学分析的方向探索，并通过数学的语言与方法来理解和表达自然规律。文德尔班说：

按照“本原”这个术语应用于各种不同的“物质”、元素之类的东西而言，数目不能叫做万物的本源，他们也没有忽视这样的事实：万物不是产生于数目，而是按照数目构成的。当他们说，万物是数的模写或摹拟，这也许就是他们表现他们的思想的最好、最积极意义的说法了。按照这个概念，数学形式的世界被看作是更高、更根本的现实。[3]69

说数即万物当然是荒谬的，但若说事物所遵循的规律是符合数学关系的，则相当正确。爱因斯坦认为西方科学的发展是以欧几里得几何中的逻辑，以及文艺复兴之后才兴起的系统实验为基础的。这种深邃的洞察力，令人叹为观止！他评价牛顿万有引力定律是“用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，并且能同经验相符合。”数学作为一门横断科学，既是精确表述世间万物的语言，也是探索宇宙奥秘的锁钥。