错误资源巧开发误中悟道明真知

朱贤良 唐录义 金超

摘要：“误中悟”教育理念传承中国传统文化中“博学”“审问”“审思”“明辨”“笃行”的精神，借鉴现当代西方主流教育理论，结合当前我国新课程改革的实际情况，倡导合理开发、利用“错误”这一宝贵资源，引导学生以一种积极、主动的姿态去正视错误、辨析错误、改正错误，通过辨析正误的恩维过程去探明错误的根源，最终达到对知识与方法的透彻领悟、培育数学核心素养。

关键词：错误资源;误中悟;纠错教学;核心素养

在数学学习活动中，“错误”总是遭人讨厌，却又似乎挥之不去、如影随形，伴随着学生学习的全过程，这是让每个学生和教师都深感苦恼的一件事，如何减少学生“错误”发生的次数、甚至是从根本上消灭“错误”，相信这是师生双方共同的梦想，国家“万人计划”教学名师、安徽省特级教师工作室首席负责人、正高级教师唐录义带领我们这一教研团队一直致力于“误中悟”教育理念的研究，力求通过改善教师的教学方式与学生学习模式来提高教与学的效率。

英国心理学家贝恩布里奇（R，Bainbridge）告诫我们：“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的，”我们团队一直坚持认为，只要我们能正确地对待错误，利用好这一宝贵的资源，在错误中反思、感悟，就一定可以悟出真相、悟出规律、悟出本质、悟出智慧，因此，在数学教学活动中，要让学生勇敢去尝试、去碰壁和跌跤，充分地暴露问题，然后引导学生顺着错误认真辨析，反复思考，让知识与方法在纠错的过程中不断清晰起来，让自身的批判思维与思辨水平逐渐提升，让数学的思维方式与核心素养稳步发展，这也是我们团队所倡导的“误中悟”的真谛。

1正确认识“错误”的价值

我们在学习与生活中力图不犯或者少犯错误，这是因为“错误”的结果与我们所探寻的目标不相一致，甚至于与最初的设想背道而驰，由此，我们往往害怕“错误”、回避“错误”，进而错过认识“错误”自身价值的良机，作为教师，倘若因学生在认识或理解上的错误去苛责和惩罚他（她），很有可能会使学生失去尝试解决问题的勇气和反思错误根源的动力，进而在前行的道路上畏首畏尾、患得患失，我们所倡导的“误中悟”教育理念首先要解决的就是如何看待与评估“错误”的价值问题。

1.1敢于尝试错误代表了一种科学的探究精神

英国当代哲學家卡尔·波普尔（Karl RaimundPopper，1902～1994）在其著作《猜想与反驳——科学知识的增长》的中文版自序中曾谈到中国人特别害怕犯错的现象，他表示非常不理解，在波普尔看来，所谓科学知识的增长过程本身就是一个不断证伪的过程，也就是试错法，如果要真正追求知识，探寻真理，那么，犯错是必要的阶段，没有谁的认识能绕过错误，换而言之，学生在掌握新的定义定理公式、领悟知识内涵的过程中，“错误”是必经的关卡，而教师引导学生放开手脚、不受外在约束的大胆尝试与创新就成为培育学生理性思维与探究精神的重要手段。

鉴于此，我们理应将学生在学习过程中敢于尝试错误的行为看待成是一种科学的探究精神，这种敢于试错的行为习惯有利于分辨知识的表象与本质，促进学生对数学思想方法的深入理解，从这个意义上说，“错误”让知识以一种更自然的方式生成，也正是在出错和修正错误的探究过程中，课堂才是最鲜活的，教学才是最美丽动人的，因而，在开展具体教学活动时，教师需要做的是鼓励学生去尝试与努力，尊重他们探究的过程与结果，并帮助学生反思合理与不当之处、理清事实真相，扪心自问，在日常的课堂教学中，我们是否对学生所展现出来的主动探究的精神缺乏一颗敬畏之心呢？

1.2擅长总结错误是掌握知识与方法的必备技能

犯错不可怕，它不意味着失败，这只是认知过程中的一次暂时性的挫折，俗语“吃一堑，长一智”与贝恩布里奇的名言“没有大量错误作为台阶就不能攀登上正确结果的宝座”都言明“错误”对于“成功”的巨大价值，正如同孩子是在多次的跌倒中慢慢学会走路，学生也是通过犯错后的不断总结与反思来生成新的知识、掌握新的本领，因此，擅长总结错误，从错误中分析出合理与不合理的成分，是对知识与方法形成正确认知的一项必备技能。

我们追求高效的学习模式，就是要遵循“知其然，知其所以然”的学习准则，具体到反思错误、总结教训的环节中，我们必须要做到“知其错，知其所以错”，一般来说，总结错误可从四个方面着手：是否因对基础知识掌握不牢靠、对数学思想方法未领会、基本数学活动经验不足，或者数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析、数学语言与符号表达等能力存在不足，导致“四基”性失误;是否因解题方向上的偏差、方法策略上的笨拙，以致思路受阻、解题过程繁杂，导致策略性失误;是否因观察不仔细造成审题肤浅、思维惯性造成思维定势与僵化、过分焦虑造成思维抑制、意志品质不过硬而知难而退，导致心理性失误;是否因思维不严谨造成推理不严密、充要关系混乱造成转化不等价、数学概念混淆造成偷换命题，导致逻辑性失误，由此四个方面将错误进行归因，是最富有成效的学习良机，这也正是我们“误中悟”教育理念的重要层面。

1.3学生学习中的错误是具有开发价值的教学资源

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在关于课程目标的表述中指出：“通过高中数学课程的学习……树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神……”这就要求我们通过数学教学，引导学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理的精神，以此来指导我们的教学实践，关键是要解决如何具体地对待“错误”、发现“错误”、纠正“错误”，如何将“错误”当作一笔宝贵的资源，努力开发并利用这笔资源，以充分发挥“错误”的多方面的教学功能。

从教师“教”的角度来看，学生的“错误”往往反映了其认知过程中的盲区与疑难所在，这给我们准确掌握学情、合理确定教学重心提供了参考，从而强化教学活动的针对性与有效性，从学生“学”的角度来看，数学概念与技能的掌握，既需要树立正面的“形象”，还需要“错误”这面镜子，以“错误”为鉴，可纠正偏离的认知，正、反“形象”的比照，对学生的思维可产生强烈的刺激，以促进对正确理念的深刻理解、领悟与牢固记忆，增强对“错误”的免疫力，并丰富他们的数学经验，我们教研团队倡导“误中误”的教育理念，就是要充分利用好“错误”这一资源，分析其中对教与学有积极影响的因素，让“错误”成为改善教与学方式的强大推动力。

2“误中悟”教育理念的理论渊源与时代背景

在教育界，关注纠错、善待错误的研究由来以久，对学生错解或是相关错误案例分析的文章在报刊中占有相当重的比例，多年来，我们的教研团队积极开展“误中悟”教育理念的解读与研究，坚持从中国传统文化中汲取营养，并借鉴国内外的理论研究成果，丰富我们的认识，指导我们的实践，我们认为，“误中悟”教育理念是对中国传统文化的传承与发展，并且从现当代西方主流的教育理论中汲取营养，同时又与我国教育改革的趋势相适应，具有鲜明的时代印记。

2.1“误中悟”教育理念与中国传统文化

中国传统文化中强调正视过错，重视对个人言行得失的反思，孟子日：“子路，人告之以有过则喜，”（见《孟子·公孙丑上》）子路不因别人指出自己的过错而无地自容或是恼羞成怒，反而高兴地面对，这也是非常人所能做到的，于是有“闻过则喜”的美谈流传后世，曾子曰：“吾日三省吾身：为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？”（见《论语·学而》）曾参勤奋好学，深得孔子的喜爱，同学问他为什么进步那么快，曾参将原因归之为“吾日三省”，这种对自己勇于反省、勤于反省的精神和做法影响深远，宋代儒学大师朱熹在《论语集注》中指出：“曾子以此三者日省其身，有则改之，无则加勉，其自治诚切如此，可谓得为学之本矣，”朱熹强调反省自身有无过错，“有则改之，无则加勉”，这是治学修身的精髓与关键。

对于改正错误的态度，中国传统文化的要求是十分坚决的，所谓“改过不吝”（见《尚书-仲虺之诰》），就是指改正错误态度坚决、不犹豫;“不贰过”（见《史记·仲尼弟子列传》），就是要求自己不重复犯同样的错误”，中国传统文化认为，敢于承认自己的过失和错误，并进行改正，这是一种勇气和美德，也是不断地完善自我、取得进步的阶梯：“人谁无过？过而能改，善莫大焉，”（见《左传·宣公二年》）“君子之过也，如日月之食焉：过也，人皆见之;更也，人皆仰之，”（见《论语·子张》）有了过错并不可怕，可怕的是顽固地坚持错误，不肯加以改正：“过而不改，是谓过矣，”（见《论语·卫灵公》）“过而不悛，亡之本也，”（见《左传·襄公七年》）改过不嫌晚，只要有了改正错误的决心与行动，就不要觉得太迟了：“亡羊而补牢，未为迟也，”（见《战国策·楚策》）。

关于古代求学治学，无论是个人治学还是学生的学习，都非常重视良好学习方法的掌握与习惯的养成，强调思考与辨析，子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆，”（见《论语·为政》）、“学而时习之，不亦说乎？”（见《论语·学而》）孔子意思是说，学习时要学思并重，并且要经常复习，《礼记·中庸》这样说：“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之，有弗学，学之，弗能弗措也;有弗问，问之，弗知弗措也;有弗思，思之，弗得弗措也;有弗辨，辨之，弗明弗措也;有弗行，行之，弗笃弗措也，”朱熹据此在《白鹿洞书院揭示》中指出学有五序，分别为“博学”“审问”“审思”“明辨”与“笃行”，明末清初著名的教育家、思想启蒙家黄宗羲在我国教育与人才培养史上首次明确提出独创与创新，并提出了达到创新的四条途径，即由博致精（多读书，有渊博的学识，这是提出独立见解的前提）、重视“异同之论”、深思与能疑、讨论与辩难，清代国子监规定，学生在听讲后需要自学和质疑问难，对于不懂的知识要向老师求教，在数千年的历史发展过程中，我国传统教育把思考与辨析作为求学治学的重要手段，形成了独具特色的教育内容、办学体制和人才选拔方式。

中国传统文化中有关改正错误与治学方法的论述，对我们今天的教学活动也极具意义，“误中悟”教育理念秉承传统文化中“博学”“审问”“审思”“明辨”“笃行”的精神，强调以一種积极、主动的姿态去正视错误、辨析错误、改正错误，通过辨析正误的思维过程去探明错误的根源，并最终达到对知识与方法的透彻领悟。

2.2“误中悟”教育理念与桑代克的联结一试误说

桑代克（E，L，Thorndike，1874～1949）是美国著名心理学家，联结主义学习理论的创始人，他把动物和人类的学习过程定义为刺激与反应之间的联结，认为知识与技能的获得必须通过尝试——错误——再尝试这样的一个过程，桑代克的这一理论观点是建立在其动物学习实验的基础之上：将一只饥饿的猫放在装有特殊开关的笼中，猫经过不断地尝试后触到了开关，逃离出笼，然后他提出了著名的联结——试误学说，主要观点是：学习是一种盲目、渐进地尝试与改正错误的过程，随着练习，错误的反应逐渐减少，正确的反应得以产生，于是在刺激与反应之间形成了一种稳固的联结。

作为教育心理学发展史上第一个较为系统的理论，桑代克的联结——试误学说在美国的影响延续整整半个世纪，他的理论以实验研究为基础，阐述了学习和学习过程及其规律，引起了有关学习理论的一系列争论与研究，对教育心理学的发展具有巨大推动作用，这一理论并不完善，存在不科学、不合理的因素，如把所有的学习过程都归结为尝试错误的过程，忽视了人类学习中认知与理解的作用;把人类和动物的学习简单地等同起来，抹杀了人类学习与动物学习的区别，但其所强调的尝试错误现象就是一种客观存在的事实，是人类学习的一种方式或途径，这对我们贯彻“误中悟”教育理念、形成可操作性的教学环节具有借鉴的价值。

“误中悟”教育理念以“误”为教学活动的出发点，倡导学生主动分析错误，培养学生自觉纠错的能力，借鉴桑代克的学习理论，在实施课堂教学时，教师要善于创设“误”的情境，让学生大胆尝试，并在“误中悟”的经历中建立问题与知识方法之间的稳固联结。

2.3“误中悟”教育理念与建构主义学习理论

建构主义学习理论源自教育学，是为改进教学而提出的理论，被誉为当代教育心理学中的一场革命，其主要目的在于了解发展过程中的各式活动如何引发儿童的自主学习，以及在学习的过程中，教师应当如何适当地扮演支持者的角色，建构主义学习理论作为一种理论思潮，观点众多，本身没有形成统一的理论流派，尽管不同倾向的建构主义的观点五花八门、内容丰富，但其核心思想可以概括为一句话：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构（而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上），以学生为中心，强调的是“学”;以教师为中心，强调的是“教”，建构主义学习理论认为，学生对知识的“接受”只能靠他自己的建构来完成，以他们自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性;学生的学习不仅是对新知识的理解，而且是对新知识的分析、检验和批判，所以，教学不能无视学生的经验，从外部装进新知识，而是要把学生的现有知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，教师不仅是知识的呈现者，更应该重视学生自己对各种现象的理解，倾听他们的看法，洞察这些想法的由来，以此为根据，引导学生丰富或调整自己的理解，同时，教学需要增进学生之间的合作，相互交流与质疑，使他们看到那些与自己不同的观点，彼此作出些调整，从而促进学习的进行。

在建构主义学习理论指导下，“误中悟”教育理念重视把学习的知识置于多种具有一定复杂性的问题情境中，分别着眼于不同的侧面，使学生对知识形成多角度、多层次的理解，在开展具体教学活动时，从展示错例出发，引导学生暴露自己的思维过程，通过列举反例、变式等手段组织学生进行辩论、交流，让学生深深地进入教学情境，表现出较高的批判性，并对知识的对与错表现出高度的敏感，进而矫正并丰富学生的认知，建构准确、合理的知识体系。

2.4“误中悟”教育理念的时代背景

1999年，《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》颁布，把推进素质教育确立为党的教育方针，明确提出要建立基础教育课程新体系，2001年，教育部颁发了《基础教育课程改革纲要（试行）》等一系列政策文件，我国新一轮基础教育课程改革正式启动，2003年，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“实验版课标”）出炉，采用先实验后推广的原则，于2004年在宁夏、广东、海南、江苏四省作为实验区进入实施，并陆续在全国范围内进行推广，“实验版课标”在“课程的基本理念”中提出“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”，“实验版课标”还在“教学建议”中建议“教学中应引导学生……养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理精神”。

2014年，为落实党的十八大关于立德树人根本任务的部署，教育部发布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，明确将“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”“修订课程方案和课程标准”等作为本次深化课程改革着力推进的关键领域和主要环节，在总结21世纪以来我国普通高中课程改革的宝贵经验、充分借鉴国际课程改革的优秀成果的基础上，教育部于2013年启动了普通高中课程修订工作，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“2017版课标”）于2018年元月正式印发，“2017版课标”在“课程目标”中指出：“在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据处理等数学学科核心素养”“通过高中数学课程的学习，学生能……养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神”，对于具体的学法指导，“2017版课标”在“教学建议”中强调：“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于学生学习的多样化教学方式，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等”“教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质……”。

在认真学习、领会我国课程改革精神的基础上，“误中悟”教育理念倡导在具体问题中通过大胆质疑、合作交流、讨论辨析等多样化的途径来改善传统课堂教学模式，培育数学核心素养，课堂教学中，教师只是课堂活动的引领者、协助者，学生则成為探究交流的主角和创新思维的突破者，同时，将“误中悟”的教育理念延伸至课后自主学习，引导学生在自纠、交流、反思与实践中把握知识本质，领悟思想方法的内涵。

3“误中悟”教育理念的应用前景

“误中悟”教育理念根植于数学教与学的实践，致力于提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，为培育学生的数学核心素养服务，基于团队的教学实践与反思总结，可以认为“误中悟”教育理念在改善课堂教学模式、培养良好学习习惯、丰富试题考查形式等方面有着广阔的应用前景。

3.1突出“误中悟道”理念，改善课堂教学模式

“误中悟”教育理念中突出两个关键词：“误”与“悟”，“误”是教师为开展课堂教学而精心设置的情境，是课堂教学的良好契机与切人点，重点关注学生学习过程中的易错点与盲点;“悟”强调对错误的总结与反思，进而把握概念或问题的本质，形成思想与方法，是课堂教学效果的集中体现，在开展课堂教学时，教师要充分利用现有的资源，合理、有效地创设“误”的教学情境，引导学生进行思考与辨析、合作与交流，形成思维的碰撞与统一，实现“误中悟道”的初心。

在开展“误中悟”教育理念的实践活动时，我们团队将“误中悟”课堂教学设置成六个环节：问题情境、质疑审问、慎思参悟、明辨顿悟、悟中演练、反思悟道，其中，“问题情境”环节要求教师在日常教学工作中注意搜集、整理具有典型性、代表性的错误资源，为学生提供具有思考价值的教学情境;“质疑审问”环节由学生自主对问题情境进行分析，生成疑惑不解，引发认知冲突，诱发求知欲望，从而培养学生发现问题、提出问题的能力;“慎思参悟”环节鼓励学生大胆尝试，区分事实与假设，辨别信息的真伪，识别系统中变量之间的关系，借助事实和合理的推理形式进行有效认证，积极寻求问题的解决方法，从而培养学生分析问题的能力;“明辨顿悟”环节是在交流、讨论、争辩的过程中，对问题情境中的各种关系产生顿悟和理解，获得新的发现，培养学生解决问题的能力;“悟中演练”环节在学生参悟、顿悟的基础上，提供类似但有变化的问题情境由学生进行练习，进一步巩固学生的认知，提升“四能”（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力）;“反思悟道”环节不是对学习的一般性回顾或重复，而是深究学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，是对思考过程的进一步精细化、精致化，并提炼成规律和结论，用数学的语言表达出来，从而悟出方法、悟出思想、悟出智慧、悟出核心素养。

倡导“误中悟”教育理念，改善课堂教学模式，就是要引导学生在“误”的基础上展开“悟”的思维活动，要充分借助小组合作交流、争辩的手段，体现学生的主动性、主体性，让课堂成为学生思维跳跃、碰撞的舞台，让知识与方法以“风吹草低见牛羊”的姿态呈现在学生的头脑之中。

3.2培养良好学习习惯，发展数学核心素养

在教学活动中，我们常用“授人以鱼，不如授之以渔”来告诫自己，与其直接呈现给学生一个冰冷生硬的知识，不如引导学生展开火热的思维活动，让学生学会思考、掌握方法，现在又有人说：“授人以渔，不如授之以欲，”与其教会学生解决问题的方法，不如培养其热爱学习的兴趣、坚定其坚持学习的信念，这与孔子的教育理念一脉相承：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者，”（见《论语·雍也》）我们开展教育教学活动，既要让学生领悟思想方法，形成分析、解决问题的能力，更要让学生养成动手实践、善于思考的学习习惯，让能力升华成一种习惯、一种爱好、一种素养，从而在问题的解决过程中自觉地加以应用。

2016年9月18日发布的中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与3个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等6大素养，具体细化为18个基本要点，其中，乐学善学、勤于反思、理性思維、批判质疑、勇于探究等基本要点与“误中悟”教育理念高度契合，“2017版课标”建议教师“帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，理清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联”，“误中悟”教育理念重视引导学生大胆质疑、严谨求证，深层次挖掘错误背后的秘密，无疑有助于培养学生良好的学习习惯，发展核心素养，这就要求教师在日常备课、学习过程中要注意整理归类错误的试题、错误的解题与错误的认知，将其转化为珍贵的教学资源，既有助于加深学生对相关知识点的认识，更有益于发展学生的批判性思维，培养其科学的理性精神，把数学学科核心素养的发展落到实处。

3.3拓展试题命制角度，丰富试题考查形式

课程是教学活动的出发点，考试是检验教学效果的必要手段，如何让考试能真正有效检测出学生对知识、思想与方法的掌握情况，各级各类考试的命题工作就显得非常重要了，“2017版课标”对学业水平考试与高考命题有这样的建议：“注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，要充分考虑对教学的积极引导作用……聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用……命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题……”“误中悟”教育理念提倡从辨析、纠错、举反例等角度进行试题的命制，丰富试题的考查形式，突出对数学学科核心素养的检测，并反过来指导教师的教与学生的学。

案例

同一知识点的不同考查形式

教师研究试题，既要花些力气探究试题的背景与解法，更需要关注试题的命制角度，分析知识点考查形式的创新，同一个知识点的不同命题角度与考查形式，往往影响了试题考查的深度与有效性。

点评单调性是函数的重要性质，是中学数学的核心概念之一，判断函数单调性是一类常见的题型，可以选用定义法、图象法、导数法、复合函数法等进行求解，题3属于此类问题，事实上，在学习单调性的过程中，学生对定义中的“任意两个自变量的值x1.x2”理解有困难，教师往往通过列举反例等途径突破这一难点与易错点，题4灵活地抓住关键点进行命制，以开放题的形式呈现出来，需要学生对单调性的定义进行辨析，思维量更大，有利于考查学生对单调性概念本质的理解。

有趣的是，在语文与英语学科的高考试题中都有“短文改错”这一题型，要求学生将隐藏在短文中的五处或十处错误指出来并改正，从而有效地考查学生综合运用语言的能力，数学学科完全可以从其他学科的命题中去寻找智慧，启发数学学科的命题思路。

当然，创新试题的考查形式是一项系统性的工程，要兼顾知识考查的有效性与实际的可操作性，“误中悟”教育理念坚持从“误”出发，在易混淆、易错漏的关键处设置纠错、辨析、探究等题型，适当地增加思维量，全面考查学生对相关知识与思想方法的领悟程度，我们的教研团队将继续开展这项研究，力求从新的视角切人，将“误中悟”这一元素融入试题的命制，实现命题形式的创新、知识考查有效性及可操作性的兼容与统一。

4“误中悟”教育资源的开发

在“误中悟”教育理念的指引下，可以从整理汇编数学错题集、打造高效“误中悟”教学、开发创新“误中悟”训练等三个方面着手，积极开发“误中悟”教育资源，努力探索并实现“错误”资源的高效应用途径。

4.1整理汇编数学错题集

学生在学习中易犯的错误是宝贵的教育资源，是教师开展教学活动的基本依据，是提升学生学习能力与数学素养的出发点，我们教研团队进行了详细调查研究，发现不少学生对错题集的认识与整理存在误区：有些学生没有养成整理错题集的习惯，学习过程中不断重复犯错;有些学生的错题集虽然整理得全面，但是不会充分利用错题集来进行学习反思，没有发挥错题集的强大功能，鉴于此，为了引导学生用好“错误”资源，并起到良好的示范作用，我们教研团队在教学实践的基础上收集、整理了大量的易错知识点与错解，经过再三思考与讨论，付印成册，供教师与学生研究与参考，目前，已出版的包括《高中数学误中悟》《初中数学误中悟》（七年级、八年级、九年级）共四册。

在整理汇编数学错题时，我们将学生自主误中悟的过程设计为六步：考点涉及（分析题中所涉及的考点与知识内容，为学生的“悟”提供方向）、错解呈现（呈现典型错解的完整过程）、寻错索因（学生分析错解，自主排查错点，并对“四基”性失误、策略性失误、心理性失误、逻辑性失误四个方面进行归因）、正解参考（学生将自己的解答与参考答案进行比较）、反思悟道（纠错过程所获得的启迪）、悟中演练（类似题与变式题的练习、巩固），需要注意的是，引导学生做数学错题集时，要把重点放在对错题价值的挖掘上，对错误的“障碍点”进行重点“敲打”，努力使崎岖曲折的道路变得平直顺畅，并进行精细的反思总结：一是总结发现知识和技能中的“盲点”或“误区”，及时克服和弥补;二是回顾反思难点突破的过程，将有关的技能、技巧通过“上纲上线”，进一步与基本数学思想挂钩，并将它们组建成知识网络;三是对错题由此及彼，举一反三，广泛联想，求新应变，使学生收到“解一题，会一类，熟一片”之功效。

4.2打造高效“误中悟”教学

由于数学具有高度的抽象性，这就使得学生在理解时常常是勉强知其然，很难知其所以然，只能依葫芦画瓢，谈不上深刻理解和灵活运用，学生在学习中还经常出现一些易犯的错误，尽管教师多次讲解、反复强调，总有些学生“冥顽不灵”、一错再错，针对这些情况，在处理这样的教学难点和学生的易错点时，教师可以利用错误资源作为突破口，凭借教学经验和学生的实际情况，预测学生学习时可能出现的某些错误，教学设计时有选择地设计合适的、“错误”的教学情境，包括教师自己在解题过程中的曲折的心理歷程，这样不仅能防患于未然，更能有效激发学生内心的认知冲突，提高其思维积极性，有效地突破教学难点。

打造高效的“误中悟”教学，除了教师提前预设的“错误”情境外，还需要灵活地抓住学生在课堂中临时出现的错误开展“误中悟”，教师面对学生暴露出来的错误，教师不要着急解释、评判，而要把“错误”抛给学生，将错就错，把学生的“错误”作为新的教学情境，给学生一些研究、争论的时间和空间，从而让学生在争论中分析、辩驳，在争论中求知、明理，在争论中完成知识与思想方法的内化，在争论中达成学习习惯的养成与数学素养的发展。

目前，我们的教研团队已打造“误中悟”教学课例二十余节，其中部分课例研究成果已刊发于中学数学期刊，同时，我们重视在教研活动中开设现场教学实践，获取反馈建议2018年12月29日，在中学数学安徽省特级教师工作室（池州、铜陵）区域联合教研活动中，我们团队中的詹娟老师开设了《平面向量的数量积》展示课，将“误中悟”教育理念渗透其中，2019年6月20日，在铜陵市中学数学“误中悟方式课堂展示暨论文写作经验分享”主题教研活动中，由全国优质课一等奖获得者陈良骥老师执教的《探索函数y=x+k/x的图象与性质》展示课，积极推进“误中悟”教育理念在新教材中的教学实践在未来的一两年内，我们团队将开发更多、更优质的“误中悟”教学课例展现给大家，

4.3开发创新“误中悟”训练

传统的问题以“已知+结论”的形式呈现，要求学生由所掌握的知识出发，经过分析、推理的过程，得出需要求解的“结论”，这样的解题训练，能强化学生对相关概念、公式的熟练程度，能满足一定程度上的“涨分”需求，但长期进行传统的习题练习，既不利于对知识本质的透彻理解，“涨分”也会遇到瓶颈期，更为严重的是不利于培养学生的质疑、批判精神，不利于学生学习研究能力和数学素养的发展，“误中悟”教育理念下的习题训练，针对学生由于对数学概念、法则、定理、公式等理解不够深刻，导致在判断、推理及解题上出现失误的现象，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目或错解，在易错的节骨眼上布设“陷阱”，诱使学生陷入歧途，制造思维冲突，从而激发灵感，产生真知，一方面可充分暴露学生思维的薄弱环节，有利于对症下药;另一方面能使学生痛切地、突破性地认识到错误所在，有利于自诊自治，提高对错误的免疫力，

实际上，我们在编著《高中数学误中悟》一书时，就已启动开发创新“误中悟”训练题的研究，目前我国的数学教育对此项研究较少，可以直接借鉴的经验不多，我们的教研团队也只是在探索之中不断思考、讨论，寻求突破，力争在未来的两三年的时间内将研究成果奉献给大家。

“误中悟”教育理念的开发与落实必然是一段艰难而曲折的旅程，但我们相信“误中悟”所指向的一定是我们心中那片美丽的教育桃花源，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，”“误中悟”教研团队愿与所有寄情于中国数学教育的同行一起，携手开拓奋进。