例析2019年北京高考数学试题的几个亮点及启示

尹嵘

摘要：2019年北京高考数学试题突出了对概念本源的考查、对过程性学习的评价、对开放性试题的设计探索，始终坚持“数学知识在生活中的应用”的“国民数学素养”的考查，本文例析上述的几个亮点，并提出思考和建议，

关键词：概念本源;过程性评价;开放性;数学应用

2019年的高考已经落下帷幕，但对于高考试题的研究却如火如荼，作为在高考命题中独树一帜的北京卷，在此次试题的命制中，不少方面都体现了新课程改革深入进行的探索，体现了数学教育在立德树人方面的考查，命题进一步加强了对数学学科核心素养的考查，体现了以能力立意、创新导航的数学高考新形态，作为长期在高三一线的数学教师，笔者对试题进行了研究，摘选了2019年北京卷所呈现的几个亮点进行了评析，供同行商榷。

1突出了对概念的本质和多元表征的考查

《2019年北京卷考试说明》明确指出：“数学学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，”试题考查了学生对基本概念的本源的理解，及对概念进行多元表征的能力，使学生真正掌握概念，夯实基础，学生对基础知识的理解，基本能力的发展，基本态度和价值观的养成，共同构成了学生终身发展的基础。

例1（2019年北京卷文科第6题）设函数f（x）=COSx+bsinx（b为常数），则“b=o”是“f（x）为偶函数”的（ ）。

A，充分而不必要条件

B，必要而不充分条件

c，充分必要条件

D，既不充分也不必要条件

评析函数的奇偶性是函数的基本性质，是完整理解函数概念的必备条件，对于考生来说，对于函数的研究，应该具备对同一概念的多元表征能力，而此题，学生可以从以下几个方面来解决：

（3）从图象入手，偶函数的图象关于y轴对称，可以通过），=COSX，y=bsinx的图象的叠加来分析，

此题满足了不同程度的考生对函数的奇偶性概念的理解的考查，而一题多解则可以加深对概念本源的理解，

例2（2019年北京卷文科第17题）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一，为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;

（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。

评析一直以来，概率与统计承担着对数据分析核心素养的考查功能，2013年起，北京卷的概率与统计的第（3）问，比较注重对一些概念本源的考查，这是一个特别好的考查点，如：对平均数和方差的概念本源的考查，深受师生欢迎，而本题第（3）问是对随机事件概率的概念的考查，考查考生对概念的理解是否到位。

（1）“概率”的大小，是“可能性”的大小，作为随机事件的概率，我们一般把发生概率小于5%的事件，称为“小概率事件”，而通常认为在一次试验中，小概率事件是不应该发生的，所以如果从这个角度人手，则由题意，我们认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化;但是，从另一个角度来看，可能性小的事件，不代表一定不发生，也有可能发生，这也是概率的意义，所以回答没有变化也是可以的，这关系到从概念本质和统计意义的不同角度来分析，学生关键在于深刻理解了随机性的本质，理解了概率的概念，就可以从容地回答好这道题;

（2）概率统计贴近生活实际，学生真正理解了概率中的相关概念，才能对生活中的随机现象，做出合理的科学的解释，比如：“降水概率”“抽奖获奖的概率”等问题的解释，这有利于“学以致用”，有利于弘扬正能量和社会主义核心价值观。

2注重过程学习。重视过程评价

《普通高中数学课程标准》（2017版）明确指出：数学教育教学要“重视过程评价，聚焦素养，提高质量”，在北京卷的命题中，不少试题“不仅注重结果，更注重过程，注重考生在数学学习过程中，相关的学科核心素养的形成过程的考查，以能力立意，注重学生的终身发展，既要掌握“鱼”，更要掌握“渔”。

例3（2019年北京卷理科第8题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线c：x²+y²=1+xy就是其中之一（如图1），给出下列三个结论：

①曲線c恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;

②曲线c上任意一点到原点的距离都不超过2;

③曲线c所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（ ）。

A，① B，② C，①② D，①②③

评析我们在教学中，常常说：要注重过程性学习，但是，怎样在高考中体现过程学习的考查呢？应该说，这道题是一道很好地体现了过程性学习能力考查的试题，题目是考查学生对一个未知曲线（多数学生可能听说过心形曲线，但并不熟悉）的性质的研究。

学生在高中学习过曲线与方程，对于用坐标法研究曲线的性质并不陌生，并且初步掌握了研究的一股方法与步骤，并在此基础上进一步研究了圆、椭圆、双曲线和抛物线等常见的圆锥曲线的方程、图象和性质，那么，有了这些实践的经验，考生是否能真正掌握一般的方法，去独立研究（探索）一个新的曲线的图象和性质呢？这就考查了学生是否真的掌握了研究的过程与方法。

在解题过程中，学生还可以利用图形的对称性（从曲线方程可以得知）来简化研究：只需研究y轴右方即可，另外，此题展示出的优美的心形曲线，蕴含了数学史和数学美（包括笛卡尔的爱情故事）的渗透，这也是数学的文化价值和美育价值的体现。

3小中见大的开放性试题

2017年的北京高考试题，首次出现了开放性试题，虽然仅仅是一道难度适中的填空题，却给了我们一种新的感受，也成为了北京卷的一个亮点，在2018年、2019年的高考试题中，北京卷延续了这种出题的风格，如：2018年理科卷的13题，文科卷的11题，再次呈现了开放性试题，在教育考试院的评价中，明确指出：“2018年试题强调开放性和创新性，选择非常规的情境和思维深刻的问题，让学生综合地运用所学的知识，多角度、多层次地思考问题，”作为开放性试题，符合新课改“促进学生全面而有个性的发展”的教育理念，承载了考查学生对基本概念的深刻理解，考查学生数学思维的深刻性和创新性等多种功能，那么，2019年的开放性试题是怎样呈现的呢？

例4（2019年北京卷文科第13题，理科第12题）已知l，m是平面a外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l⊥m;②m∥a;③zj_出以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__。

评析2017年、2018年的开放性试题，属于结论开放性和条件开放性，均为举例证伪的模式，因此大家容易形成一个固定的思维模式，不利于思维的广阔性的培养，这道题改变了这两年的开放型试题的考查模式，类型上属于综合开放型，此题的呈现方式在1999年的高考试题中呈现过，此题考查考生对线面位置关系的判定和性质的深刻理解，需要考生自己选择或构造一定的条件，并得出另一个明确的结论，答案的不唯一性，也兼顾了不同程度的考生的理解水平和动手能力，考查了考生的创新意识。

4从“关注一隅”到“览其全貌”

每当一个新的知识引入到高中数学学习时，我们的关注点更多的在于这个新的知识点本身，我们关心老师和学生是否都能够真正理解这个知识，并初步运用这个知识来解决问题，阶梯式拾级而上，在经过一段时间的教学实践，我们对知识的理解达到了一定的成熟度后，才能进一步关注应用，其中，“导数”章节知识的学习和考查，正是经历了这个过程，进入高考考查之初，“函数与导数”主要考查对导数本身的理解，如：求切线方程、讨论函数单调性等等，然后发展到利用导数工具来研究函数性质（其中还包括对研究的函数进行选择和构造的问题），但基本上一旦函数选定，导数能够贯穿始终，这些考查方式，符合知识的认知过程，也有利于导数工具的熟练掌握，但过度强化了单一的导数工具的作用，弱化了其他工具在函数性质研究中的作用，在2019年的高考中，“函数与导数”试题的命制，出现了可喜的变化，体现了对多种研究函数方法的考查，而不再是“一个导数，包打天下”，在函数的研究中，有利于全面掌握方法，构建知识网络，提升综合能力。

评析这道题的第（1）（2）问比较直白，一般的学生都能够上手，考查了导数的基本概念和基本方法;亮点在第（3）问，一是考查了学生的观察能力，注意第（3）问与第（2）问的联系来辅助解题，在处理绝对值时，可以通过以下几个角度人手：

（1）绝对值的定义（代数意义），对两个端点值的大小进行分类讨论;

（2）绝对值的几何意义，从图象翻折变换的角度进行处理。

如果考生能够把图象的翻折情况想清楚，那么处理起来也比较得心应手。

函数试题的重心归根结底是对函数性质的研究，包括：三要素、图象、相关的性质等等，此题的好处在于让考生意识到，导数并不是贯穿始终的唯一的工具，在需要导数的时候，我们用它;在需要用到别的工具的时候，我们用别的工具，而所有的工具，都是在为我们研究这个函数的相关性质来服务的，这就回到了导数学习的根本目的，利用导数工具来辅助研究函数性质，这也给我们发出了一个信息：即让考生和教师跳出较为狭隘的唯导数观点，回到较为全面的看待和研究函数的方法上来。

5“数学之眼看世界”，贴近生活实际

让学生学“有用”的数学，让他们感受到数学来源于生活和生产实际，也服务于生活与生产，服务于科学、社会、工程技术等诸多领域，正如数学核心素养中，对“数学建模”素养的培养：让考生学会对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学模型解决问题。

例6（2019年北京卷理科第14题，文科第14题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%，

（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付——元;

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为—一

评析这道数学应用题有几个优点：

（1）突出了对数学核心素养的考查，尤其是数学建模和逻辑推理的考查;

（2）突出了对考生的阅读理解能力的考查，文字通俗易懂，并不生涩，学生通过认真阅读，能够理解题意，不会产生对应用题阅读的先行恐惧感和厌倦感，所以此题虽然有一定的阅读量，但并没有在阅读难度上设坎，此处的度把握得很好;

（3）突出了对考生数学应用意识的考查，是“学以致用”的良好导向：问题贴近生活实际，考生基本上具备相关的生活经验，特别是第（1）问，只要理解了就能上手，属于基本的数学素养;第（2）问在数学建模上，有较高的思维价值，但只要抓住最低保障就能解决此题，所以突出了学以致用能力的考查，也引导学生注意观察生活，培养学以致用的“数学之眼看世界”的国民数学素养！

6结束语

总之，我们从以上几个亮点的分析，可以看到：2019年的北京高考试题，突出了能力立意，突出了对数学核心素养的考查，是一份大气的试卷，这份试卷所传递的新课改的信息，给我们的日常教学和高考复习以良好的导向作用，给我们以下的一些启发和思考，值得我们去认真研究和体会：

（1）对基本概念本源的考查，加强了在日常教学中对基本概念教学的重视度，增加了对于概念的引入方式、概念的形成过程和对概念的辨析、对于概念的多元表征的教学的研究;

（2）对于过程性教学，更注重学生的探究和体验，更重视对于方法的梳理和总结必须改变只重结果，不重过程的“掐头去尾烧中段”的教学模式，变死学为活学;

（3）开放性试题影响着学生的思维方式，对“一题多解，一题多变”有较好的促进作用，也促进了对一些概念、定理和方法的条件和结论的充要性的研究，促进了思维的严谨性和广阔性的培养;

（4）“考试贴近教学，数学贴近生活”，促进了对数学应用——数学建模的核心素养的培养，数学知识的生活体验不仅仅呈现在新概念的引入处，数学知识在生活中的应用还将拓展到更大的领域，在日常教学中，老师们应通过课堂教学、试题编制、相关讲座、兴趣小组、课题调研等多种方式，促进学生“学以致用”的思想的渗透和培养。