无零因子的EP-内射环①

(蚌埠学院理学院，安徽 蚌埠 233000)

0 引 言

2003年，文献[1]中提出了EP-内射模和EP-内射环的定义，并推广了文献[2]中的一些结果。设M是右R-模，称M是EP-内射的[1]，如果对任意0≠a∈R， 存在r∈R， 使得ra≠0， 且任意raR到M的右R-同态均可扩充为R到M的右R-同态。称R是右EP-内射环[1]，如果RR是EP-内射的，类似可定义左EP-内射模和左EP-内射环。2014年，文献[3]利用文献[2]中零化子的升链条件和文献[4]中正则环是半单环的充分必要条件，研究了EP-内射环的von Neumann正则性和半单性。文中研究无零因子的EP-内射模(环)与半本原环和除环的关系，推广了文献[5]的一个结论。文中出现的记号，如J(R)、Z(RR)等，以及一些基本概念均可参见文献[6-8]。

1 预备知识

定义1.1[1]设R是环，则下列条件等价：

(1)R是左EP-内射环；

(2) 对任意0≠a∈R，存在b∈R，使得ab≠0，且rl(ab)=abR；

(3) 对任意0≠a∈R，存在b∈R，使得ab≠0，且对Rab到R的任意左R-同态f，存在m∈R，满足f(rab)=rabm,r∈R。

定义1.1对左EP-内射环进行了等价刻画，对右EP-内射环当然也有类似的结果。

命题1.1设R是左EP-内射环，若对任意0≠a∈J(R)及任意ax≠0，有l(a)=l(ax)，则J(R)⊆Z(RR)。

证：若存在0≠a∈J(R)，但a∉Z(RR)，则l(a)不是本质左理想。 于是存在非零的左理想I，满足l(a)∩I=0。取0≠b∈I，可得ba≠0。由R是左EP-内射环可知，存在c∈R，使bac≠0，且rl(bac)=bacR。 若x∈l(bac)，则xbac=0。 由题设条件可得，xb∈l(ac)=l(a)，xb∈I∩l(a)=0，x∈l(b). 故l(bac)⊆l(b)，rl(b)⊆rl(bac)。由b∈rl(b)可得b∈rl(bac)=bacR。于是存在d∈R，使b=bacd，b(1-acd)=0。再由a∈J(R)可知1-acd可逆。故b=0，这与b的选取矛盾。因此，J(R)⊆Z(RR)。

例1.1 设R=为整数环，由J(R)=0可知R是半本原环。对a=2,及任意0≠b∈R，可得ab≠0，但rl(ab)≠abR。故R不是左EP-内射环。由文献[3]例1可知左EP-内射环也未必是半本原环。

2 主要结果

命题2.1 设R是左EP-内射环，若R的每一个右理想均由一个幂等元生成，则R是半本原环。

证：对任意0≠a∈J(R)，由R是左EP-内射环可知，存在0≠b∈R，满足ab≠0，且rl(ab)=abR。因为R的每一个右理想均由一个幂等元生成，故存在幂等元e∈R，满足abR=eR。于是存在x,y∈R，使ab=ex,e=aby。故可得

ab=ex=eex=abyex=abyab。

由上式可得ab(1-yab)=0。因为a∈J(R)，所以1-yab可逆，推出ab=0。此与

ab≠0矛盾。因此J(R)=0，R是半本原环。

由上面命题的证明可知看出：

推论2.1 设R是左EP-内射环，若R的每一个右理想均由一个幂等元生成，则R中必存在正则元。

证:在命题2.1证明过程中得到的等式ab=ex=eex=abyex=abyab中，令u=ab，得u=uyu，即可得证。

环R的加法子群L称为是R的弱左理想[9]，如果对任意x∈L和任意r∈R，存在正整数n，使得(rx)n∈L。 类似地，可以定义弱右理想[9]。利用弱左理想研究了环的强正则性，下面将借助弱左(右)理想研究满足一定条件的某些环之间的关系。

引理2.1 设R是左EP-内射环。若对任意0≠a∈R，有l(a)=0，则R是除环。

证：对任意0≠a∈R，由R是左EP-内射环可知，存在b∈R，满足ab≠0。 若rab=0，则r∈l(ab)=0.可以定义左R-同态：

f:Rab→R;rabar

于是存在c∈R，使得1=abc。故R中任意非零元均存在右逆，因此R是除环。

定理2.1 设R是无零因子环，则下列条件等价：

(1)R是左EP-内射环；

(2)R的任意主左理想都是EP-内射的；

(3)R的每个极大左理想是弱右理想，且任意单左R-模是EP-内射的；

(4)R的每个极大右理想是弱左理想，且任意单右R-模是EP-内射的；

(5)R的每个极大本质左理想是弱右理想，且任意单奇异左R-模是EP-内射的；

(6)R的每个极大本质右理想是弱左理想，且任意单奇异右R-模是EP-内射的；

(7)R是von Neumann正则环；

(8)R是除环。

证：(8)⟹(7)，(7)⟹(1)显然。

(1)⟹(8)：由引理2.1可得证。 故(1)、(7)、(8)等价。

(8)⟹(2)：显然。

(2)⟹(8)：若(2)成立，则(2)成立，进而(8)可得证。

(8) ⟹(3)，(8) ⟹(5)：由文献[7]定理2.5可得。

(3)⟹(8)：对任意0≠a∈R，若Ra≠R，则存在极大左理想M，使得Ra⊆M，且R/M是单左R-模。由条件知，R/M是EP-内射的. 于是存在b，满足ab≠0。 可以定义左R-同态：

f:Rab→R/M;rabar+M

故存在c∈R，使1-abc∈M。因为R的每个极大左理想是弱右理想，故存在正整数n，使得(abc)n∈M，且下面的式子成立：

abc(1-abc)=abc-(abc)2∈M

(abc)2(1-abc)=(abc)2-(abc)3∈M

… …

(abc)n-1(1-abc)=(abc)n-1-(abc)n∈M

由此可得1∈M，与M是极大左理想矛盾。 因此，Ra=R，存在c∈R，满足ca=1。 进而可得，a=aca，(1-ac)a=0。再由R是无零因子环，得ac=1。故a可逆，R是除环。

(5)⟹(8)：任意0≠a∈R，若Ra≠R，则存在极大左理想M，使得Ra⊆M。 如果M不是本质的，则M是R的直和项。 因此M=l(e)，0≠e2=e∈R。注意到R无零因子，故M=0,与M是极大左理想矛盾,M是极大本质左理想,进而推出R/M是单奇异的。由条件R/M是EP-内射的，存在b，满足ab≠0, 可以定义左R-同态：

f:Rab→R/M;rabar+M

于是存在c∈R，使1-abc∈M。类似于(3)⟹(8)的证明，可得R是除环。

类似可证(4)⟺(8)及(6)⟺(8)。

推论2.2[5]设R是无零因子环，若R是左P-内射环，则R是除环。

3 结 论

文章研究了EP-内射环的半本原性，并借助无零因子的条件给出了EP-内射环的等价刻画。对于无零因子这一条件能否进一步弱化，以及利用EP-内射环如何刻画环的von Neumann正则性，是值得继续深入研究下去的。