化归与转化思想在解分式不等式中的落实

■刘晨曲

所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归在数学解题中几乎无处不在，解分式不等式时就会时常用到化归思想。下面举例谈谈分式不等式的几种常用解法，让我们一同来感受化归与转化思想在解分式不等式时所起的作用吧!

一、转化为整式不等式求解

例1解不等式：。

解：原不等式等价于 (Ⅰ)解(Ⅰ)得x≥1+，解(Ⅱ)得1-≤x＜1。所以原不等式的解集为{x∣x≥1+或。

二、利用数形结合法求解

例2k为何值时，关于x的不等式的解集是一切实数。

解：因为4x2+6x+3＞0，恒成立，所以2x2+2kx+k＜4x2+6x+3恒成立，即2x2+(6-2k)x+3-k＞0恒成立。令f(x)=2x2+(6-2k)x+3-k，由图1 可知，f(x)＞0恒成立，所以Δ=(6-2k)2-4×2×(3-k)＜0，解得1＜k＜3。所以当1＜k＜3时，关于x的不等式的解集为R。

图1

利用数形结合思想解决不等式是一种常规思想，除了数轴中的标根法，还有恒成立问题的二次不等式的图像法。本例题就考查一元二次不等式的解法，解答此类题目的关键是抓住不等式对于x取任何实数时均成立，从而得出一元二次不等式所对应的方程的Δ＜0。

三、利用等价转化法求解

例3解不等式：。

解：原不等式等价于，整理得0，解得。所以原不等式的解集为。