带导数非最小耦合暴涨模型的势重构

2020-02-11陈果萍范伯文

湖北理工学院学报 2020年1期

费寝，陈果萍，范伯文，曹炼，邓帅

(湖北理工学院数理学院，湖北黄石 435003)

1 带导数非最小耦合暴涨模型

宇宙暴涨理论成功地解决了标准宇宙学模型遇到的平坦性问题、视界问题、磁单极子问题等诸多疑难，而且在暴涨期间的量子扰动形成了宇宙大尺度结构的种子[1-4].拥有平坦势的标量场经常被用于暴涨理论研究。然而，理论上最适用的希格斯(Higgs)标量场与引力最小耦合暴涨模型被观测数据所排除[3].Higgs粒子是目前唯一被发现的标量场粒子，为了坚持由Higgs标量场驱动暴涨的观点，学者们考虑了Einstein张量与Higgs标量场的动能项之间存在非最小耦合[5-6]，最终结果显示Higgs标量场的势能形式跟观测数据[4]相一致，并且该模型不引入新的自由度[7-9].

Horndeski推导了一套最普遍的标量-张量理论.该理论下的场方程至少包含了4维空间里对度规gμν和标量场φ的二阶导.在Horndeski理论中，二阶导φ;μν和Einstein张量通常耦合成f(φ,X)Gμνφ;μν的形式，其中X=gμνφ;μφ;ν.如果取f(φ,X)=φ，则可通过分部积分法得到Gμνφμφν的耦合形式.所以，如果选择Gμνφμφν形式的带导数非最小耦合模型，场方程不会含有超过二阶导的项[7]，并且由于标量场变化缓慢，引力会提高阻尼效应.

本研究考虑带导数非最小耦合模型，并假设某一个宇宙学参数为常数，然后通过具体的参数化例子ns=1-p/(N+A)(p和A为引入的任意参数)来重构暴涨势函数.

2 势重构

本节主要推导动能项和Einstein张量非最小耦合下暴涨势函数的重构关系式.动能项和Einstein张量非最小耦合的作用量如下：

(1)

(2)

方程(2)中，H为哈勃参数，F=H2/M2.标量场的运动方程是：

(3)

2.1 宇宙学扰动

为了保证有足够长的暴涨时间，通常假设标量场的势能缓慢降低，则可得到如下慢滚条件：

(4)

在慢滚条件下，背景方程(2)～(3)可近似为如下简单形式：

(5)

(6)

方程(5)～(6)中，Vφ=dV/dφ，通过方程(5)可得到：

(7)

为了量化慢滚条件(4)，引入如下慢滚参数：

(8)

(9)

通过背景方程(5)～(6)和慢滚参数方程(8)，得到：

(10)

根据关系dN=-Hdt，计算得到慢滚参数的一阶，则可进一步得到：

(11)

计算标量扰动功率谱，得到慢滚参数的一阶，可以求得[16]：

(12)

且张量功率谱为[18]：

(13)

标量扰动谱指数ns和张标比r可以表示成如下关于慢滚参数的形式[18-19]：

(14)

(15)

联立方程(11)和方程(14)，可以得到ns与εv的关系：

(16)

2.2 势重构关系式

结合方程(2)和(10)，则可得到暴涨子φ与e指数数目N*的关系为：

(17)

方程(17)中“±”的选取和dV/dφ一致.由于通过时间反演可从“+”得到“-”，因此讨论其中一种情况即可，本研究仅考虑取“+”的情况.结合方程(8)和(11)，可以得到势函数与慢滚参数方程(8)的关系：

(18)

通过方程(7)和(11)，可以把方程(12)，(16)，(18)写成张标比r的形式：

(19)

(20)

r=8(lnV),N

(21)

需要注意的是：以上关系并不显含参数F.

如果取广义相对论极限H2≪M2，或者F≪1，方程(11)，(14)，(15)，(17)，(18)可以简化为[15]：

(22)

(23)

r=16εv

(24)

(25)

(26)

如果取强阻尼极限H2≫M2，或者F≫1，方程(22)～(26)可以简化为：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

对于以上5组方程，原则上只需要知道函数εv(N)，r(N)，ns(N)和V(N)中的一个值，就可以通过求解方程组得到ns，r和势能V(φ).

3 宇宙学参数的参数化模型

本节将根据参数化的功率谱指数ns重构势函数.由于N*=60，则观测数据偏向于ns=1-2/N，因此考虑采用一种简单参数化方法：

(32)

当p>1，且A为常数时，可以由方程(20)得到：

(33)

方程(33)中，C是大于0的积分常数.通过方程(21)可以得到关于N的势函数：

(34)

通过联立方程(19)和(32)，可得到势函数的幅度：

(35)

联立方程(33)和(34)，并利用方程(15)可以得到慢滚参数：

(36)

方程(36)中，F0定义为F0=V0/M2.由于εv(0)=1，可以得到：

(37)

在满足F0≪1的广义相对论极限时，方程(37)简化为C=(p-1-2A)A-p；在满足F0≫1的强阻尼极限时，方程(37)简化为C=(3p-3-2A)A-p，该结果比广义相对论的结果大些.因此，对于同样的参数p和A，由方程(33)可得到，强阻尼极限下的张标比r比广义相对论极限下的大.结合方程(17)和(34)，则可得到标量场φ和N的关系：

(38)

标量场φ和N之间的显函数关系式为：

(39)

方程(39)中，φ0为积分常数，2F1(a,b,c,z)为超几何函数，其形式可表示为：

(40)

暴涨结束时的暴涨子为：

(41)

对于p=2的情形，结合方程(34)和(39)，得到势函数为：

(42)

在广义相对论极限下，以上结果可以简化为[15]：

(43)

该结果的势函数为T模形式[21-23].