大气湍流引起的相位起伏对相干态量子雷达相位估计的影响*

陶志炜，王 书，任益充，饶瑞中

(1. 中国科学技术大学 环境科学与光电技术学院， 安徽 合肥 230022；2. 中国科学院 安徽光学精密机械研究所 大气光学重点实验室， 安徽 合肥 230031；3. 中国科学技术大学 研究生院科学岛分院， 安徽 合肥 230026)

雷达技术经过半个世纪的发展，所担负的使命越来越重，与此同时也面临着电子技术干扰，隐身技术的严峻挑战[1]。量子信息技术的迅速发展，为突破经典信息处理方式提供了新思路。现有经典雷达无论在分辨率、灵敏度还是抗干扰能力方面都亟须进一步提高。

受经典电磁理论的限制，经典雷达的分辨率、灵敏度以及抗干扰能力很难完成日益苛刻的任务需要，研究人员从调制载体和检测技术出发，以量子理论为基础结合遥感探测技术突破经典雷达所面临的技术瓶颈。与经典雷达相比较而言，量子雷达具有超分辨率[2]、超灵敏度[3]以及量子散射截面等诸多优势，这使得量子雷达在军事、工程等领域都有着十分广泛的应用。

量子雷达对大气层内目标探测的过程中，大气中广泛存在的气溶胶、粉尘等非球形粒子对光子进行吸收和散射，从而导致光子的损耗。随机分布的温度、风速产生10-3～103m尺度的漩涡，从而使得光场传输过程中会出现相位起伏、光强闪烁、光束扩展和漂移等大气湍流效应，大气湍流的存在导致量子光场失去其量子特性，蜕化为经典光场，从而使得量子雷达失去其独特的性质，因此研究大气湍流效应对于量子雷达的影响十分重要[4-5]。

除此之外，量子度量理论指出，相位灵敏度极限由输出端的量子Fisher信息决定，因此根据Cramer-Rao极限给出最大灵敏度边界十分重要。Caves[9]提出no-go定理，指出如果向平衡MZI一端输入真空态和另一端输入何种量子态以及采用何种测量方案，灵敏度极限都不会突破SNL。Takeoka等[10]对no-go定理做出了修正，认为no-go定理只有在干涉仪两臂都存在未知相移才成立，但在干涉仪单臂存在未知相移则可能会突破SNL。Jarzyna等[11]指出干涉装置需要额外的参考相位才能给出正确的量子Fisher信息。

目前，学术界对于量子雷达的方案设计及性能进行了较为系统的研究，已有研究仅局限于大气损耗的影响，而对于大气湍流引起的相位起伏对量子雷达影响机理的研究则较为匮乏；此外，任何不受相位起伏影响的量子态，都不能用于量子雷达的相位估计，因此考虑相位起伏的影响十分必要。

本文首先讨论相干态量子干涉雷达的相位估计原理，并在合理的近似下可以将湍流大气引起的相位起伏效应作为相位扩散通道主方程进行处理，给出光场在大气相位扩散通道中的演化过程并讨论相位扩散速率对量子干涉雷达的影响。随后，在此模型的基础上研究了大气湍流引起的相位起伏对于相位估计分辨率和灵敏度以及对灵敏度极限的影响。研究发现：增加单个脉冲平均光子数可有效地克服相位起伏对分辨率的影响；大气相位起伏会导致最佳灵敏度偏离SNL，采用脉冲平均光子数较小的光源在一定程度上能提高相位的灵敏度；通过与灵敏度极限的对比，发现在弱相位起伏情况下，宇称探测是一种准最佳探测方案。

1 量子雷达相位估计原理

量子干涉雷达的结构示意图如图1所示，它的物理模型为标准Mach-Zehnder干涉仪。其中一端输入信号为探测光，用于对远程目标的探测和扫描，另一端输入信号为本地参考光，由于探测光一臂与参考光一臂光程不同，会产生一定的相位差，随后两束光再次经过分束器的时候会产生干涉，并用探测器对两束光进行相干检测，从而可得到目标的距离信息。

图1 标准MZI物理模型(不考虑相位扩散)Fig.1 Physical model of standard MZI (phase diffusion without consideration)

(1)

对于线性相位通道来说，为了计算简便，假设干涉臂之间的相位差为ψ，相移对称分布在干涉臂的两侧。因此经过相移之后，双模相干态变为：

(2)

(3)

(4)

2 相位起伏对相位估计的影响

上节简单地介绍了量子雷达在理想情况下(Γa=0)的相位估计原理，但是在实际应用中回波信号往往需要考虑大气湍流的作用。本节将全面分析大气湍流引起的相位起伏对相位估计的影响。

由于大气湍流是具有一定结构，一定流形的随机场，从而使得光场传输过程中会出现相位起伏、光强闪烁、光束扩展和漂移等大气湍流效应。文献[17]指出了光场经过大气传输相位每一点存在高斯随机起伏，但是任意两点之间的相位存在一定的关联。如图2所示，当ω0≪r0时，光场任意两点之间的相位可以看成是统一的，这时只关注单一路径下光束在大气湍流中传输时的点起伏效应。

假设大气湍流引起相位起伏发生在a模经过反射镜和第二次BS干涉之间，下面采用相位扩散主方程描述大气湍流引起的相位起伏效应。单模连续变量系统相位扩散主方程为[13,18-25]：

(5)

其中，Γ代表相位扩散率，上述主方程具有如下形式解[19]：

(6)

(7)

其中，κ0为湍流外部尺度的临界波数。因此ω0≪r0时，激光在湍流大气中的相位起伏现象可近似看成相位扩散过程，可由相位扩散通道主方程(5)近似描述，上述主方程的解可表示为[27]：

(8)

因此a模经过相位起伏之后变为：

(9)

βkβ*mγpγ*q|k-i+j,p-j+i〉〈m-r+s,q-s+r|

(10)

(11)

图2 大气相位起伏光线模型Fig.2 Atmospheric phase fluctuation light model

(a) N=1

(b) N=4

(c) N=16

(d)N=32图3 大气相位起伏对测量信号包络图的影响Fig.3 Effect of atmospheric phase fluctuation on the measurement signal envelope diagram

(12)

3 宇称探测下相位起伏对分辨率和灵敏度的影响

分辨率是衡量雷达性能的一个重要指标，干涉信号条纹的分辨率取决于测量信号的半高全宽[14]，即Δx∝FWHM×λ/2π。图4(a)给出了不同相位扩散速率情况下FWHM随N的变化曲线，其中带有形状的线表示一阶近似的结果，反之表示数值计算的结果。可以看出，当Γa和N较小时，数值计算与一阶近似结果基本吻合，反之则不然，这与前文分析结果一致；当Γa和N较大时，大气相位起伏严重影响量子干涉雷达的分辨率。为了消除这种影响，图4(b)给出了不同平均光子数下FWHM随Fried参数的变化曲线，可以看出，相位起伏所带来的影响可以通过增加单个脉冲的平均光子数来弥补。

灵敏度是衡量雷达探测目标信息精度的另一个重要指标，图5给出了不同相位扩散速率情况下，Δψ随ψ的变化情况，可以看出当Γa=0时，Δψ的最小值在0处取得，Γa≠0时，Δψ的最小值在ψ≠0处取得，这说明相位扩散速率动态地改变相位估计的灵敏度。此外，还注意到当相位扩散速率较小时，Δψmin随N的增大单调递减，当Γa=0.1，即相位扩散速率较大时，这时Δψmin随N的增大先递减后递增。

图6给出了不同平均光子数情况下Δψmin随r0的变化曲线，当N较小时，大气相位起伏对于Δψmin的影响较小，反之Δψmin则受r0的影响较大，这是由于光子数较大时相位起伏引起的信号衰减加剧造成的。当r0较大，即大气相位起伏较弱时，平均光子数的增加会增加量子干涉雷达的灵敏度；反之r0较小时，使用单个脉冲平均光子数较小的光源能在一定程度上提高雷达的灵敏度。

(a) 不同相位扩散下FWHM随N的变化曲线(a) Variation curve of FWHM with N under different phase diffusions

(b) 不同平均光子数下FWHM随Fried参数的变化曲线(b) Variation curve of FWHM with Fried parameters under different average photon numbers图4 大气相位起伏对FWHM的影响Fig.4 Effect of atmospheric phase fluctuation on FWHM

(a) Γa=0

(b) Γa=10-4

(c) Γa=10-2

(d) Γa=0.1图5 大气相位起伏对宇称探测线性相位估计灵敏度的影响Fig.5 Effect of atmospheric phase fluctuation on the sensitivity of linear phase estimation using parity detection

图6 Fried参数对最佳灵敏度的影响Fig.6 Effect of Fried parameters on optimal sensitivity

4 相位起伏对灵敏度极限的影响

图7 不同相位起伏下最佳灵敏度和灵敏度极限随光子数变化log-log图Fig.7 Log-log diagram of optimal sensitivity and sensitivity limit with photon number under different phase diffusions

此外，图7对比了通过宇称探测计算的最佳灵敏度和量子Fisher信息计算的灵敏度极限与平均光子数之间的关系。可以看出，当Γa=0时，宇称探测的结果达到散粒噪声极限；当Γa较小时，即弱相位起伏情况下，宇称探测结果接近CRL，随着Γa的增大，宇称探测结果偏离CRL，这时宇称算符并非最佳探测算符，这意味着存在其他探测方案能够更好地克服相位起伏的影响。

5 结论

本文首先介绍了量子雷达的特点及其独特的优势，并给出不存在大气相位起伏情况下相位估计的原理以及量子度量理论在相位估计灵敏度极限方面的应用，指出大气中存在的损耗、光强起伏以及相位起伏会对其自身特点造成一定的影响，并以MZI及相位扩散主方程作为理论模型，详细分析了相位起伏对相位估计的影响。研究发现，相位起伏将造成脉冲信号半高宽的增加，从而降低探测的分辨率，通过增加脉冲平均光子数即可克服此不良影响。此外，相位起伏的增加会使得最佳灵敏度远离SNL，通过适当增加平均光子数可在一定程度上提高相位估计的灵敏度。最后对比CRL给出的灵敏度极限与宇称探测给出的最佳灵敏度之间的关系，发现在无噪声和弱相位起伏下，宇称探测是一种准最佳的探测手段，在强起伏情况下，宇称探测的最佳灵敏度和CRL尚有一定的距离，这说明应寻找其他更好的探测方案来克服相位起伏的影响。