一种基于CAD绘图软件的涡旋压缩机型线方程反求方法

郝胜利，马国远，许树学

（北京工业大学环境与能源工程学院，北京 100124）

1 引言

目前定基圆半径圆渐开线被广泛应用于涡旋体、齿轮、刀具等零件上[1]。逆向工程[2，3]中经常会遇到对已知零件进行测绘反求，近而再对该零件进行优化开发的情形。此过程中，根据测绘所得图形确定渐开线的基圆圆心和基圆半径进而求得整个型线的方程，具有重要意义。

对于一条定基圆半径圆渐开线，若已知其基圆圆心，可通过构造牛顿迭代算法反求出其基圆半径值[4]。但在实际工程中遇到的情况通常是，测绘所得零件图形中的圆渐开线并不显示基圆圆心，只根据圆渐开线图形反求渐开线基圆圆心和基圆半径。对于基圆渐开线齿轮或花键，陈丽萍等人提出了一种基于3次多项式拟合的简易算法，迭代次数不超过9次即可快速拟合出满足精确要求的基圆半径[5]。对于小模数齿轮，在获得齿廓测点数据后，张中波运用最小二乘原理建立了圆渐开线基圆半径的反求模型，并给出了求解的详细算法[6]。汤洁探讨了一种基于最小二乘法原理的求解模型反求未知圆心位置的渐开线的基圆圆心和基圆半径，但最终用GN法算出的基圆半径值与理论值偏差为0.64 mm，误差仍较大[7]。涡旋压缩机作为第三代压缩机产品，相比于第一代往复式压缩机具有结构简单、体积小和重量轻等优点，相比于第二代回转式压缩机容积系数更高、气流脉动更低[8]。尤其是在汽车空调上，涡旋压缩机有其它类型压缩机不可替代的优势[9]。涡旋盘是涡旋压缩机的关键部件，涡旋盘的形状直接影响压缩机的性能[10-12]。对涡旋盘进行反求研究，然后在已知的涡旋盘基础之上进行参数优化设计，探索、创造出拥有自主知识产权的新的开发技术和新产品，具有重大的理论意义和实用价值[13]。

本文提出了一种基于CAD绘图软件的涡旋压缩机型线方程反求方法，并结合实际工程详细介绍其具体实施过程，最终反求获得了满足加工精度要求的涡旋型线方程，并验证了所提出方法的可行性。

2 涡旋压缩机型线方程

涡旋压缩机由动、静2个涡旋盘组成，动盘相对静盘偏心并相差180°安装。工作时动盘以静盘为中心作无自转的回转平动，完成连续吸气、压缩及排气的过程。常用的涡旋压缩机涡旋盘内、外壁型线由圆渐开线生成。图1所示为一对涡旋盘的啮合及型线参数图，其型线的一般表达式为[14]

外壁渐开线

内壁渐开线

其中 R0——基圆半径，mm

Ø——型线渐开角，rad

α——渐开线起始角（又叫作渐开线初始角、渐开线发生角），rad

关键参数为R0和α，获知这2个参数的值，便可唯一确定涡旋压缩机的涡旋盘内、外壁型线方程。

3 基圆参数的确定

图2所示为一条圆渐开线的一小段，A、B、C是其上的任意3点。利用AutoCAD绘图软件，在A点、B点和C点作渐开线的法线。在AutoCAD中作渐开线上某点的法线具体步骤为：命令行输入：xline（构造线），点击“Enter”；按住shift键点击鼠标右键，点击“垂直”；使鼠标靠近渐开线，出现“递延垂足”字样时，单击鼠标，再选中渐开线上某一点，点击“Enter”即得到渐开线该点处的法线。选择点A、点B、点C处的3条法线作为切线，以“相切、相切、相切”绘圆法作圆，此圆即为该渐开线的基圆。

以“相切、相切、相切”绘圆法作圆具体步骤为：用鼠标点击“绘图——圆——相切、相切、相切”，而后依次把十字光标靠近点A、点B和点C处的3条法线，待出现“递延切点”字样时单击鼠标，即得到该渐开线的基圆。利用AutoCAD的查询功能，先选中基圆，再将鼠标放在基圆的象限点处，即可获知基圆圆心坐标及基圆半径值。

4 涡旋型线方程的反求

4.1 初步拟合

图1 涡旋压缩机涡旋盘的啮合及型线参数图

图2 以“相切、相切、相切”方式画圆

根据上述中的反求基圆的方法，可求得某一待求涡旋型线所对应的渐开线基圆圆心坐标为（1.009945071，0.505085219），基圆半径R0=2.805106666 mm。

此时先将AutoCAD 的图形精度调至最大（0.00000000 mm），然后利用AutoCAD的查询距离命令，多次查询并求平均值，可得出该涡旋压缩机涡旋盘的壁厚t=3.998785998 mm。

根据涡旋盘壁厚t、基圆半径R0和渐开线起始角α之间的关系

易知α=t/（2R0），将上述涡旋盘壁厚t和基圆半径R0的值代入（3）式，计算可得

α=0.712768973541771 rad

至此可得反求的内外壁涡旋型线方程为

外壁渐开线

内壁渐开线

与实际的基圆半径和发生角真实值进行对比，可获得所得数据的误差大小

实际值：

基圆半径 R0=2.801127 mm

发生角 α=0.7139983 rad

所以误差为：

基圆半径误差 eR0=0.00398 mm

发生角误差 eα=-0.00123 rad

4.2 精确拟合

基圆半径的误差eR0=0.00398 mm、发生角的误差eα=-0.00123 rad，误差相比于实际精确加工的误差限（一般在μm级别） 依然较大[8，15-17]，须在上述拟合结果的基础上进行更加精确的拟合，以获得满足实际加工精度要求的涡旋压缩机型线方程。

对于获取的一张实际的涡旋压缩机动盘（或静盘） AutoCAD图纸，虽然可以在CAD中查询出涡旋型线各点的坐标值，但这些坐标值并不能直接用于涡旋型线方程的拟合，其原因在于：对涡旋压缩机真实绘图过程中，通常按照型线方程画出内外型线后，先对型线平移一个坐标（x0，y0） （x0和y0的单位为：mm，x0为正值时代表向右平移，y0为正值时代表向上平移），然后绕基圆中心旋转一个角度θ（θ单位为：°，θ为正值时代表逆时针旋转）。故AutoCAD图纸中的涡旋型线，其基圆圆心坐标通常不是（0，0），并且此刻的图形还是绕基圆中心旋转后的图形。

结合实际加工经验：绘图时平移坐标（x0，y0）中的x0和y0至多有一位小数，旋转度数θ为整数度。

按照初步拟合得到的方程（4） 和（5），在Excel中计算得出随着渐开角变化时涡旋型线上各点的坐标，然后以排气孔（此处的排气孔为实际涡旋压缩机CAD图中的排气孔） 为坐标原点，在CAD中画出内外型线，如图3中黑色线所示（红色线为实际涡旋压缩机CAD型线）。

根据实际加工经验，参照前文4.1节对涡旋型线方程的初步拟合部分，可知平移坐标为（1，0.5）。

依次通过以下两步则可使已知的原CAD内外型线与初步拟合得出的型线高度重合，进而利用型线上各点在CAD中的坐标值直接用于型线方程式的拟合：

（1）将原CAD内外型线（图3中的红色线） 平移（-1，-0.5）；

（2）将原CAD内外型线绕点（0，0） 旋转一个角度-θ。

图3 初步拟合得出的内外型线（黑色线） 和实际涡旋压缩机CAD内外型线（红色线）

在CAD中进行多次试探性旋转平移，根据两型线的重合度情况，可得旋转度数θ为-15°。如图5所示，拟合得出的内外型线和经过旋转+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD内外型线高度重合。

试探性旋转平移求旋转角度θ，采用“先观察预估再二分法逐渐逼近”的原则进行：首先对于平移（-1，-0.5） 后的原CAD内外型线，选中内外型线执行绕点（0，0） 旋转的命令，在输入旋转角度前，拖动鼠标（拖动的效果即为改变旋转角度），观察原CAD内外型线与拟合得出的内外型线的重合情况，可知旋转度数|θ|＜30°，如图4所示，图中的2条射线分别为0°构造线和30°构造线，用于辅助观察预估旋转度数θ；然后输入旋转度数15°，如图5所示，原CAD内外型线与拟合得出的内外型线高度重合；同上再分别输入旋转度数14°和16°，对比发现原CAD内外型线与拟合得出的内外型线重合度均不及旋转度数为15°时，至此可知旋转度数θ为-15°。

图4 利用观察法预估可知旋转度数|θ|＜30°

图5 经过旋转+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD内外型线和拟合得出的内外型线高度重合

将原CAD 型线平移（-1，-0.5），再绕点（0，0） 旋转+15°。图中的涡旋型线在AutoCAD中呈现的各点的坐标值便可直接用于涡旋型线方程的拟合。

方程式拟合在1stOpt软件中进行。

原CAD型线中内、外型线是由若干段样条曲线组成的，选组成外线的三段样条曲线，各取每段样条曲线上的最后一个点的坐标（对于一段样条曲线，其上的各点，首、末两点原则上最准确。由于组成内、外型线样条曲线上的起始处的点涉及到涡旋齿齿端修正，精确性未知，故不取样条曲线上的起始处的点而取每段样条曲线上的最后一个点），将得到的3 个点（-10.21294256，8.07578089）、（16.07632083，-14.65540116） 和（-22.06879417，21.09864371） 作为拟合点，在1stOpt拟合软件的编程界面中编写程序代码，进行型线方程式拟合。

拟合代码如下：

运算结果详情：

计算用时（时：分：秒：毫秒）：00：00：01：408

优化算法：麦夸特法（Levenberg-Marquardt）+通用全局优化法

函数表达式：（（（-（（-10.21294256）） +r*（cos（t1）+（t1+b）*sin（t1）））^2）+（（-（16.07632083）+r*（cos （t2） +（t2 +b）*sin （t2）））^2） +（（-（（-22.06879417））+r*（cos（t3）+（t3+b）*sin（t3））） ^2））+（（（-（8.07578089）+r*（sin（t1）-（t1+b）*cos（t1）））^2）+（（-（（-14.65540116））+r*（sin（t2）-（t2+b） *cos（t2）））^2）+（（-（21.09864371）+r*（sin（t3）-（t3+b）*cos（t3）））^2））

目标函数值（最小）：4.23197516436008E-5

R：2.80122550464214

B：0.713615130243984

t1：3.82647807724986

t2：6.98565893485534

t3：10.1407691453284

可知拟合结果为

基圆半径 R0=2.80122550464214 mm

发生角 α=0.713615130243984 rad

与实际的基圆半径和发生角的真实值进行对比，可获得精确拟合所得数据的误差：

实际值

基圆半径 R0=2.801127 mm

发生角 α=0.7139983 rad

与实际值相比拟合误差

基圆半径误差 e（R0）=9.85046×10-5mm

发生角误差 eα=-0.00038317 rad

精确拟合所得数据与初步拟合数据相比，基圆半径误差能减小两个数量级，发生角误差减小一个数量级，精度可以满足加工要求。

由上得到涡旋型线圆渐开线方程。

外壁渐开线方程

内壁渐开线方程

5 结论

本文提出了一种基于CAD绘图软件的涡旋压缩机型线方程反求方法。该方法借助CAD绘图软件，根据基圆渐开线的生成原理和性质，由未知圆渐开线上的3个点，借助几何法便可完成基圆圆心和基圆半径的反求。将该方法应用于辅助反求涡旋压缩机型线方程上，最终反求得出的型线方程，与实际型线方程对比，基圆半径的误差eR0=9.85046×10-5mm，发生角的误差eα=-0.00038317 rad，精度能够满足加工要求。