遇等腰 思讨论

王秋月 刘现超

等腰三角形是特殊的三角形.它既具有一般三角形的性质，又具有自己的特殊性质，若题目中没有明确边、角的关系，解题时要进行分類讨论.

一 边产生的分类讨论

例1，若等腰三角形的一边长为4 cm.另一边长为9 cm，则它的周长为____.

解：当腰为4 cm时，4+4<9，不满足三角形三边关系定理，舍去.

当腰为9 cm时，9+9+4=22 （cm），所以三角形的周长为22 cm.

点拨：在涉及等腰三角形的腰和底时，要进行分类讨论，并依据三角形的三边关系定理对结果进行取舍.

例2 如果等腰三角形的三边长均为整数且其周长为10.那么它的三边长为

，

解：可采用凑数法进行分类（腰长依次取l，2，3，…）：

（1）1，1，8;

（2）2，2，6;

（3）3，3，4;

（4）4，4，2.

但（1）（2）不符合三角形三边关系定理，舍去.故答案为3，3，4或4，4，2.

侧3 如图1.在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有

个.

解：以A点为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于点Pl（不与点0重合）;以O点为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点P2和点P3;作OA的垂直平分线，交x轴于点P4.所以P点共有4个.

点拨：运用“两圆一线”的方法得出P点的个数.

二 角产生的分类讨查）

例4 有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为

.

解：当顶角为140°时，两个底角分别为20°· 20°.

当底角为140°时，140°+140° >180°，不满足三角形内角和定理，舍去，

点拨：在涉及等腰三角形的顶角和底角时，要进行分类讨论，并依据三角形内角和定理对结果进行取舍.

三 周长中的分类讨论

例5 在△ABC中，AB =AC=12 cm，BC=6 cm.D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A →C的方向运动，设运动时间为ts，那么当t=____时，过D，P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，其中一部分是另一部分的2倍.

解：分两种情况讨论：

（1）当P点在AB上时（图2），由题意知2 （BD+BP）=AP+A C+CD，

∴ 2（3+t）=12=t+12+3.

解得t=7.

（2）当P点在AC上时（图3），由题意知BD+A B+A P=2 （PC+CD），

∴ 3+12+t- 12=2（24-t+3）.

解得t=17.

综上，当t=7或t=17时，过D，P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，其中一部分是另一部分的2倍，

四 图形变化引起的分类讨论）

例6 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为____.

解：如图4所示，当一腰上的高在三角形的内部时，易得顶角为60°;当一腰上的高在三角形的外部时（图5），易得顶角为120°.可见顶角的度数为60°或120°.

点拨：解题时首先要确定腰上的高是在三角形内，还是在三角形外，这样就自然产生了两种分类.同学们容易忽视第二种情况而出现错误.解无图题时，一定要注意各种可能的情况.

五 对称轴个数引起的分类讨论

例7 等腰三角形有几条对称轴？

解：当等腰三角形仅有两边相等时，有1条对称轴：当等腰三角形三边都相等时，有3条对称轴，

六 画等腰三角形引起的分类亘至）

例8 如图6，△ABC中，∠C=90° ，AC=4 ，BC=3 ，AB=5.现以△ABC 一边为边，画等腰三角形，且使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，

解：符合条件的等腰三角形有6个：