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对一道中考几何题的反思

2020-02-04赵海

关键词:平分平分线过点

赵海

我们先来看一下山东省临沂市2008年中考数学试卷的第25题:

题目 已知∠MAN.AC平分∠MAN.

(1)在图1中,若∠MAN=120°.∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC.

(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

解析:(1)∵ ∠MAN=120°,AC平分∠MAN,

∴ ∠ CAD=∠CAB=60 °.

∴AD=1/2AC,AB=1/2AC.

∴ AB+AD=AC.

(2)(1)中的结论仍然成立,理由如下:

如图3,过点C作CE⊥AM,CF⊥AN,垂足分别为E.F则∠CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN,故CE=CF.

∵ ∠ABC+∠ADC =180°. ∠ADC+∠CDE=180°.

∴ ∠ CDE=∠ABC.

∴ △CDE≌△CBF(角角边),DE=BF.

由(1)知AF+AE=AC,故AB-BF+AD+DE=AC.即AB+AD=AC.

【反思1】

(2)题还有没有其他解法?

如图4,过C作CG//AB交AM于G.

易证△GAC是等边三角形,

CG=A G=AC,∠CGD=60°=∠CAB.

而∠GDC=∠ABC(均与∠ADC互补),

∴ △GDC≌△ABC(角角边).

∴ GD=AB+AB+AD=GD+AD=AG=AC.

【反思2】

已知∠MAN =120°.点D,B分别在∠MAN的边AM,AN上,点C在∠MAN的平分线上.若CD=CB.则AB+AD=AC是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

显然不成立,把图l中的点D,B“向外”移动同样的距离,即可看出.

【反思3】

如果∠MAN≠120°,其他条件不变,(2)中的结论是否成立呢?

如图5、图6,已知∠MAN,∠MAN≠120°,AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上(AB>AD),∠ABC+∠ADC=180°.

如图6,过点C作CE⊥AM于E,CF⊥AN于F,则∠ CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN,故CE=CF

易证△CDE≌△CBF(角角边).

∴DE=BF.

容易证明AE=AF

∴ AB+AD=AE+AF=2AF

假设AB+AD=AC,则2AF=AC,所以∠ACF=30°.

∴ ∠ CAF=60°。从而∠MAN=120°.

这与∠MAN≠120°矛盾,

∴结论AB+AD=AC不成立.

对于图5的情形,可类似地进行分析,同样得出上述结论.

练习

1.如图7,AC平分∠MAⅣ.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于 F.∠ABC+ ∠ADC=180°试证明:CB =CD.AB+AD=2AF

2,如图7.已知C是∠MAN内部的一点,点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于F,CB=CD, ∠ABC+ ∠ADC=180°.试证明:AC平分∠MAN.AB+AD=2AF

3.如图7.AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于F,AB+AD=2AF.试证明:

(1) CB=CD;

(2) ∠ABC+∠ADC=180°.

4.已知∠ MAN=120°.點D,B分别在∠MAN的边AM,AN上运动,且保持BD=a(定长).以肋为边在∠MAN的内部作等边△BCD,如图8.则在点D,B的运动过程中,点C有怎样的运动规律?

5.如图9.AC平分∠MAN.点B在AN上,点、D在AM上,AB>AD. CB=CD,CE⊥AB于E若AE=3,CE=2,则四边形ABCD的面积是

-.

6.如图10所示.AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.若∠MAN=50°,CB=CD,求∠CBD的度数.

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