对一道中考几何题的反思
2020-02-04赵海
赵海
我们先来看一下山东省临沂市2008年中考数学试卷的第25题:
题目 已知∠MAN.AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°.∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC.
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
解析:(1)∵ ∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴ ∠ CAD=∠CAB=60 °.
∴AD=1/2AC,AB=1/2AC.
∴ AB+AD=AC.
(2)(1)中的结论仍然成立,理由如下:
如图3,过点C作CE⊥AM,CF⊥AN,垂足分别为E.F则∠CED=∠CFB=90°.
因AC平分∠MAN,故CE=CF.
∵ ∠ABC+∠ADC =180°. ∠ADC+∠CDE=180°.
∴ ∠ CDE=∠ABC.
∴ △CDE≌△CBF(角角边),DE=BF.
由(1)知AF+AE=AC,故AB-BF+AD+DE=AC.即AB+AD=AC.
【反思1】
(2)题还有没有其他解法?
如图4,过C作CG//AB交AM于G.
易证△GAC是等边三角形,
∴
CG=A G=AC,∠CGD=60°=∠CAB.
而∠GDC=∠ABC(均与∠ADC互补),
∴ △GDC≌△ABC(角角边).
∴ GD=AB+AB+AD=GD+AD=AG=AC.
【反思2】
已知∠MAN =120°.点D,B分别在∠MAN的边AM,AN上,点C在∠MAN的平分线上.若CD=CB.则AB+AD=AC是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
显然不成立,把图l中的点D,B“向外”移动同样的距离,即可看出.
【反思3】
如果∠MAN≠120°,其他条件不变,(2)中的结论是否成立呢?
如图5、图6,已知∠MAN,∠MAN≠120°,AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上(AB>AD),∠ABC+∠ADC=180°.
如图6,过点C作CE⊥AM于E,CF⊥AN于F,则∠ CED=∠CFB=90°.
因AC平分∠MAN,故CE=CF
易证△CDE≌△CBF(角角边).
∴DE=BF.
容易证明AE=AF
∴ AB+AD=AE+AF=2AF
假设AB+AD=AC,则2AF=AC,所以∠ACF=30°.
∴ ∠ CAF=60°。从而∠MAN=120°.
这与∠MAN≠120°矛盾,
∴结论AB+AD=AC不成立.
对于图5的情形,可类似地进行分析,同样得出上述结论.
练习
1.如图7,AC平分∠MAⅣ.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于 F.∠ABC+ ∠ADC=180°试证明:CB =CD.AB+AD=2AF
2,如图7.已知C是∠MAN内部的一点,点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于F,CB=CD, ∠ABC+ ∠ADC=180°.试证明:AC平分∠MAN.AB+AD=2AF
3.如图7.AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.CF⊥AB于F,AB+AD=2AF.试证明:
(1) CB=CD;
(2) ∠ABC+∠ADC=180°.
4.已知∠ MAN=120°.點D,B分别在∠MAN的边AM,AN上运动,且保持BD=a(定长).以肋为边在∠MAN的内部作等边△BCD,如图8.则在点D,B的运动过程中,点C有怎样的运动规律?
5.如图9.AC平分∠MAN.点B在AN上,点、D在AM上,AB>AD. CB=CD,CE⊥AB于E若AE=3,CE=2,则四边形ABCD的面积是
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6.如图10所示.AC平分∠MAN.点B在AN上,点D在AM上,AB>AD.若∠MAN=50°,CB=CD,求∠CBD的度数.