基本不等式的核心与本质

黄书冷

摘  要：在新课程标准和新的评价体系的指导思想下，高中数学的教育教学的重心发生了很大的变化，提出了数学六大核心素养，加大了对学生能力的培养，加大了知识之间的联系和相互运用，特别体现在让学生自己取挖掘知识的内涵与本质上。基本不等式作为高中数学的一个重要知识，它的难度比较大，需要基础的知识比较多，还有它的实际运用（最优化問题）也比较广泛。在实际的教学中，绝大部分老师都会走公式推导、公式变形、公式运用的这样一条老路，但是这种模式在体现和培养学生数学核心素养方面还是力度明显是不够的，我们应该继续挖掘知识的内涵和本质，寻找各知识之间的关系。对于基本不等式这个知识点，除了公式的本身的推理、记忆、变式、运用，再强调“一正二定三相等”这七个核心关键字。这七个关键字，我们该如何对它进行解释、强调？如何引导学生对它更深层次的认识？本文对此理解是：一正指两个数是正数，也可以两个数都是负数;二定指和为定值或积为定值，也理解是相乘和相加两种形式;三相等指考虑等号成立的情况可不可以取得到，也可以就两个数相等时取等号。

关键词：不等式;两种函数;思路

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1992-7711（2020）35-189-01

在实际的教育教学中，我们经常强调方程、函数、不等式三者之间的对应关系，比如解不等式先解方程，解方程看函数图像（零点问题），解不等式看函数的图像等等。那么对于基本不等式这样一个新的知识，从名字我们的感觉它就是一个不等式，但是我们在课堂教学中就不能单一的强调它的不等式的性质，应该加入方程和函数的元素，让学生掌握知识真正的内在本质，从而提升学生发现探索知识的能力。本文就通过对一个例题的四种解法过程的分析，来体现基本不等式内在本质。主要有：两种形式（化和或化积）、两个定值、两种函数（二次或双勾）、两个数（a或b）。

【思路分析】利用基本不等式将有和有积的形式，化成全积的形式，再通过解一元二次不等式求出积的取值范围，再代回求和的最值。重点考查了学生利用基本不等式变形的运用能力，是本质中两种形式相互转化的体现，将基本不等式变成一元二次不等式，体现知识之间的相互运用;另外也对学生解一元二次不等式的能力考查;

【思路分析】利用基本不等式将有和有积的形式，化成全和的形式，也是是本质中两种形式的体现。对比方法一，采用了换元的方法，将是的形式做了一些简化，通过解一元二次不等式求出和的取值范围，写和的最小值;

【思路分析】通过消元的思想，将含有两个变量的式子变成只有一个变量的函数关系式（双勾型函数），再构造积为定值，利用基本不等式求出和的最小值。消元法是一种非常适合减少变量，降低难度的方法，让学生更容易去接受;函数思想是高中最重要的思想，通过本道例题的解题思路，可以得到一种解决不等式的通式通法，即变成只有一个变量的函数，利用函数的知识来解决这一类型题;本思路也用了构造法，体现了两种定值中的积为定值的本质;最后解决问题又利用了基本不等式来求函数的最值问题，完美体现了知识之间的相互应用和相互转化。

【思路分析】利用基本不等式中两个正数的本质，提出“等位等价”的思想，即一个含有两个变量的式子中，将两个变量交换位置，式子本身没有变化，那么他们就具有等位等价性。本题通过换元法的思想，将不是等位等价的两个变量，变成两个具有等位等价性的变量，从这个角度加大学生的思考力度，提出问题思考的方向，给出命题的方向。最后通过令两个数相等，解一元二次方程，得出最值。本方法的最大优势在于可以快速的解决选择和填空题，更能体现知识的本质。

参考文献：

[1]教育部考试中心  普通高等学校招生全国统一考试大纲

[2]高考数学科考核目标研究.任子朝

[3] 基本不等式与“对勾”函数.余小芬、刘成龙

[4] 五大变形方法搞定基本不等式求最值问题.华燕萍

（作者单位：广东省东源中学，广东   河源   517500）