概念教学中培养高中生数学抽象素养的策略

张伟

摘 要：在高中阶段，概念教学与数学抽象素养有着紧密相依的关系，教师在平时教学中要积极探索和总结如何在概念教学中有效培养学生的数学抽象素养。本文简要探讨了四点概念教学中培养高中生数学抽象素养的策略，分别是基于情境生成概念，体会从具体到抽象;利用典例巩固概念，巩固和加深抽象认知;多角度地诠释概念，锻炼抽象思维能力;联系实际迁移概念，感悟抽象素养价值。

关键词：概念教学;高中数学;数学抽象;教学心得

数学抽象是高中阶段六大核心素养之首，课标中明确指出，它是“形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征”。而作为数学学习的基础——数学概念，则是对数学命题的高度抽象化，数学抽象的主要表现之一即为“获得数学概念和规划”。由课标所阐述的这些基本观念而言，数学概念的学习与数学抽象素养的培养是不可分割的，如果说前者为基本的载体和过程，后者则为一种升华。因此，在概念教学的同时有意识地培养学生的数学抽象素养就成为重要的教学任务和教学命题。以下结合笔者在这方面的实践与探索对此做较为系统的探讨，希望对相关教学工作者有所启示。

一、基于情境生成概念，体会从具体到抽象

在高中阶段，概念教学的首要要求即为使学生切实地理解概念，由于其本质上是抽象的，所以通常都需要基于具体的情境来生成概念，这样不但有助于学生理解，同时也使学生体会从具体到抽象的过程，这是锻炼其数学抽象的必要基础，同时也是有利条件。例如极坐标系的教学，无论教师再怎样创新，基本的思路通常都是通过问路指路的情境引入和建立极坐标的概念，接着师生探究极坐标的特点和优劣性，突出建系（建模）的思想，利用不同的参照物去描述表达这个世界。当然也有很多教师除了教材上问路指路的情境，也常会引入盲人摸象和狙击手射击目标（旁人口述给阻击手）的情境以及日常生活中的指路情境，也都是可以的。只要有利于方向角的理解和建系（直角坐标系、极坐标系等）以及引导学生的思维即可。实践证明，只要具体情境用得好概念课就活了，在此基础上由具体到抽象，概念的生成也就水到渠成。

二、利用典例巩固概念，巩固和加深抽象认知

在生成概念之后，应趁热打铁对概念的基本要素和特点进行简要总结，并辅之以典型例题的探究使学生巩固概念并学会初步运用，这是巩固学生抽象认知的必要步骤。仍以极坐标系的教学为例，在此阶段要使学生切实明了两点，即平面上的点如何用极坐标表示和极坐标所代替的点在何处。接着，再通过典型例题促进学生切实掌握极坐标和平面的点的对应关系。例如：①在极坐标系中，求点Q（2，π/6）关于极点对称的点P坐标;②在极坐标系中，求点Q（2，π/6）关于极轴对称的点P坐标。设置这两道例题的主要目的，一是巩固学生对极坐标概念的理解;二是为探索平面上的点和极坐标的对应关系（即一对多）做出铺垫，从而深化概念理解，巩固抽象认知。笔者在教学实践中发现，有些学生面对题目不知怎样下手，原因是极坐标系他们还不熟悉，还没有建构知识体系，而不会做的同学大部分是没有建系、没有结合图形去分析问题，所以导致思维受阻，这也就是其抽象认知尚不成熟的直接表现。这时就需要教师点拨一下建系和数形结合，这样学生就会恍然大悟，顺利解决问题并加深抽象认知。在概念教学中，这也是培养学生数学抽象素养十分关键的一步。

三、多角度诠释概念，锻炼抽象思维能力

在高中阶段，有一些相对复杂的概念可以有多个诠释角度，这与初中阶段那种简单的、一目了然的概念大不相同，而通过对概念进行多角度诠释可以锻炼学生的抽象思维能力，就是培养其数学抽象素养的有效途径。这方面最典型的例子莫过于椭圆等圆锥曲线的概念，不但有第一定义、第二定义，还有第三定义，而第三定义甚至还有不同的典型表达形式。其实从本质上来说，这些表达形式都是相通的，只是从不同的角度诠释基本的概念而已，在教学中教师要使学生切实理解和熟练掌握各种表达形式，并能够使学生做到相互熟练地转化运用。比如椭圆的第三定义，其常见表达形式为：

在椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0） 中，A、B是关于原点对称的两点，M为椭圆上异于A、B的一点，如果存 在kAM×kBM，那么有kAM×kBM=e2-1=-b2/a2。这一结论可通过构造△MAB的MA边所对的中位线PO，利用kMA=kPO，由点差法来证明。

而除此之外，还有一种变式表达也需要学生掌握。①已知A（-a，0），B（a，0）， 如 果kAM×kBM=-b2/ a2（a>b>0），那么点M的轨迹方程为x2/a2+y2/b2=1;②已知A（0，-a），B（0，a），如果kAM×kBM=-b2/a2（a> b>0），那么点M的軌迹方程为y2/a2+x2/b2=1。值得指出的是，如果kAM×kBM=-1（即a=b），那么点M的轨迹方程即为x2+y2=a2，是一个圆。

另外，还有一个由圆锥曲线第三定义推出来的一个性质也比较重要，即所谓中心弦性质：当|AB|为曲线的任意一条中心弦时，结论仍然成立。很多题目利用该性质解答通常会变得很简单，学生应当有所了解并加以掌握。中心弦的基本数学表达如下。

①如果M是椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点，|AB|是椭圆的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2;②如果M为椭圆y2/a2+x2/b2=1上任意一点，|AB|是椭圆的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2。

以上这些不同的表达形式都应使学生掌握并知道推导过程，从而从不同的角度来理解椭圆的概念，双曲线也是一样。这样，在推导和体会的过程中，学生更深刻地理解概念，同时也锻炼抽象思维能力，在一定程度上促进了数学抽象素养的发展。

四、联系实际迁移概念，感悟抽象素养价值

“数学来源于生活又用于生活”，数学知识是源自且归于生活的。在数学课堂中联系生活实际，即是要适当引入一些生活实际问题，让学生利用书本上的理论知识去加以分析和解决。采取这种教学方式，会使学生深切感受到数学知识的实用价值，同时对数学概念的理解和运用会达到一种更为深入的新境界，而如果是基于数学概念解决生活中的一些相关的典型问题，则还会产生使学生体会和感悟抽象素养价值的功效。正所谓“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，又所谓“实践出真知”，联系实际而迁移概念，所应用的不但是具体的知识，还是抽象的素养，知识是解决问题的基础，而素养则是解决问题的关键。就好比所谓“军事素养”，指挥官只有具备较高的军事素养才能打胜仗，而打胜仗的过程其实也是从实际锻炼中体会、感悟，乃至提升自身素养的过程。

以上的观点说来似乎很微妙，其实并不难理解，无非就是把“素养”看成解决问题的“工具”，在实际运用和锻炼中不断提升。当然，就数学领域而言，联系生活实际问题难度上要适中，使学生感受到成功的乐趣，否则是不利于学生产生内在感悟的，甚至会适得其反，使学生产生困惑。

综上所述，鉴于概念教学与数学抽象素养的相依关系，教师在平时教学中要积极探索和总结如何在概念教学中有效培养学生的数学抽象素养。

参考文献

[1]裴勤锋.高中数学概念教学及提升实效的策略[J].中学数学，2018， 000（001）：26-27.

[2]周先华.高中数学核心素养之数学抽象能力的培养实践初探[J]. 数理化解题研究（高中版），2017，000（007）：39-41.