“问题—探究”视角下高中数学归纳法教学研究

刘政彪

[摘  要] “问题—探究”教学模式是在新课标的理念下，以教学内容为依据，以情境问题为引领，以学生探究为中心的教学模式. 在参与学校“观—议—磨课”实践的基础上，文章以高中数学归纳法教学为例，研究了“问题—探究”教学模式的实施策略.

[关键词] 问题探究;数学归纳法;教学研究

■引言

数学归纳法是人教版A版选修2-2第二章第三单元的内容，是继综合法和分析法之后，进一步学习的另一种直接证明的方法. 数学归纳法并不是归纳推理，而是在由归纳推理得到结论后进行推理证明的演绎推理，一般用于证明与正整数n有关的数学命题，它的本质特征是用有限的步骤证明无限的结论.

数学归纳法（第一课时）的教学重点是：借助具体实例理解数学归纳法的基本思想;掌握数学归纳法的基本步骤;运用数学归纳法证明一些与正整数n有关的数学命题[1]. 教学难点是：理解第二个步骤的作用，并能根据假设做出证明[1]. 由于数学归纳法的原理具有高度抽象性，如果教师在教学中对重点的定位不准确，忽视原理的生成过程，过分强调学生机械模仿证题格式，则学生常常无法真正理解原理的基本思想和第二步证明的实质. 因此教师需要重视数学归纳法原理的生成过程，组织有关素材，创设具体问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极探索原理，使学生清楚数学归纳法的来龙去脉，感悟“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法.

■“问题—探究”教学模式

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养[2]. “问题—探究”教学模式是以教学内容为依据，以情境问题为引领，以学生探究为中心的基于新课标理念的教学模式. 有效的问题设计可以激活学生对学习内容探究的主动性和积极性，可以打开学生的思维空间，培养学生的思维能力. 学生在问题的引领下，学会自主学习、探究合作，主动地运用知识和方法去解决问题，收获新知.

■“问题—探究”视角下高中数学归纳法（第一课时）教学实践

本节课的设计从生活实例出发，类比游戏原理，以问题为主线、思维为主攻、学生为主体，将学生的探究从有限引向无限，再从无限回归有限.

1. 创设情境，引入新课

本环节创设了三个问题情境并提出了四个主要问题：

问题1：一个盒子里装有十根粉笔，如何证明里面的粉笔全是红色的？

问题2：你知道“天下乌鸦一般黑”的结论是如何得到的吗？

问题3：已知数列{an}，a1=0，an+1=■，请根据递推关系式求出a■，a■，你还能猜想出什么结论？结论可靠吗？

问题4：想得到可靠的结论，是不是要一一验证？

问题1和问题2的情境创设贴合生活，学生通过思考后容易理解并总结出两种验证结论的方法：全部验证和部分验证. 问题3是与问题2情境相似的数学问题，既能激发学生探索的兴趣，又能为新课学习预设立足点. 通过这三个情境问题的探究，学生基本可以达成共识：全部验证所得出的结论是可靠的，因为考察了问题涉及的所有对象;部分验证得出的结论不一定可靠，因为只考察了问题涉及的部分对象. 问题4带出了本课研究的主题，不论是乌鸦问题，还是数列问题，都涉及了无限多个对象，我们不可能一一验证，那么有没有一种方法可以通过有限的步骤就能证明无限的结论？进而引发学生“心求通而未得，口欲言而未能”的愤悱状态.

线面垂直的判定定理也具有用有限步骤证明无限结论的特征，只需验证平面外的直线垂直于平面内的两条相交直线（有限的步骤），就可以证明该直线垂直于平面内的所有直线（无限的结论）. 线面垂直判定定理的探究经验将有助于本节课对数学归纳法本质特征的理解.

2. 感悟生活，探究新知

为了实现多米诺骨牌游戏原理向数学归纳法原理的转化，本环节共创设了三个问题情境和一系列“问题串”.

问题5：数学问题来源于生活，数学问题的解决也可以在生活中找到方法. 请观看多米诺骨牌游戏的录像并思考：要使得多米诺骨牌全部倒下需要哪些关键条件？

问题6：多米诺骨牌游戏告诉我们，只要保证两个关键条件成立，不论有多少骨牌都可以全部倒下. 我们能否类比多米诺骨牌游戏的原理，证明问题3的猜想：an=■？

问题7：一般地，要证明一个与正整数n有关的命题，需要满足什么条件？

数学归纳法原理的生活原型有很多，比如多米诺骨牌游戏、烽火台传递警报、放鞭炮、单车整排倒下、积跬步以至千里等实例，但最为合适的当属多米诺骨牌游戏[3]. 该游戏的玩法虽然简单，效果却很震撼，几乎所有学生都玩过，而且记忆深刻;更重要的是，該游戏的原理和数学归纳法的原理极其相似，因此它能给学生提供容易类比的生活经验. 教师给学生播放两遍多米诺骨牌游戏的录像，随后将录像定格在刚开始推倒骨牌时的画面并提问：要使得多米诺骨牌全部倒下需要哪些关键条件？再减少一个条件行不行？为什么不行？学生在教师的引导下，通过自己的观察、思考，与同学的交流、讨论，不断完善对多米诺骨牌游戏原理的认识. 教师再根据学生的回答整理成文：①第一块骨牌倒下;②假设第k块骨牌倒下，则相邻的第k+1块骨牌也倒下（任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下）;③由①②可得，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 原理的第一个条件是基础，是游戏启动的开关，第二个条件是向后传递的依据，保证骨牌能依次倒下，两个条件缺一不可.

多米诺骨牌游戏的原理反映的只是自然规律，并不是数学原理. 只有把多米诺骨牌游戏的原理类比到数学之中，才能实现原理的迁移，抽象出数学归纳法的原理. 我们能否类比多米诺骨牌游戏的原理，证明问题3的猜想：an=■？如何类比？给学生充分的时间思考、探究，教师适时引导、追问和进行小结.