载流子带正负电时的安培力的起源及其霍尔效应

周啸峰

首先，由于许多读者对于载流子为电子的常规情况有所误解，所以先对其进行解释。

下面是几种常见的解释，但其中或多或少都存在一些问题：

1 通过碰撞来传递的解释

由于导体中的电流是由自由电子的定向移动形成的，在磁场中电子受到洛伦兹力作用而向侧向漂移，与晶格上的正离子进行碰撞，把力传给导线，所以载流导线在磁场中也要受到磁力的作用，把这个力叫做安培力。

對于这种解释有以下几个比较矛盾的地方：首先，电子手洛伦兹力，而洛伦兹力并不能改变电子动量的大小，所以也就无法给晶格提供动量，并且由于并不是正碰，所以不就会有纵向的安培力，还应该会有沿导线方向的安培力但是在实际中沿导线方向的安培力并不存在。其次，由于安培力是持续的那么碰撞也是持续的，这将导致晶格热运动加剧，不断产生焦耳热，那么也就是说给分别处于磁场内外的两条相同的导线同意相同的电流，磁场内的那条导线应该产生更多的热，然而实际的实验过程中并非如此。再者，当产生的霍尔电场对电子的力与磁场对于电子的力相等时便不再会有离子的偏移，安培力就应该不存在了，然而安培力是一直存在的。这几点疑问说明给解释并不完备。

2 经典的导电理论解释

金属导体是由带正点的原子实组成的晶格结构，晶格之间有带有负电的自由电子，同样加上一个磁场之后，会产生霍尔效应，进而产生霍尔电场，电子在霍尔电场力与洛伦兹力的作用下会保持平衡，但是带正电的晶格会因此受到一个霍尔电场的电场力，宏观上表现为安培力。这种解释方法看似十分可信，但其实也存在一定的问题，即带正电的晶格所受的电场力为载流导体的内力，不存在宏观的表现。

3 载流子解释

当载流导体处在磁场中时，磁场以洛伦兹力作用于漂流运动的载流子，载流子以电流作用于分布在导体表面的电荷，这些电荷既受载流子的作用又受到晶格正离子的作用和力为零，而他们对正离子的作用力就表现为载流导体所受的安培力，即分布在导体表面的电荷对导体的作用。这种解释方法对一些概念进行了混淆，首先导体表面的但和不等价于载流子，因为一部分在导体表面累计，另一部分仍然在导体内部移动，安培力应等于全体载流子在洛伦兹力作用下的效果，且导体表面的载流子不只受这几个力，还受到来自电源稳恒驱动电场的作用从而纵向运动，受到洛伦兹力。

分析了以上几种常见的，但是并不完善的解释，想必读者一定十分困惑，下面就来对安培力产生的机理进行一下讨论：首先，安培力与洛伦兹力的区别很大，安培力为电流源受到的宏观力，而洛伦兹力是带电粒子受到的力。其次，我们还要认清在本问题中的内力和外力，我们可以这样认为，晶体中本来就存在将电子与正电子结合在一起的力场。安培力是电流源的所有组分所受的洛伦兹力的宏观表现。而我们研究的对象是电流元整体，电流源是一种宏观极小微观极大的物体，组成电流源的正负离子之间是存在着非常复杂的相互作用力的，形成一个非常复杂的电场，并不是只用一个洛伦兹力就能解释清楚的，这个力场会使他们结合起来，并且使组成他们的电流元的电子和正离子的作用的洛伦兹力作用到电流元上，从而体现出安培力的作用。

下面在研究当载流子为正离子的情况下的安培力的起源之前，由于我们已经搞懂了当载流子为负离子的情况下的原理现在我们需要先研究一下两者之间的关系，看我们刚刚的讨论结果是否能再次应用。由于半导体既存在负电荷为载流子又存在正电荷为载流子，所以就以半导体的代表硅为例进行解释。每个硅原子有四个价电子，硅晶粒内的每个硅原子都受到邻近的4个硅原子的束缚，这个原子的每个价电子都与相邻原子的价电子结合在一起组成一个共价键。虽然是价电子，但因受到本原子及4个相邻的院子的原子实的作用所以并不自由。当温度较高时，或者有其他因素影响时，价电子的平均动能较大，少数价电子可以挣脱共价键而成为自由电子，并使自己的原位置被腾空，这种共价键内的空位称为空穴。空穴在外电场的作用下也能运动，因而也能导电。其原理是：由于硅的禁带较窄，电子只需要不多的能量就能从价带激发到导带，从而在价带中留下空穴。周围电子可以填补这个空穴，同时在原位置产生一个新的空穴，因此实际上电子的运动看起来就如同是空穴在反向移动。所以空穴与电子一样可被视为载流子，空穴导电其实是一系列共价键中的电子一个一个的填充空穴的运动。但这种只由热激发的运动的导电率较低。比如在+5价的元素磷。一个磷原子有5个价电子，其中四个与相邻的4个硅原子结合成共价键，而第五个由于不受束缚很容易成为自由电子。虽然还有空穴也进行导电，但是主流的还是电子，相反若加上+3j价的元素，就会空余一个空穴，导致空穴运动导电，也就是我们所说的这点和导电，利用此原理还可制作二极管。

由此可知，表面上的正负电荷的载流子的运动，实际上都是电子的运动，所以其各方面受力都是与刚刚我们得出的结论相同，所以说载流子为正电荷时的安培力的起源也就清楚了。

既然我们已经谈到了载流子的正负等概念，下面就对正

负载流子对于霍尔效应的影响再来进行一下讨论：首先，我们要明确，晶体内的电子与晶格的原子实之间都会或多或少的存在相互作用力，即使是自由电子也不例外，所以在讨论时要涉及内部作用的影响。加速度是外力与内部作用的综合结果，但是也可以写成表面上与之无关的牛顿第二定律的形式，只是质量要改成有效质量。对于空穴导电的情况，计算表明电子的有效质量小于零，所以这样我就可以把它看成一个质量大于零，电荷大于零的离子的加速度，能带论中把这种粒子称为空穴，所以现在就可以很好的解释正负电荷时的霍尔效应了：

如果存在两种载流子的情况，分别设其浓度为n和p，驰豫时间为τ_e和τ_h，质量分别为m_e和m_h，则在高斯单位制下，空穴与电子的迁移率分别为：

若我们在x方向施加电场，在z方向施加磁场，则空穴与电子在y方向上引起的电场为。

当稳定的霍尔电场还没有形成之前，在样品的y方向所引起的总电流为：

在稳定平衡的情况下，横向霍尔电场E_y将阻止载流子沿y方向的偏转，载流子不受y方向的里的作用，从而使y方向的电流为零。所以E_y应该满足：

解得霍尔电场为：

且x方向的电流为：

则我们可以得到，当有两种载流子浓度的时候，系统的霍尔系数为：

（作者单位：北京师范大学）