平面直角坐标系中点的平移与函数图像平移的区别

姜百军

【摘要】 点的平移口诀是“左减右加，上加下减”，函数图像的平移规律为“左加右减，上加下减”.

【关键词】平移;坐标;图像;口诀;规律

在初中七年级，同学们会学习平面直角坐标系中点的平移变化，在八年级会学习平面直角坐标系中一次函数图像的平移及解析式的变化，在九年级会学习平面直角坐标系中二次函数图像的平移及函数关系式的变化.这几种变化困扰着许多同学，容易混淆变化规律，下面就点的平移和函数图像平移做一些探究.

一、平面直角坐标系中点的平移

在人民教育出版社七年级下册《数学》第七章中，学习了平面直角坐标系后，平面直角坐标系中的点发生一些左、右、上、下等平移变化，那么随着点的位置的变化，点的坐标该如何变化呢？

例1 在平面直角坐标系中有一点A（-2，-3）.

（1）把点A向左平移3个单位得到点A1的坐标为;

（2）把点A向右平移5个单位得到点A2的坐标为;

（3）把点A向上平移4个单位得到点A3的坐标为;

（4）把点A向下平移2个单位得到点A4的坐标为;

（5）把点A向右平移2个单位再向上平移4个单位得到点A5的坐标为.

分析 如图1，通过平面直角坐标系中点的平移作图我们可以写出各点的坐标分别为：A1（-5，-3），A2（3，-3），A3（-2，1），A4（-2，-5），A5（0，1）.

结合图像，我们观察点A的横纵坐标变化，就会发现点A（-2，-3）向左平移3个单位得到点A1（-5，-3），横坐标减去了3，纵坐标不变;点A（-2，-3）向右平移5个单位到点A2（3，-3），横坐标加上了5，纵坐标不变;点A（-2，-3）向上平移4个单位得到点A3（-2，1），横坐标不变，纵坐标加上了4;点A（-2，-3）向下平移2个单位得到点A4（-2，-5），横坐标不变，纵坐标减去了2;点A（-2，-3）向右平移2个单位再向上平移4个单位得到点A5（0，1），横坐标加上了2，纵坐标加上了4.

我们观察这些点的坐标变化，就会发现规律：点A（x，y）向右平移几个单位，就在横坐标上加上几，纵坐标不变;点A（x，y）向左平移几个单位，就在横坐标上减去几，纵坐标不变;点A（x，y）向上平移几个单位，就在纵坐标上加上几，横坐标不变;点A（x，y）向下平移几个单位，就在纵坐标上减去几，横坐标不变;如果点A（x，y）向两方向平移，那么两个坐标同时变化即可.总结为简单的口诀就是“左减右加，上加下减”，注意“左减右加”变化横坐标，“上加下减”变化纵坐标.

二、平面直角坐标系中函数图像的平移

（一）一次函数图像的平移

在人民教育出版社八年级下册《数学》第十九章中，学习了一次函数图像的平移变化，它到底有怎样的变化规律呢？

例2 已知一次函数y=2x+1.

（1）把它的图像向左平移1个单位可得直线的解析式为;

（2）把它的图像向右平移2个单位可得直线的解析式为;

（3）把它的图像向上平移3个单位可得直线的解析式为;

（4）把它的图像向下平移3个单位可得直线的解析式为.

分析 如图2，把直线y=2x+1向左平移1个单位可得直线y=2x+3，也就是在原自变量x上加上1，即y=2（x+1）+1=2x+3.

把直线y=2x+1向右平移2个单位可得直线y=2x-3，也就是在原自变量x上减去2，即y=2（x-2）+1=2x-3.

把直线y=2x+1向上平移3个单位可得直线y=2x+4，也就是在常数项上加上3，即y=2x+1+3=2x+4.

把直线y=2x+1向下平移3个单位可得直线y=2x-2，也就是在常数项上减去3，即y=2x+1-3=2x-2.

我们观察这些变化情况，发现直线y=kx+b（k≠0）在平移变化时，k不发生变化，只在自变量x和常数b处发生了变化.直线y=kx+b向左平移a个单位，解析式就会变为y=k（x+a）+b;直线y=kx+b向右平移a个单位，解析式就会变为y=k（x-a）+b;直线y=kx+b向上平移a个单位，解析式就会变为y=kx+b+a;直线y=kx+b向下平移a个单位，解析式就会变为y=kx+b-a.如果向两个方向同时移动，那么x和b同时变化即可.总结规律为“左加右减，上加下减”，要注意“左加右减”整体变化自变量，“上加下减”变化常数项.

（二）二次函数图像的平移

在人民教育出版社九年級上册《数学》第二十二章中，同学们会学习二次函数图像的平移变化，下面我们来探究它的变化规律.

例3 已知抛物线y=-2x2-1.

（1）把它的图像向左平移1个单位得到二次函数图像的解析式为;

（2）把它的图像向右平移3个单位得到二次函数图像的解析式为;

（3）把它的图像向上平移2个单位得到二次函数图像的解析式为;

（4）把它的图像向下平移3个单位得到二次函数图像的解析式为;

（5）把它的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数图像的解析式为.

分析  如图3，抛物线y=-2x2-1的顶点坐标为（0，-1），把y=-2x2-1的图像向左平移1个单位，抛物线的开口方向和开口大小没发生变化，因此解析式中a值不变，顶点（0，-1）向左平移了1个单位得到（-1，-1），由二次函数顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0，顶点坐标为（h，k）），得平移后抛物线解析式为y=-2（x+1）2-1 .

同理，把y=-2x2-1的图像向右平移3个单位，顶点（0，-1）平移到了（3，-1），得解析式为y=-2（x-3）2-1;把y=-2x2-1的图像向上平移2个单位，顶点（0，-1）平移到了（0，1），得解析式为y=-2x2+1，也就是由y=-2x2-1+2化简得到;把y=-2x2-1的图像向下平移3个单位，顶点（0，-1）平移到了（0，-4），得解析式为y=-2x2-4，也就是由y=-2x2-1-3化简得到;把y=-2x2-1的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，顶点（0，-1）平移到了（-2，2），得解析式为y=-2（x+2）2-1+3，即y=-2（x+2）2+2.

对于二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）或顶点式y=a（x-h）+k（a≠0），在图像平移变化时，解析式的变化都遵循规律“左加右减，上加下减”，要注意“左加右减”变化每个自变量，“上加下减”变化常数项，这和一次函数图像平移是一样的.

例4 （1）把二次函数y=-3x2-x+1的图像向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的函数解析式为.

（2）把二次函数y=-2（x-3）2+2的图像向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到的函数解析式为.

分析 此类题目遵循图像平移规律“左加右减，上加下减”，需要注意在向左右平移时每个自变量x都要变化，向上下平移只变化常数项.第（1）题平移后的解析式为y=-3（x+3）2-（x+3）+1-2，即y=-3x2-19x-31.第（2）题平移后的解析式为y=-2（x-3-5）2+2+3，即y=-2（x-8）2+5.

总之，点的坐标平移变化规律是“左减右加，上加下减”，注意“左减右加”变化横坐标，“上加下减”变化纵坐标;函数图像平移的变化规律为“左加右减，上加下减”，要注意“左加右减”变化自变量，“上加下减”变化常数项.