具有卷积的弱自反环

2020-01-15高蓓蕾王改霞

安徽工业大学学报（自然科学版） 2019年3期

高蓓蕾，何萍，王改霞

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

环的自反性是由群的正交子群推广来的，Thierrin[1]将环中具有“ xy ∈H ⇒yx ∈H ”性质的子集定义为正交。Mason[2]定义了环的自反性概念，将具有自反性的环称为自反环。若对任意a,b ∈R，由ab=0 可推出ba=0，则被称为完全自反环（可逆环）。Kwak等[3]论述了自反环的一些定理和结论，定义了幂等自反环并研究了其性质。Zhao等[4]将自反环作进一步的推广，给出α-自反环的定义及相关结论。Kwak等[5]将满足性质aRb=0 ⇒bRα(a)=0 的环称为右α-斜自反环，类似地也定义左α-斜自反环，并将同时满足左、右α-斜自反的环称为α-斜自反环。Chakraborty[6]给出了中心自反环的定义及相关结论。由此表明，自反环已被大量学者关注和研究。本文在已有研究基础上研究具有卷积的自反环，推广经典环扩张的结论。

1 预备知识

若对任意的a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa=0，称R 为自反环[8]。显然，每个可逆环都是自反环。弱自反环是自反环的推广，称环R 是弱自反环，如果对所有的a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa ⊆N(R)[8]。更一般地，环R 被称为*-自反的，如果对任意a,b ∈R，由aRb=0，可推出aRb*=0。受上述研究启发，定义并引入具有卷积的弱自反环即弱*-自反环，研究具有卷积的弱自反环的性质。显然，弱*-自反环是*-自反环和弱自反环的推广。本文证明每一个弱*-可逆环是弱*-自反环。

2 弱*-自反环的性质

定义1若对于任意a,b ∈R，由aRb=0 可推出bRa*⊆N(R)，则称环R 为弱*-自反环。显然，每一个*-自反环都是弱*-自反环，且条件bRa*⊆N(R)和aRb*⊆N(R)是等价的。

命题1若R 是约化的弱*-自反环，则R 是*-自反环。

命题2设R 和S 是两个环，且τ:R →S 是个同构，那么

1) *是R 的一个卷积当且仅当τ(*):=τ°*°τ-1是S 的一个卷积；

2) R是*-自反的当且仅当S 是τ(*)-自反的；

3) R是弱*-自反的当且仅当S 是弱τ(*)-自反的。

证明1)显然，τ(*):=τ°*°τ-1是S 的一个2阶反自同构，且τ-1°τ(*)°τ=*是R 的一个2阶反自同构。易知，若*是R 的一个卷积，则τ(*)是S 的一个卷积。类似地，若τ(*)是S 的一个卷积，则*是R 的一个卷积。2)若R 是*-自反的，则对于任意的a,b ∈S,满足aSb=0,那么

因此

从而

由此，S 是τ(*)-自反的。反之亦然。

3)的证明与2)的证明类似。

命题3设R 是环，则以下条件等价：

1) R 是弱*-自反的；

2)对于R 的任意两个非空集合A，B，若ARB=0，则BRA*⊆N(R)；

3)对于R 的所有右（左）理想I，J，若IJ=0，则IJ*⊆N(R)；

4)对于R 的所有理想I，J，若IJ=0，则JI*⊆N(R)。

2)⇒3)任取R 的两个右理想I，J，令IJ=0，有IR=I，IRJ=0，由2)可知，JI*=JRI*⊆N(R)。对R 的左理想，可类似证明。

3)⇒4)证明是直接的。

4)⇒1)对任意的a,b ∈R，令aRb=0，那么RaRRbR=0，由4)知

因此，R 是弱*-自反的。

命题4每个*-可逆环是弱*-自反的。

证明如果R 是*-可逆环，那么R 是对称环[6]。对任意a,b ∈R，令aRb=0，可推出ab=0，因此ba*=0。又每个对称环都是半交换的，因此bRa*=0。

定义2若对任意的a,b ∈R，由ab=0 可得ba*∈N(R)，环R 为右弱*-可逆的。左弱*-可逆环可类似定义。如果R 既是右弱*-可逆环又是左弱*-可逆环，那么R 被称为弱*-可逆环。

命题5设R 是环，则以下结论成立：

1)如果R 是弱*-可逆环，那么它是弱*-自反的；

2)如果环R 是弱*-自反和半交换的，那么它是弱*-可逆的。

证明1)设R 是弱*-可逆环，若对任意a,b ∈R，有aRb=0，那么ab=0，且对任意r ∈R，有abr=0。由弱*-可逆环的定义可知bra*⊆N(R)，即bRa*⊆N(R)。因此R 是弱*-自反的。

2) 设R 是弱*-自反和半交换的环，若对任意a,b ∈R，有ab=0，由R 是半交换环，可得aRb=0，那么bRa*⊆N(R)，又1 ∈R，所以ab*∈N(R)。

3 弱*-自反环的一些扩张

命题6对于*-环R，如果卷积*是半刚性的，那么R 是弱*-自反的。

证明若环R 的卷积*满足题设条件，那么对任意a,b,r ∈R，若aRb=0，则有0=(ar*b*Rb)ra*=(bra*)*Rbra*。又卷积*是半刚性的，因此bra*=0，故bRa*=0 且bRa*⊆N(R)。

定义3对任意的a ∈R，如果a=a*，那么称a 是自共轭的。特别地，对于*-环R 的幂等元e，如果e*=e=e2，那么称e 是R 的一个投射。

命题7对于*-环R，以下条件等价：

1) R 是弱*-自反的；

2)对任意的e ∈R，eRe 是弱*-自反的；

3)对任意的中心幂等元e ∈R，eR 是弱*-自反的。

证明2)⇒1)是显然的。

若1)⇒2)R 是弱*-自反环，e2=e=e*∈R，那么对任意的eae,ebe ∈eRe，满足

有

因此，

即eRe 是弱*-自反的。

1)⇒3)由于每个中心幂等元都是投射，证明是显然的。

设R 是环且RMR是双模，则环R 关于M 的平凡扩张T(R,M)=R⊕M 是一个环，其加法运算是矩阵的普通加法，乘法运算定义如下：

说明：如果R 是*-环，T(R,R)是R 关于R 的平凡扩张，那么-*：T(R,R)→T(R,R)，即是T(R,R)上的一个卷积。

引理1[9]如果对任意a,b ∈R,aRbRb=0（或aRaRb=0)当且仅当aRb=0，称R 是半素环。

命题81) 如果平凡扩张T(R,R)是弱*-自反的，那么R 是弱*-自反的。

2)如果*是环R 的半刚性卷积，那么T(R,R)是弱-*-自反的。

证明1)若平凡扩张T(R,R)是弱-*-自反的，那么对任意的a,b ∈R 且满足aRb=0，有

又T(R,R)是弱-*-自反的，

因此bRa*⊆N(R)，即R 是弱*-自反的。

2)如果环R 的卷积*是半刚性的，那么R 是半素环和弱*-自反环。令

故有a1Ra2=0,

式(1)两边右乘sa2，可得

根据引理1，有

得

那么a1Rb2=0。又R 是弱*-自反的，有

推论1若R 是约化的弱*-自反环，那么T(R,R)是弱-*-自反环。

命题9若{Ri∶i ∈I}是一类弱*-自反环，那么⊕i∈IRi是弱*-自反环。

如果对任意r ∈R，ur=0，有r=0，环R 的一个元素u 被称为右正则的。左正则可类似定义。一个既是左正则又是右正则的元素叫做正则元。对于一个*-环R，若Δ 是由R 的中心正则元组成的乘法幺半群，那么Δ-1R={u-1a|u ∈Δ,a ∈R}是个环。若I=I*，那么-*：Δ-1R →Δ-1R(满足(u-1a)*=(u*)-1a*)是Δ-1R 的一个卷积。

命题10对于一个*-环R，R 是弱*-自反的当且仅当Δ-1R 是弱-*-自反的。证明若R 是弱*-自反环，对任意的u,v ∈Δ，a,b ∈R，u-1a,v-1b ∈Δ-1R，有

那么aRb=0，根据条件又有bRa*⊆N(R)。则

因此Δ-1R 是弱-*-自反的。

反之，若Δ-1R 是弱-*-自反的，且对任意的a,b ∈R 有aRb=0，那么a(Δ-1R)b=0。又Δ-1R 是弱-*-自反的，

所以有bRa*⊆N(R)，即R 是弱*-自反的。

若R 是交换环S 上的一个代数，R 关于S 的Dorroh扩张是R 的扩环D=(R,S)，其中ri∈R 和si∈R,D 上的乘法运算为：(r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2)。如果R 关于卷积*是一个代数，那么有卷积-*：D →D（满足(r+s)-*=(r*,s))。

命题11若R 是交换环S 上的一个代数，那么R 是弱*-自反的当且仅当R 关于S 的Dorroh扩张是弱*-自反的。

证明由于每个s ∈S 可以写作s=s·1R，R={r+s ∶(r,s)∈D}。若R 是弱*-自反的，