中英两国高中数学课程标准中空间向量与代数内容的比较研究

(苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州 215000)

一、问题的提出

高中空间向量和代数课程的开放和定位一直是国内外教育研究的重点。各国高中空间矢量与代数内容差异很大：有些只涉及空间矢量代数和矢量群的线性运算；有些扩展到等距转换；有些还包括转换矩阵和转换组。同时，理论深度也存在很大差异：有些纯粹是工具性的，学生只要用公式来解决问题；有的则利用描述和几何可视化的结合来解释空间向量和代数的基本原理，使学生能够理解空间向量和代数的基本思想和方法；有些人采用理论上强有力的定量分析开展教学。自2003年以来，中国的《普通高中数学课程标准(实验)》以逾越线性空间和线性变换的形式来进行空间向量与代数教学，引入了空间向量和代数内容(选修)。然而，中国高中的空间向量和代数教学仍然面临着许多问题。

2014年9月，英国教育部发布了英国国家课程NCE2014，旨在制定三个核心科目：英语、数学和科学。每年，Cambridge International Examinations(简称CIE)都会公布当年AS and A Level数学课程标准。空间向量与代数新课程标准内容翔实、全面，评价方法多样。而我国于2016年8月颁布了《普通高中数学课程标准(修订)》(以下简称中国标准)进一步丰富和深化了空间向量和代数的内容[1]。课程标准在指导课程设计、教材编写和教学实施等方面发挥着重要作用。基于以上情况，本文选择了中英两国的高中数学课程标准作为基础材料，对空间向量和代数的内容进行了比较。通过比较，进一步阐明其特点和差异，从而得出结论，希望对我国高中空间向量与代数教学有所启发。

二、研究设计

(一)研究对象的选取

本文以中英两国高中数学课程标准中的空间向量和代数内容为研究对象。

一方面，从区域背景来看，英国位于欧洲大陆，是世界第六大经济体系，也是世界上最富有、最发达和生活水平最高的国家之一。中国位于亚洲大陆，是中等收入发展中国家，亚洲最具影响力的国家和亚洲最大经济体。选择这两个国家进行比较，有利于研究结果在两大洲的发展和推广。

另一方面，在文化教育领域，1982年1月，英国发布了《科克罗夫特报告》，全面总结了近20年来中小学数学教育的经验教训。1989年颁布了全国第一部统一的数学课程标准，1991年、1995年、1999年、2014年进行数次修订。同时，每年都会重新修改和确定AS and A Level数学课程标准；中国2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》，2016年颁布了基于“核心素养”的《普通高中数学课程标准(修订)》。这表明两国都一直在探索和改革高中数学课程标准。通过比较研究，可以为两国教材中空间向量和代数内容的表述和教学策略提供一些建议。

其中，两国的课程标准如下：中国，2016年教育部制订的《普通高中数学课程标准(修订)》；英国，2018年CIE制订的“AS and A Level Mathematics课程标准”。

(二)研究思路与方法

本文以A Level 2018级为依据，分析了空间向量和代数的内容，并与我国现行课程标准中空间向量和代数的内容进行了比较。本文主要采用了文献综述、比较研究等教育研究策略。

三、A Level中空间向量与代数内容介绍

在英国的高中数学教学中，空间向量和代数的内容主要出现在基础数学和进阶数学两门独立的课程中[2]。学生可以选择一门课程学习。在A Level中关于代数学的内容说明如表1所示。

表1 代数学的内容说明

由表1可知，在代数教学内容中，就已开始渗透线性空间思想，这样有利于高年级的学生从直观上理解空间概念。基于1982年1月《科克罗夫特报告》的研究建议，NCE2014将评价的任务按照认知水平分成了6类，表2给出了在对学生进行评价时，每种层次的任务水平及其在空间向量与代数教学中的例子。

表2 评价的认知水平划分

表3把A Level2018中空间向量与代数部分内容列了出来。其中第一栏是课程说明，包括基本概念、性质、定理和教学目标；第二栏是以例子的形式加以注释或补充说明具体内容所处的认知水平，给教师提供教学建议。

表3 A Level中空间向量与代数内容

四、中、英标准中空间向量与代数内容的比较(见表4)

(一)相同点

1.立足于学生

英国标准中提出：学校以一种鼓励自信的方式发展学生的数学知识和技能，并提供满足和享受。中国标准中明确提出：学生发展为本，立德树人，提升素养。高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养[3]。

2.有相同的知识点

(1)对向量的严格定义：英国标准中定义n个有顺序的数a1,a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量，记作a=(a1,a2,…,an)。中国必修4中定义既有大小又有方向的量叫做向量，随后给出其坐标表示。

表4 中英两国向量定义的比较

(2)向量的加减法和纯量乘法：英国要求执行向量的加法和减法以及用标量乘以向量，并用几何术语解释这些运算。中国选修2-1要求经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(图1)。

(3)向量的标量积：英国要求计算向量的大小和两个向量的标量乘积使用标量积来确定两个方向之间的角度，并解决有关矢量垂直度的问题。中国必修4要求掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

(4)空间向量确定直线与平面的位置关系：英国要求使用直线和平面的方程来解决有关距离、角度和交叉点的问题，特别是给定直线和平面的方程；给定足够的信息确定线是否位于平面中；是平行于一个平面，或与一个平面相交，并找到一条线与一个平面相交的点；当两个非平行平面有交线时，从平面内一个点到另一个面的垂直距离，从平面内一个点到另一个平面内直线的垂直距离，以及直线和平面之间的角度等问题。中国标准要求能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量[4]；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系；能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理[5]；能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题。

3.体现了对分层教学的重视

英国的数学学科直接分为基础数学与进阶数学两门独立数学，教学内容有所差异，难度不同，满足不同层次的教学需求。

中国则是采用选修和必修的方式，对于理科学生来说，通过选修课的学习，掌握更深层次的内容。

(二)不同点

1.含有一些不同的知识点

中国内容比英国要多，主要体现在选修2-1上；中国标准除了掌握向量的定义与基本运算外，还需要掌握常见平面等距变换及其矩阵表示。了解空间变换的含义，理解空间的等距变换，特别是三种常见等距变换：平面反射、平移、旋转。了解空间对称图形及变换群。对学生的代数提出了更高层次的要求。

2.对某些相同知识点的要求程度不同(图2)

对于向量模的定义与应用，英国要求理解|x|的含义，并在求解方程和不等式的过程中使用诸如|a|=|b|⟺a2=b2，|x-a|

中国必修4则更注重要求会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用，借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

3.结构编排不同

英国是在一开始通过有序数组定义向量，再通过坐标系上的点引入向量的直观表示，接着还原数组本身的性质，对向量的夹角、模等概念进行介绍。如此编排有利于学生在以后学习无限维线性空间时，理解向量的含义。

而中国必修4部分则是先通过二维坐标系中点的移动定义向量，再在选修4-1中将向量提升到三维，先产生直观上的理解，再推广至n维，更利于学生理解。

4.数学文化的重视程度

中国必修4要求收集有关空间向量与代数创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要的历史人物和事件(克拉默、笛卡尔等)，个人撰写或者小组合作，形成一篇关于空间向量与代数创立与发展的研究报告，在班级中进行交流。英国没有相关内容。

5.学科之间的交叉与渗透

中国必修4要求了解向量概念的实际背景，知道向量是对外力的数学表达，选修2-1要求借助物理背景与几何背景理解向量的意义，解决关于运动的物理实际问题，并以风力作为详细案例举例，体现了和物理学的交叉。英国没有相关学科之间的交叉与渗透。

五、思考与建议

通过以上比较分析，我们发现两国都非常重视高中的空间向量和代数教育。两者都有许多共同的基础知识点，在教学中都非常重视按认知水平分类。在内容要求方面，中国引入了变换的矩阵表示与变换群的概念，而英国更多的是对向量的阐述与不等式的运用；在数学能力培养中，中国更注重从二维空间到三维空间的转换能力，而英国通过n维向量直接定义它们，然后研究它们的一般性质；在应用方面，中国明确提出了用向量法求解简单平面几何、力学等实际问题，体会向量在求解数学和实际问题中的作用，而英国则更加注重向量本身的运算。通过比较分析，提出以下两点建议。

(一)根据中国标准中空间向量和代数的内容，对大学数学教学内容进行相应调整

与2003年出版的《普通高中数学课程标准(实验)》相比，2016年出版的《普通高中数学课程标准(修订)》进一步丰富和深化了空间矢量和代数内容。以等距变换为例：前者强调对空间转换意义的定性描述，但不要求对其有严格的数学定义和透彻的理解。而后者则明确要求学生掌握常见平面等距变换及其矩阵表示，这为在大学数学教学中通过运用线性变换对应的基与矩阵的方式，深入讨论线性变换的各种性质，以及讲解合同变换、相似变换、正交变换等概念做好了铺垫。此外，中国标准还增加了要求学生了解空间对称图形及变换群，这可以将变换提升到现代代数的高度。通过引入群，学生可以学习和发展代数语言和代数观点。因此，考虑到新老课程标准在空间向量和代数内容上发生的变化，为避免大学数学教学内容与现行课程标准、中学数学教科书存在重叠或脱节现象，必须紧密结合中国标准，加强高校数学教材建设，优化教材内容、知识体系、教学形式分析和教学策略。

(二)在空间向量和代数的教学中，加强操作学习的使用

根据学习活动对象的不同形式，可以区分以下基本的学习类型或模式：符号学习、操作学习、交际学习、反思学习和观察学习，这些类型的学习在中国标准中有详细而具体的要求，在教学实践中得到了很好的落实。然而，操作学习在具体教学中的应用和研究相对较少。操作学习是指学习者学习实际事物的操作或身体器官的动作。在数学课堂教学中，其主要表现形式是运用现代信息技术，在教师的指导下，通过自身的操作、观察、思考、比较和分析，探索数学知识的变化规律，研究它的性质。要特别重视信息技术与教学内容的有效整合，依靠信息技术的优势处理传统教学中难以传授的内容，鼓励学生使用计算机、计算器等进行自主探索和发现。实施操作学习对教师、学生和教育技术平台三者都有更高的要求。在空间向量和代数教学中，《普通高中数学课程标准(实验)》没有给出具体的知识点、方法和要求。因此，近十年来，在空间向量与代数教学中，关于操作学习的示范案例和教学研究很少。操作学习对学生数学思维的培养有诸多益处，以中国标准中向量空间和子空间的教学为例，当教师引导学生用“向量加法与纯量乘法封闭”来定义子空间时，操作性学习有助于学生理解“向量加和纯乘都在空间中”的过程。由于现行课程标准增加了大量的空间向量和代数内容，许多老知识点在难度上也加深了。因此，加强操作学习在空间向量和代数教学中的应用，有助于减少学生的学习困难，提高学生学习的积极性。