立体几何问题中的易错点剖析

吴凯

立体几何是高中数学重要内容之一，高考常考题型有三视图、线面位置关系的证明与判断、空间角的计算、动态问题、翻折问题等，其主要考查同学们的空间思维能力和逻辑推理能力，有时一些角度和距离问题也可以用空间向量来解决，较多问题属于基础题，难度适中。同学们在复习过程中会因认知受限，容易出现错解，本文对立体几何中的易错问题归类剖析，以助同学们解题时能乘风破浪，所向披靡。

易错点1——忽视了三视图中的虚线点睛：在三视图中，规定看得见的棱画成实线，看不见的棱要画成虚线，因此，我们在看三视图时一定要看清楚虚实线。

易错点2——混淆了三视图中长度的真正意义

例2 已知某幾何体的三视图如图4所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为____，最长棱长为 ___ 。

错解：最短棱长为√2;最长棱长为2√2。

错因剖析：将正视图和侧视图中的√2当作了底面边长，实际上，正视图中的√2指的是OA和OC的长，侧视图中的√2指的是OB和OD的长。

正解：根据三视图画出其直观图，该几何体是一个四棱锥（如图5），通过计算，易知最短棱PD及底面边长均为2，最长棱为PB =2√3。

点睛：三视图中的线段长并不能简单地认为就是棱的实际长度，当棱平行于所视方向时，看到的只是一个点，当棱斜对所视方向时，看到的长度小于实际长度，只有当棱垂直所视方向时，它代表的才是实际长度。

易错点3——无法～断翻折问题中角度的大小变化

例3 如图6，在矩形ABCD中，AB =4，AD=3，E为边AD上的一点，DE=1，现将△ABE沿直线BE折成△A' BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A '-BE-C的大小为θ，直线A'B，A'C与平面BCDE所成的角分别为a，β，则（

）。

A. β

B.β<θ

C.a<θ<β

D.a<β<θ

错解：A或B或C。

错因剖析：翻折前后，对于长度、角度及相互的位置关系是否发生变化不能准确判断，尤其是线面角、二面角的大小就更加难于辨别。

点睛：在判断空间角度大小的时候，由角度的正切值可以知道，在高一样的条件下，角度的大小等价于考虑射影的长短，射影越短而角度越大。

易错点4——未能将空间问题“平面化”

错因剖析：本题综合性较强，条件多且复杂，难度大，要求考生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力，尤其是在“过动点P形成的两条直线与平面a所成角相等”这个问题上需要合理的等价转化，得到PB =2PA的数量关系，进一步获得动点P的轨迹，最后通过数形结合找到结论所处的临界位置获得答案。

错解：不能确定点G的正确轨迹，无法计算。

错因剖析：如同例3，本题也是翻折问题下的一个动态问题，若能明确动点P的轨迹，却不能确定CP的中点G的轨迹，倘若建立空间直角坐标系计算其轨迹运算量也不小，且有可能计算出错。

正解：连接AF，交DE于点O，易知O是DE，AF的中点，则点P的轨迹是以O为圆心，Ao为半径的半圆，其轨迹如图11中的弧APF。依题意有AE=AD=2，所以AO=√2，故点P的轨迹长度为√2π。

连接AC，设AC的中点为G1，CF的中点为G2，连接G1G2，所以G2G2 //AF，由已知得G是CP的中点，连接GG1，GG2，AP，PF，则在点P运动的过程中GG1始终为△APC的中位线（因为GG1 //AP），GG2始终为△CPF的中位线（因为GG2 //PF），所以△GG1 G2∽△PAF。由相似三角形的性质易知，点G运动的轨迹长度即弧G1 GG2的长度，为弧APF长度的一半，即动点G的轨迹长度为√2π/2。

点睛：在解析几何中处理中点轨迹问题，相关点法是解决动点轨迹问题的一种常见方法，而本题中的点P与点G就是空间中的一组相关点，类比平面问题有助于解决空间问题，可有效提升空间想象力。

易错点6——三棱锥体积问题中忽略了“等积变换”

例6 如图12，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M是AD中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），使四面体A1 BMP的体积为2/3，则C1P的最小值是____ 。

错解：考虑S△A1 MB为定值，转化为点P到平面Ai BM的距离，由于平面A1 BM与平面ABCD的位置不利于计算，导致思路受阻，难以计算。

错因剖析：不能多角度看问题，在考虑三棱锥的体积为定值的问题时，没有合理地结合题目条件选择恰当的顶点和底面，盲目解题是导致错误的原因。

点睛：在处理三棱锥的体积问题时，等体积法是一种常见的方法，可以任选一个点作为顶点，对应的面作为底面，目的在于求出该三棱锥的底面面积或高。

（责任编辑 王福华）