2020年高考“空间几何体”经典问题聚集

王张庆

本文以2020年高考真题为载体，探究空间几何体中经典问题的类型及求解的思维方法，希望对同学们的学习和复习有所帮助。

聚焦1——旋转体的体积或表面积的计算

例1（2020年高考浙江卷14）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为____.

回味：本题考查数学运算、直观想象等学科素养。解题关键是正确应用圆锥侧面展开图中的不变量和轴截面中的直角三角形解题。

聚焦2——由三视图还原几何体

例2 （2020年高考全国Ⅱ卷理7）图1是一个多面体的三视图，这个多面体的某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）。

A. E B. F C. G D. H

解析：根据三视图，画出多面体的立体图形，如图2，图中标出了M点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E。

回味：在还原几何体时要利用三视图的特征：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。三视图实质是从前向后，从上到下，从左到右的最大的直接面，根据三视图判断点的位置，考查直观想象的学科素养。

聚焦3——三视图还原几何体中的“特殊模型”

例3 （2020年高考全国Ⅲ卷文9、理8）图3为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）。

回味：通过三视图还原几何体时，若三视图中至少有两个视图为三角形，则该几何体为锥体;若三视图中出现两个或三个矩形或直角三角形，可考虑以正方体或长方体为载体进行视图还原。本题考查数学运算、直观想象等学科素养。

聚焦4——多面体的表面积或体积计算

回味：由三视图计算几何体的体积，考查数学运算、直观想象等学科素养。解题关键是能通过三视图还原出立体图形。

聚焦5——组合体的体积计算

例2 （2020年高考江苏卷9）如图6，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形的边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____ cm3。

回味：空间组合体的体积计算常常用割补法化归为熟悉的多面体或旋转体，借助正棱柱或圆柱或正棱锥的体积公式求解，考查数学运算、数学直观等学科素养。

聚焦6——多面体的外接球中的“直接法”或“补形法”

回味：求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径;（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径。

聚焦7——与球有关的最值问题

例7（2020年高考全国Ⅲ卷文16、理15）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆錐内半径最大的球的体积为 ____ 。

解析：将圆锥内半径最大的球转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值。

回味：本题考查了圆锥的内切球，考查球的体积公式，考查数学运算、数学直观、数学建模等学科素养。解题关键是认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，正确作出截面，构造直角三角形，应用勾股定理解题。

（责任编辑王福华）