高中数学证明题型的解题方法

江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 钱小燕

科学的解题法是提升学生解决数学问题能力、提高学生解题效率的重要保障。证明题是高中数学教学中一类重要的题型，是高考数学学科考试的必考内容，但是由于这部分的知识具有很强的抽象性与繁杂性，使得学生常常容易在解决证明题的过程中出现犯错的情况。为了使高中生顺利地攻克这部分知识学习难关，教师需要传授给学生必要的解题方法，所以强化证明题的相关求解方法研究显得尤为重要。

一、常规分析法及应用

常规分析法是解决数学证明题中比较常用的一种方法，主要是使学生通过利用未知条件发现已知条件的过程，对学生思维的逻辑性具有较高要求。在实际的应用过程中，学生首先需要假定证明题目中所求证命题结论是正确的，之后将此当成已知条件，通过一系列推理论证找到证明该命题结论成立的条件，而这些条件一般是证明题目中给定的条件或者已经证明的公式、定理或命题等，通过对比分析它们的相关情况，即可完成最终的证明。通过采用常规分析法对证明题进行求解证明，可以促使学生从多角度、多方面思考问题，有助于拓宽学生的解题思路。但是需要注意的是，常规分析法并非是通过命题的结论来对前提条件进行证明。在应用该种证明方法的过程中，一般采取的通用格式为：“要证明……只需要证明……”或者是利用符号“←”。通过逻辑化的推理论证，可以最终达到证明数学问题的目的。

解析：针对该道数学证明题，由于涉及参数a，所以无法直接进行量化证明，尤其是所要证明的不等式比较复杂，此时可以采取常规分析法，按照“要证明……只需要证明……”的分析思路，逐步简化证明问题，最终达到证明该问题的目的。

二、综合知识法及应用

证明题一般都表现为数学知识综合性比较强的题目，尤其是在某些涉及庞大信息量的综合性数学证明题中，许多学生在面对这些证明题的时候可能会感觉无从下手，不知道该如何证明，无法有效地消化题目中的关键信息，所以教师要注意引导学生紧密地结合证明题中给定的结论，找出满足结论存在的具体条件，之后通过层层论证和分析，逐步简化证明题的证明目标，最终通过利用分析所得到的各种结论与已知条件，分析与判断所证明命题结论成立中还需要满足何种条件，必要的时候可以配合辅助线添加，以此深化学生对相关问题的理解和认识。综合知识法应用中最为常用的一种论证方法就是“三段式”演绎方法，具体就是结合题目条件开展顺序推理论证，或者是找寻证明题中题干上的“因”，并通过相关的“果”导入来进行证明。通过从已知状态向未知逻辑方向过渡，借助推导分析来得出最终的结论。在实际的证明过程中，可以借助“→”或“∵”“∴”等相关符号加以标识。

例2：已知参数x、y 和z 都为实数，且它们互不相同，求证：x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）。

解析：通过引导学生仔细地观察这道证明题的题干信息，可以发现该道例题是代数不等式证明题，且其中包括等式x4+y4+z4，结 合相应 的不等 式定理 可知：x4+y4≥2x2y2，y4+z4≥2y2z2和x4+z4≥2x2z2，又因为x ≠y ≠z，所以可知上面三个式子中有一个公式是无法取得等号的，最终必然会得到x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，而又由于x2y2+y2z2≥2xy2z，，x2z2+y2z2≥2xz2y，所以可以相应地推导出x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）。

在证明该道题目中，学生需要通过仔细地观察和了解题干信息，灵活地运用x4+y4≥2x2y2这个经典的公式，结合已知条件和待证明结论即可得到证明的结论。因此，在平时的教学中，教师要注意引导学生注重对不同问题间的联系进行仔细观察，灵活地运用顺推或逆推等方式来求解证明题，如面面垂直证明的时候要灵活地采取线线垂直、线面垂直等条件。

三、反向证明法及应用

反向证明法就是所谓的反证法，本质上是一种间接证明法。针对某些证明题，如果无法从证明进行直接推导，那么可以先假定结论是正确的，然后通过推理论证，导出和题目中已知条件或者已经证明的命题相矛盾的情况，以此反推出最初的假设证明是错误的，这样就可以反证出结论是正确的。

例3：已知在区间（0，1）上存在三个参数a、b 和c，试求证在（1-a）b、（1-b）c 和（1-c）a 三者中，最少有一个。

解析：针对该道练习题，由于给定的都是未知参数，所以学生无法直接进行量化证明，此时教师可以引导学生采取反证法，反面证明问题。首先假定这三个式子都ffffef，那么就非常容易进行表达。由于0＜a＜1，所以可知1-a＞0，结合已经证明的不等式结论，可以便捷地得出同理可以得到b 和c 的式子。通过将这三个式子累加，最终结论与最初的假设矛盾，所以可以证明原命题是成立的。

总之，科学的解题法是提升证明题解题的质量与效率的重要保障。为了顺利地解决数学证明题，可以从灵活地选择和应用常规分析法、综合知识法和反向证明法等入手，科学制定解题方案，最终可以达到提升解题有效性的目的。