“学材再建构”：数学学科育人结构的优化

【编者按】全国著名特级教师李庾南基于其“自学·议论·引导”教学法的核心理念，提出了“学材再建构”的教学主张，提倡综合运用以教材为主体的多种学习材料设计教学，提升教学的创造性，更好地适应具体的教学现实。本期《专题研究》栏目的两篇文章，作者分别聚焦“再建构”的对象和指向，给出了自己对“学材再建构”的理解，供大家参考。

摘要：“学材再建构”的主要含义是：在深入理解教材的基础上，根据学生发展和知识“生长”的需求，对教材进行二次开发，形成适切度较高的教学设计。再建构后，教学设计应更加“本土化”，结构更合理，更加吻合学生的认知现状和发展趋势，更有利于引导学生探索、思考与交流，能够更好地实现数学学科的育人价值。再建构的对象主要有教材中给出的知识群、活动链及其提示的学习方式这三类学材。

关键词：学材再建构数学学科育人知识群活动链学习方式

教材是教师设计教学的重要依据，但是我们不能照本宣科地“教教材”，而应创造性地“用教材教”。对此，李庾南老师提出了“学材再建构”的教学主张，其主要含义是：在深入理解教材的基础上，根据学生发展和知识“生长”的需求，对教材进行二次开发，形成适切度较高的教学设计。李老师进一步解释道，之所以称“学材”而不称“教材”，是因为学材包括但不限于教材，是以教材为主体的多种学习材料（资源）的统称。再建构后，教学设计应更加“本土化”，结构更合理，更加吻合学生的认知现状和发展趋势，更有利于引导学生探索、思考与交流，能够更好地实现数学学科的育人价值。本文重点谈一谈教材中给出的知识群、活动链及其提示的学习方式这三类学材的再建构。

一、知识群的再建构：聚沙成塔，知识育人

数学知识包含了丰富的学科规则、文化观念和理性精神，是数学学科育人的核心素材，直接影响着学生核心价值观和数学核心素养的形成和发展。脱离数学知识的数学学科育人，很难有效。

通常，知识育人总是教材编写的首要关注点。一线教师依据教材进行教学，往往都能较好地达成知识育人的目标。然而，教材的編排有时对学段知识的整体分布和课时教学的可行内容关注较多，而对具体班级的学习情况很难关注到。这就导致，在具体的班级中，教材给定的有些课时内容偏多，学生在一节课中很难完成，知识育人的目标难免落空;而有些课时内容又偏少，学生在一节课中有了空闲，知识育人的效度明显降低。

为了谋求学生的最大程度发展，落实课程标准的要求，实现知识育人的目标，教师应该结合学情对教材给定的知识进行再建构：根据教材给定的知识全面分析学生的认知现状，在厘清其认知基础的同时，充分考虑单元或板块知识的关联度，根据学生认知的可能度和教学实施的可行度有效整合知识，将那些关联度大、生成过程相关或生成方式相似的知识重新整合，形成紧密关联、有宽度又有深度的知识群，并以结构化的方式在同一问题主线上渐次呈现。如此整合后，可形成网络化的课时学科知识群，有利于学生从整体上把握这些知识在学段知识体系中的地位和作用。而在基于旧知生长新知的过程中，知识顺其自然地满负荷生长，使学生经历完整的数学规则发现、验证、应用过程。这样，学生的理性思维、学科能力、人文素养、核心价值观等都会得到同步发展，育人成效显著。

比如，在设计人教版初中数学八年级上册“14.1 整式的乘法”（第1课时）的教学时，我们发现，教材安排了“14.1.1 同底数幂的乘法”“14.1.2 幂的乘方”“14.1.3 积的乘方”“14.1.4 整式的乘法”等4小节内容——前三小节各1课时，最后一小节3课时。这符合分散难点、逐个突破的理念，对于基础薄弱的学生可能比较合适。但是，结合课程标准要求和所教班级学情来看，课时容量偏小，学生思维含量较少;而且，知识的零散教学不能发挥知识群育人的集聚效应。

为了提升数学学科育人的质量，我们整合重组了教材内容，形成了由“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”等组成的知识群。课上，教师首先通过具体的式子，引导学生回顾an的含义。学生明晰an=a·a·a·…·a（n个a相乘）后，教师依次给定三组式子：①23×25，132·135，0.23×0.24;②（23）2，（a5）2，（am）n;③（ab）2，（ab）n。让学生利用乘方的意义和新学的知识分别独立计算，再逐一交流归纳，得到同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算的性质。在探索“同底数幂的乘法”和“积的乘方”知识时，还将性质进一步推广，得到am·an·ak和（abc）n等运算的性质。通过这些知识的逐一探索与渐次呈现，最终围绕“乘方的意义”形成如图1所示的知识群。

课上，紧凑的知识群生长，让学生反复经历相似的知识获得过程，学科知识与技能得到发展自不必说，从特殊到一般的思考方法、类比探索的学习策略、回到定义的认知意识等收获自在其中，而且与知识、方法相伴的自然生长的主体意识、语言表述的规范意识、分类交流的公平意识、延续拓展的进步意识、为人做事的规则意识等素养都会得到同步发展。这样的教学，成就了学生数学知识的生长，更成就了学生素养与价值观的发展。

二、活动链的再建构：串珠成线，过程育人

知识群的重组建构，对教材给定教学流程的影响是不可避免的。如果我们仍然沿袭教材给定的教学流程，那么煞费苦心再建构的知识群价值和意义就不大了。所以，我们还要对配套教学流程进行再建构。

其实，知识育人固然重要，而数学知识的获得过程同样能够培养和发展学生的能力和素养，起到育人的效用。所以，在教学设计中，我们不能只关注知识内容的整合，而忽略知识生长、关联、衔接的过程。我们要重视知识的合理聚集，围绕单一知识设计出能够充分调动学生积极性的探究活动，实现知识的自然、有序生长。当然，在关注以单个知识为内核的探究活动设计的同时，还要理清知识之间的层级和因果关系，结合知识的“生长”规律和学生的认知规律，将这些精心设计的单体活动巧妙串联起来，让学生在内容充实、生长有序的探究活动链中得到全方位的发展，形成全流程育人的大格局。

比如，在设计人教版初中数学九年级下册“27.2.1 相似三角形的判定”（第1课时）的教学时，我们发现，教材安排了“相似三角形的定义→相似三角形的判定预备定理→相似三角形的判定方法”的跨课时教学流程。对此，我们首先结合课程标准要求和学情，对课时内容进行了再建构，形成了由“全等三角形的判定”“相似三角形的定义”“相似三角形的判定预备定理”“相似三角形的判定方法（从三边、两边及夹角、两角等角度）”等构成的知识群，然后围绕每个知识点的回顾与探索展开了进一步的设计：

环节1安排的是“相似三角形的定义”，在揭示了“相似多边形中，最简单的就是相似三角形”的结论后，请学生根据相似多边形所具有的性质猜想相似三角形的性质，随后介绍了相似三角形的相似比等知识，引导学生探索全等三角形与相似三角形之间的关系。

环节2安排的是“全等三角形的判定”，意在通过对全等三角形这一“相似比为1的相似三角形”的判定方法及其获得过程的回顾，唤醒学生的已有探索经验和关联知识结构，从基础知识、基本技能和基本活动经验上为下一步类比探索铺平道路。为此，我们设计了如图2所示的教学板书，希望借助板书的定格，实现旧知的充分梳理，同时也为新知的探究提供明显的“参照”。

环节3安排的是“相似三角形的判定方法”，要求学生基于“全等三角形是相似比为1的相似三角形”由特殊到一般展开类比猜想，并将猜想得到的判定方法写下来，然后在学习小组中交流。对此，我们类比设计了希望在全班交流后形成的板书，如图3所示。有了环节2的充分回顾以及学生独立猜想和小组充分交流的经历，期盼结论的自然生成是十分合理的。

环节4重点探索平行线分线段的基本事实和相似三角形的判定预备定理。

这样的课时教学流程设计，显然在过程育人上有了很大的进步。各环节内部的精彩探究自不必说，环节之间的衔接也十分紧凑，前后活动之间的因果关系非常清晰。环节1的定义揭示，明确了全等三角形与相似三角形的关系，引出了环节2中全等三角形判定方法的回顾;而正是这一关系和这些判定方法为环节3中相似三角形判定方法的猜想提供了可能;随后的环节4则正式开始认知判定方法，是对环节3中诸多判定方法没有加以验证的回应。

如此设计，充分挖掘了过程育人的价值，可以起到较好的效果。首先，知识点的聚集让学生在一节课上不得不面对大量结构化的数学知识，他们获得的发展自然是全方位的。其次，活动环节的紧密相连、环环紧扣让学生从整体上把握了相似三角形的知识，并理清了相似三角形与全等三角形的关联。这是学生在数学知识上的收获，而在其他方面，如在学习方法上，类比方法、从特殊到一般的归纳方法都是学生这节课的收获。还有，再建构后的教学流程中，每一位学生几乎都全程参与了回顾、猜想、思考、交流以及图形的观察、结论的抽象、文本的呈现与矫正等，纷繁复杂的过程体验推动着个体抽象思维、理性精神、语言表达、倾听沟通等诸多素養的发展。而对于这些饱含好奇心的学生来说，责任感、成就感、求知欲、兴趣度会随着上述流程的推进不断增加，由此迁移到其他学科或方面，所形成的积极向上的情感态度是原有教学流程很难实现的。

三、学习方式的再建构：多措并举，分层育人

一般来说，教材编写不仅会给出知识内容，而且会提示学习方式，但是，由于纸质媒介以及篇幅总量的限制，教材提示的学习方式往往比较单一、不够细致。这也常常使得教师的教学方式（信息传递方式）囿于讲授和板书。

其实，在信息技术飞速发展、现代教育技术大量涌入课堂的当下，为了扩大课堂教学的容量，提升学生学习的兴趣，实现“让每一名学生都获得成长”的目标，教师有必要根据具体学情和内容增加教学手段，通过诸如教具演示、课件展示、操作探索、观察思考、对话交流等方式吸引全体学生参与学习，分享发现，从而获得“四基”，提升“四能”。这种多样化的知识传递方式，不仅能让学生体验到数学知识获取的成功感和幸福感，还能增强他们学好数学的信心，产生进一步探索数学以及其他学科奥秘的动力。此外，对于同一个知识，还可以通过不同能级的方式呈现，为不同层次的学生提供选择的机会，让他们能够在适合自己的学习方式中积极参与课堂活动，获取知识并不断发展各方面的能力和素养。

比如，在设计人教版初中数学八年级上册“13.3.1 等腰三角形”（第1课时）的教学时，我们发现，教材给出了“对折剪纸→叠合猜想→归纳性质→简述论证”的“三线合一”性质探索过程。这很好地体现了“让学生充分经历观察、猜想、实验、推理、验证等活动过程”的课标理念。然而，在实际教学中，我们发现学生的认知能力和水平存在一定的差异，并非所有学生都能在上述过程经历中达成课时目标。加之，我们确实需要为学生的发展提供多样的可选择方案，让学有余力的学生“吃得饱”，基础薄弱的学生“吃得了”。所以，我们进行了学习方式的再建构，给出了如下三个不同能级要求的性质探索方案。

1.课件演示等腰三角形两腰叠合再展开的过程（如图4），让学生观察后指出图中相等的线段和角，并把发现的结论写下来，然后通过课件中的同色对应展示相等的线段和角。

2.让学生在纸上画一个等腰三角形，剪下来，将其两腰对折叠合，再通过观察、度量、推理等方式发现折痕所具有的性质，并把发现的结论写下来。

3.引导学生推演论证：

如图5，在△ABC中，AB=AC。

（1）作边BC的中线AD，探索AD所具有的性质并加以证明;

（2）作边BC的高AE，探索AE所具有的性质并加以证明;

（3）作∠BAC的平分线AF，交对边BC于点F，探索AF所具有的性质并加以证明;

（4）根据上面三个问题的探索，你有什么发现？请把结论写下来。

上面的三套方案源自教材给出的教学流程。我们拆解了部分环节并加以丰富，形成了可以独立操作的封闭的性质探索流程。其中，既有“观察、猜想、说明”的课件演示，又有“操作、猜想、验证”的折纸探索，更有直接“探索、证明、总结”的推演论证。三套方案融合了动眼、动手、动脑，但不同的方案又有不同的侧重。实际教学时，我们可以让学生自己选择学习方案，然后开展自主探索。在教师课件演示图4的过程中，除了观看课件的学生之外，其他学生都默默地开展自己的探索。待到所有学生都得出了自己认可的结论后，教师组织全班交流，利用投影展示等腰三角形的“三线合一”性质及其符号语言。

这样的探索方案自然分层，消除了传统教学中学习方式的“同一性”，让每一名学生都有自主选择权，可以根据自己的学习能力、认知水平、身体状况、情绪状况等选出最匹配的方案开展探索，从而充分调动学生参与的积极性，使学生投入最大的热情来攻坚克难。在这样的学习中，学生经历了自我认知、自我积聚、自我应用的完整过程，收获的远不止知识与技能;学生在自主选择中的综合考量、在方案定格后的坚韧前行、在归纳交流时的大胆展示、在性质呈现后的反思提升，都会助推他们自身责任担当意识、成果分享意识、团结协作意识等的进一步发展和提升;每一名学生的充分展示和发展，则充分体现了数学学科育人目标的较好实现。

总之，知识群的再建构，整合了教材给定的教学内容，形成了彼此关联、互相影响的稳定的知识结构，让学生在结构中学习、在结构中发展;活动链的再建构，理清了知识之间的层级和因果关系，让知识和学生同步协调发展，推动知识的有序生长和学生的综合成长;学习方式的再建构，提升了学生的参与度，给每一名学生学习方案的选择权、使用权，让他们在对自己负责的同时获得知识、技能、情感态度、价值观等多方面的发展。

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