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排列组合常见题型在数学建模中的应用

2020-01-11陈炳泉

中学理科园地 2020年6期
关键词:排列组合数学建模核心素养

摘   要:排列组合作为高中数学难点知识之一,有着其独特的解题思维,关键在于数学建模中将实际问题抽象为数学问题.答题的灵活往往是造成解题困难的直接原因.掌握排列组合基本原理,解题做到不重不漏,往往能给解题的准确带来显著的效果.常见的解题方法有捆绑法、插空法、优先法、隔板法等.

关键词:数学建模;核心素养;排列组合;先分堆再分配

排列组合常与概率问题作为高考重点,每年的全国高考题都有一道大题出现,而且都是以解答题的方式出现.排列组合是在生活中提炼出来的,因此,解决目前社会生产生活中遇到的问题必须使用排列组合的基本思想、方法和技能,把实际问题转化为需要的数学模型.数学建模是现实生活与数学连接的纽带,是数学核心素养、育人目标的具体体现.计数问题是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题最基本、最重要的的方法,它们为解决很多问题提供了思想和工具.在本文中,主要运用数学核心素养之数学建模研究排列、组合常见的几种考题类型以及题型的扩充和推广.

1  数字问题模型

【例题1】(1)求4320的不同正约数的个数;

(2)求这些正约数的和。

解析(1):这是一道分步乘法计数原理的应用题目,但题目中并无明确的分步步骤,这就需要我们自己来确定一个分步步骤.由于题目要求4320的正约数,因此我们将4320用从小到大的不同质因数的幂之积来表示,即4320=25·33·51.容易看出,4320的正约数的质因数必在2,3,5中.则可根据分步计数原理进行求解.

解:设4320的正约数为N=2n·3m·5r,则n可取0,1,2,3,4,5六个值;m可取0,1,2,3四个值;r可取0,1两个值.∴所求的正约数的个数为6×4×2=48个.

解析(2):题目乍看感觉无从下手,其实我们根据(1)中得出的结论可以很容易看出,求这些正约数的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+…+25·33·51,而这个式子正是(20+21+22+23+24+25)(30+31+32+33)(50+51)的展开式.因此,题意就转为求上式的和.

解:(20+21+22+23+24+25)(30+31+32+33)(50+51)

=××

=63×40×6

=15120.

2  分步乘法计数原理

例:(1)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有多少种?

(2)6个人要去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科这四个城市中的某个城市游览,且甲、乙两人不去巴黎游览.则不同的选择方案共有多少种?

解析:根据题目的限制:甲、乙不去巴黎,则应首先考虑甲、乙和巴黎.其次,这两道题看似差不多,而实际上(1)中是四个城市都必须有人去,而(2)中则是6个人必须都去,但不一定每个城市都必须要有人去.所以,考虑问题(1)要以“城市”为主,问题(2)则以“人”为主.

解: (1)去巴黎的人除甲、乙外从剩下的4人当中选一个人,去伦敦的有5个人可选,去悉尼有4人可选,去莫斯科有3人可选.∴不同的选择方案共有4×5×4×3=240种.

(2)甲和乙有3个城市可选,而其他4人均有4个城市可选.∴不同的选择方案共有3×3×4×4×4×4=2304种.

3  涂色问题模型

【例题2】一个同心圆行花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥4,nN*)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花[ 1 ].

(1)如图1,圆环分成的4等分为a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法?

(2)如图2,圆环分成的n等分,a1,a2,a3,…an, 有多少种不同的种植方法?

解:(1)如图1,当a1与a3不同颜色时,有A32×1×1=6种,当a1与a3相同颜色时,有A31×2×2=12种.∴共有S(4)=6+12=18种.

(2)如图2,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2,a3,a4,…an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证 ai-1与ai(i=1,2,3,…n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.于是,一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的,记为S(n)(n≥4)种,另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1同色看成一部分,這种种法相当于对n-1种部分要求的种法,记为S(n-1),共3×2n-1种种法.

则S(n)+S(n-1)=3×2n-1,

即S(n)-2n=-〔S(n-1)-2n-1〕.

∴ 〔S(n-1)-2n〕(n≥4)数列是首项为S(4)-24,公比为-1的等比数列.

由S(4)=18得:S(n)-2n=(18-24)(-1)n-4

∴ S(n)=2n+2·(-1)n-4.

【点评】图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题,需要特别关注图形的特征,有多少块,用多少种颜色.

4  排队问题模型

【例题3】三个男生和四个女生按下列条件排成一排,有多少种排法?

(1)男生互不相邻;

(2)男女生间隔相排;

(3)甲、乙两人必须相邻;

(4)男生排在一起,女生排在一起;

(5)甲不站左端,也不站右端;

(6)甲、乙站两端;

(7)甲不站左端,乙不站右端;

(8)甲在乙前面(不一定相邻).

解析:(1)解决间隔排列问题常用“插空法”,也就是先排不需要间隔(可以相邻)的元素,再将需要间隔的元素用插空方式插进来即可.∴先考虑女生全排有A44种,形成5个空隙,再将3个男生任意插入5个空中,有A53种.

∴ 共有A44×A53=1440种.

(2)这题仍是采用插空法,所不同的是,两种元素都不能间隔.显然,女生或男生之间必须相差1的排法才能满足题意.因此,女生全排A44种,为了满足条件,剩下的3个男生必须只能在4位女生中间的3个空位排,∴共有A44×A33=144种.

(3)像这类有些元素必须要安排在一起的问题,常用“捆绑法”解决,即先排集团内部的元素(甲、乙),再把该集团作为一个整体,看成一个元素,然后与其他剩余的元素进行全排即可.∴共有A22×A66=1440种.

(4)同(3),这题仍是相邻问题,但是这题的两种元素都分别需要安排在一起.一样的道理,男生内部排法有A33种,女生内部排法有A44种,∴ 共有A33×A44×A22=288种.

(5)因甲不能站在左右端的任一位置,故第一步先让甲站在除两端以外的位置上,有A51种站法;第二步再让余下的6个人任意站在其他6个位置,有A66种,∴ 共有A51×A66=3600种.

(6)首先考虑特殊元素,让甲、乙站两端有A22种,再让其他5个人任意站在中间5个位置,有A55种.∴ 共有A22×A55=240种.

(7)甲在左端的站法有A55种,乙在右端的站法有A55种,而甲在左端,乙在右端的站法有A44种,故共有A66-2A55+A44=504种.(本题采用间接法解题较简单,有时候根据题目的方向,采用直接法会比较简单.)

(8)不考虑其他元素时,仅对甲、乙两人进行排列,有A22种,其中甲在乙前面的排法只有1种,因此可以看做甲在乙前面的比例为,因此,七個人全排时有A77种,其中满足甲在乙前的排法占,∴ 共有A77×=2520种.

以上是排列组合几种常见的题型,排列组合的题目贵在灵活,重在数学建模,通过对实际问题的简化和抽象后,用计数原理建立模型,用数学方法解决问题,再回到实际问题中解释,主要包括分析抽象、建立模型、求解模型.但从解法上看,大致有以下几种:第一,有附加条件的排列、组合问题,大多数需要分类讨论的方法,注意分类时不重不漏;第二,排列与组合的混合题型,分步骤,用分步乘法原理解决;第三,元素要相邻,看作一个整体,使用捆绑法;第四,元素不相邻,用插空法;第五,间隔法,把不符合条件的排列或组合剔除掉;第六,先分堆,再分配,面对不同的元素,可采用分堆分配;第七,面对相同的元素,可以用隔板法进行求解。总之,排列组合是数学核心素养之数学建模的重要模型,是现实生活与数学连接的纽带.

参考文献:

[1]陈炳泉.巧解排列组合常见应用问题[J].福建中学教学,2006(10).

[2]王国君.高中数学建模教学[J].教育科学(引文版),2016(8).

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