排列组合常见题型在数学建模中的应用

摘   要：排列组合作为高中数学难点知识之一，有着其独特的解题思维，关键在于数学建模中将实际问题抽象为数学问题.答题的灵活往往是造成解题困难的直接原因.掌握排列组合基本原理，解题做到不重不漏，往往能给解题的准确带来显著的效果.常见的解题方法有捆绑法、插空法、优先法、隔板法等.

关键词：数学建模;核心素养;排列组合;先分堆再分配

排列组合常与概率问题作为高考重点，每年的全国高考题都有一道大题出现，而且都是以解答题的方式出现.排列组合是在生活中提炼出来的，因此，解决目前社会生产生活中遇到的问题必须使用排列组合的基本思想、方法和技能，把实际问题转化为需要的数学模型.数学建模是现实生活与数学连接的纽带，是数学核心素养、育人目标的具体体现.计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题最基本、最重要的的方法，它们为解决很多问题提供了思想和工具.在本文中，主要运用数学核心素养之数学建模研究排列、组合常见的几种考题类型以及题型的扩充和推广.

1  数字问题模型

【例题1】（1）求4320的不同正约数的个数;

（2）求这些正约数的和。

解析（1）：这是一道分步乘法计数原理的应用题目，但题目中并无明确的分步步骤，这就需要我们自己来确定一个分步步骤.由于题目要求4320的正约数，因此我们将4320用从小到大的不同质因数的幂之积来表示，即4320=25·33·51.容易看出，4320的正约数的质因数必在2，3，5中.则可根据分步计数原理进行求解.

解：设4320的正约数为N=2n·3m·5r，则n可取0，1，2，3，4，5六个值;m可取0，1，2，3四个值;r可取0，1两个值.∴所求的正约数的个数为6×4×2=48个.

解析（2）：题目乍看感觉无从下手，其实我们根据（1）中得出的结论可以很容易看出，求这些正约数的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+…+25·33·51，而这个式子正是（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）的展开式.因此，题意就转为求上式的和.

解：（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）

=××

=63×40×6

=15120.

2  分步乘法计数原理

例：（1）从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？

（2）6个人要去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科这四个城市中的某个城市游览，且甲、乙两人不去巴黎游览.则不同的选择方案共有多少种？

解析：根据题目的限制：甲、乙不去巴黎，则应首先考虑甲、乙和巴黎.其次，这两道题看似差不多，而实际上（1）中是四个城市都必须有人去，而（2）中则是6个人必须都去，但不一定每个城市都必须要有人去.所以，考虑问题（1）要以“城市”为主，问题（2）则以“人”为主.

解： （1）去巴黎的人除甲、乙外从剩下的4人当中选一个人，去伦敦的有5个人可选，去悉尼有4人可选，去莫斯科有3人可选.∴不同的选择方案共有4×5×4×3=240种.

（2）甲和乙有3个城市可选，而其他4人均有4个城市可选.∴不同的选择方案共有3×3×4×4×4×4=2304种.

3  涂色问题模型

【例题2】一个同心圆行花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥4，nN*）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花[ 1 ].

（1）如图1，圆环分成的4等分为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？

（2）如图2，圆环分成的n等分，a1，a2，a3，…an， 有多少种不同的种植方法？

解：（1）如图1，当a1与a3不同颜色时，有A32×1×1=6种，当a1与a3相同颜色时，有A31×2×2=12种.∴共有S（4）=6+12=18种.

（2）如图2，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2，a3，a4，…an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证 ai-1与ai（i=1，2，3，…n-1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色.于是，一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的，记为S（n）（n≥4）种，另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1同色看成一部分，這种种法相当于对n-1种部分要求的种法，记为S（n-1），共3×2n-1种种法.

则S（n）+S（n-1）=3×2n-1，

即S（n）-2n=-〔S（n-1）-2n-1〕.

∴ 〔S（n-1）-2n〕（n≥4）数列是首项为S（4）-24，公比为-1的等比数列.

由S（4）=18得：S（n）-2n=（18-24）（-1）n-4

∴ S（n）=2n+2·（-1）n-4.

【点评】图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题，需要特别关注图形的特征，有多少块，用多少种颜色.

4  排队问题模型

【例题3】三个男生和四个女生按下列条件排成一排，有多少种排法？

（1）男生互不相邻;

（2）男女生间隔相排;

（3）甲、乙两人必须相邻;

（4）男生排在一起，女生排在一起;

（5）甲不站左端，也不站右端;

（6）甲、乙站两端;

（7）甲不站左端，乙不站右端;

（8）甲在乙前面（不一定相邻）.

解析：（1）解决间隔排列问题常用“插空法”，也就是先排不需要间隔（可以相邻）的元素，再将需要间隔的元素用插空方式插进来即可.∴先考虑女生全排有A44种，形成5个空隙，再将3个男生任意插入5个空中，有A53种.

∴ 共有A44×A53=1440种.

（2）这题仍是采用插空法，所不同的是，两种元素都不能间隔.显然，女生或男生之间必须相差1的排法才能满足题意.因此，女生全排A44种，为了满足条件，剩下的3个男生必须只能在4位女生中间的3个空位排，∴共有A44×A33=144种.

（3）像这类有些元素必须要安排在一起的问题，常用“捆绑法”解决，即先排集团内部的元素（甲、乙），再把该集团作为一个整体，看成一个元素，然后与其他剩余的元素进行全排即可.∴共有A22×A66=1440种.

（4）同（3），这题仍是相邻问题，但是这题的两种元素都分别需要安排在一起.一样的道理，男生内部排法有A33种，女生内部排法有A44种，∴ 共有A33×A44×A22=288种.

（5）因甲不能站在左右端的任一位置，故第一步先让甲站在除两端以外的位置上，有A51种站法;第二步再让余下的6个人任意站在其他6个位置，有A66种，∴ 共有A51×A66=3600种.

（6）首先考虑特殊元素，让甲、乙站两端有A22种，再让其他5个人任意站在中间5个位置，有A55种.∴ 共有A22×A55=240种.

（7）甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端，乙在右端的站法有A44种，故共有A66-2A55+A44=504种.（本题采用间接法解题较简单，有时候根据题目的方向，采用直接法会比较简单.）

（8）不考虑其他元素时，仅对甲、乙两人进行排列，有A22种，其中甲在乙前面的排法只有1种，因此可以看做甲在乙前面的比例为，因此，七個人全排时有A77种，其中满足甲在乙前的排法占，∴ 共有A77×=2520种.

以上是排列组合几种常见的题型，排列组合的题目贵在灵活，重在数学建模，通过对实际问题的简化和抽象后，用计数原理建立模型，用数学方法解决问题，再回到实际问题中解释，主要包括分析抽象、建立模型、求解模型.但从解法上看，大致有以下几种：第一，有附加条件的排列、组合问题，大多数需要分类讨论的方法，注意分类时不重不漏;第二，排列与组合的混合题型，分步骤，用分步乘法原理解决;第三，元素要相邻，看作一个整体，使用捆绑法;第四，元素不相邻，用插空法;第五，间隔法，把不符合条件的排列或组合剔除掉;第六，先分堆，再分配，面对不同的元素，可采用分堆分配;第七，面对相同的元素，可以用隔板法进行求解。总之，排列组合是数学核心素养之数学建模的重要模型，是现实生活与数学连接的纽带.

参考文献：

[1]陈炳泉.巧解排列组合常见应用问题[J].福建中学教学，2006（10）.

[2]王国君.高中数学建模教学[J].教育科学（引文版），2016（8）.